挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題

22第一分

挑戰(zhàn)中系列)函數(shù)象中的存性問§1．動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題12動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題§3動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題．因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題§．因動(dòng)產(chǎn)生的面積問題§．6動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題§7動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題第二分

圖形動(dòng)中函數(shù)系問§21

由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題第三分

圖形動(dòng)中計(jì)算理問§3．代計(jì)及通過代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說理問題§3．幾證及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題第四分

圖形平移翻折旋轉(zhuǎn)§41圖形的平移§42圖形的翻折§43圖的旋轉(zhuǎn)§4．角形§．邊形§6§7數(shù)的圖象及性質(zhì)§11動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題課前導(dǎo)學(xué)

相似三角形的判定定理有

3個(gè)，其中判定定理

1和定定理

2都對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等．判定定理

是最常用的解題依據(jù)，

一般分三步：尋找一組等角，分兩情況列比例程，解方程并檢驗(yàn)．如果已知∠A＝∠，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A∠D的兩DF邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分ABDE和AB兩種情況列方程．ACDFACDE應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等．應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對成比例列連比式解方程（組）．還有一種情況，討論兩個(gè)直角三角形相似，

如果一組銳角相等，

其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問題．求線段的長，要用到兩點(diǎn)間的距離公式，而這個(gè)公式容易記錯(cuò)．理解記憶比較好．如圖如果已知

B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，怎樣求

A、B兩點(diǎn)間的距離呢？我們以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形，直角邊與坐標(biāo)軸平行，這樣用勾股定就可以求斜邊AB的長了．水平距離

BC的長就是

B兩間的水平距離，等于

A、兩的橫坐標(biāo)相減；豎直距離

AC就是、B兩點(diǎn)間的豎直距離，等于

A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相減．例1

圖1圖1湖南省衡陽市中考第28題

圖2二次函數(shù)

ax＋＋c≠）的圖象與軸交于3,B(1,點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)－（m，頂點(diǎn)為D．（）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含的代數(shù)式表示）；（如圖

當(dāng)＝2時(shí)，點(diǎn)

為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△

APC的面積為，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

之間的函關(guān)系式及

S的大值；1-----2P2P22EDED322挑戰(zhàn)中系列)（如圖

當(dāng)取何值時(shí)，以

A、DC三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△

OBC相似？動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

14衡陽”，拖動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)到

AC的中點(diǎn)的正下方時(shí)，△APC

的面積最大．拖動(dòng)y軸上表示實(shí)數(shù)m的運(yùn)，物線的形狀會(huì)改變，可以體驗(yàn)到，∠

ACD和∠ADC都可以成為直角．思路點(diǎn)撥2連結(jié)

1．交式拋線解式比較簡．OP，△APC可以割補(bǔ)為：△AOP與△COP的和，再減去△

AOC．3討論△ACD與△OBC相似，先確定△ACD是直角三角形，再驗(yàn)證兩個(gè)直角三角形是否相似．直角三角形ACD存在兩種情況．圖文解析（1）因?yàn)閽佄锞€與

于3,B(1,點(diǎn)，設(shè)＋－．代入點(diǎn)－3m)，得－3m＝－．解得m所以該二次函數(shù)的解析式為＝＋＝mx＋－3m．（2）如圖連結(jié)OP當(dāng)m2時(shí)－y＝2x＋－，那P(x,2x＋－由于SAOP＝1

3

2

2

－＋，

COP

＝

1(x＝

222－，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝所以eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝AOP＋COP－AOC＝－3x－＝3(

)

2

274

．所以當(dāng)

x

時(shí)，S取得最大值，最大值為

27

．2

4圖3

圖4

圖5

圖6（）如圖

過點(diǎn)D作軸的垂線，垂足為

E．過點(diǎn)

Ax的垂線交

DE于F．m(3)(＝m(x＋1)－，D△OBC中，OB∶OC＝如果△ADC與△OBC相似，那么eq\o\ac(△,)ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為3m①如圖當(dāng)∠ACD＝°時(shí)，OC．所以3．解得＝．

1∶．此時(shí)

CA

OC3

，

OC

3

EC．所以

CAOC

m．所以△CDA∽△OBC．CDEDOB②如圖當(dāng)∠ADC＝°時(shí)，

FA

CDOBFD．所以4m

2

．解得

m2

．此時(shí)

DA

FD

2

22

，而

OC

EC

1m2．因此△DCA與△OBC不相似．DC

EC

m

2綜上所述，當(dāng)

＝1時(shí)，△CDA∽△OBC．考點(diǎn)伸展

第（題還可以這樣割補(bǔ)：如圖，過點(diǎn)作x軸的垂線與AC交于點(diǎn)H．由直線AC：－－可得－．又因?yàn)?x＋，所以＝2x6x．因?yàn)椤鱌AH與△PCH有公共底邊HP，高的和為、C點(diǎn)間的水平距離所以-----APCAPHCPH22222APCAPHCPH2222222222222挑戰(zhàn)中系列)S＝＝＋＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)

3

－2x

3(x

3)

27

．例22014

22年湖南省益陽市中考第

421如圖在直角梯形

ABCD中，AB，⊥，∠＝°，AB＝，BC＝，點(diǎn)P沿線段

從A向B運(yùn)，＝

（求AD長；（點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以

2··cn·yA、、D頂點(diǎn)的三角形與以

C、B為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出

x的值；若不存在，請說明理由；圖

1（設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為

S1、，若＝＋S2，求S的最小值.

動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名

“14益陽”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，

圓心O運(yùn)動(dòng)軌跡是線段

BC的垂直平分線上的一條線段．觀察

S隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圖象，可以看到，

S有最小值，此時(shí)點(diǎn)

P看上去象是

AB的中點(diǎn)，其實(shí)離得很近而已．思路點(diǎn)撥

第（）題先確定△PCB是直角三角形，再驗(yàn)證個(gè)三角形是否相似．2第（題理解△PCB的外接圓的圓心

O很關(guān)鍵，圓心

O確定的BC的垂直平分線上，同時(shí)又在不確定的自變量，求S的函數(shù)關(guān)系式．

BP的垂直平分線上．而圖文解析

與AP是相關(guān)的，這樣就可以以

AP為（如圖

作CH⊥ABH，那么

＝CH．在Rt△BCH中，∠＝60°，BC＝，所以

＝，CH＝．所以AD＝3

．（因?yàn)椤鰽PD是直角三角形，如果△

與△PCB相似，那么△

PCB一定是直三角形．①如圖AP所以＝AD

角，當(dāng)∠CPB＝°時(shí)，AP＝＝．8＝3而PC＝3．此時(shí)△APD與△PCB不相似．233PB圖2

圖3

圖4②如圖當(dāng)∠BCP＝°時(shí)，BP＝2BC＝所以＝．所以

AP

＝

2

＝

3

°時(shí)△

AD23

3綜上所述，當(dāng)2，△APD△CBP（）如圖，設(shè)△ADP的外接圓的圓心為G，那么點(diǎn)G斜邊DP的中點(diǎn)．設(shè)△PCB的外接圓的圓心為O，那么點(diǎn)O在BC邊的垂直平分線上，設(shè)這條直線與

BC交于點(diǎn)

與AB交于點(diǎn)

設(shè)AP＝．作OM⊥BP于M那么BM＝PM＝m在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BEF中，BE＝，∠＝60°所以

＝．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)OFM中，F(xiàn)M＝BF－BM＝－＝－，∠OFM＝°，所以O(shè)M＝

3

(m1)

．所以O(shè)B＝BM＋OM＝(5m)

2

1

(m

3．在ADP中DP＝ADAP＝＋．所3以GP＝m．于是S＋π(GP＋OB

2

2

1

2

＝

3

3-----222222222222挑戰(zhàn)中系列)(732m85)

．所以當(dāng)

m

16

時(shí)，S取得最小值，最小值為

113

．37

7圖5

圖6考點(diǎn)伸展

關(guān)于第（

題，我們再討論個(gè)問題．問題為什么設(shè)

AP＝2m呢？這是因?yàn)榫€段

＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝．這樣BM＝5－m后續(xù)可以減少一些分?jǐn)?shù)運(yùn)算．這不影響求

S的小值．問題如果圓心

O線段EF的延長線上，

S于m的解析式什么？如圖圓心O線段此時(shí)OB＝BM＋＝

EF延長線上時(shí)，不同的是FM＝－BF＝－m．1(5(1．這并不影響S于m的解析式．3例

32015年南省湘西市中考第26題如圖已知直線＝－3與x、y軸分別交于、B兩點(diǎn)，拋物線－x＋bx＋經(jīng)過、B兩，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒2

個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（）求拋物線的解析式；問：當(dāng)何值時(shí)，△APQ為直角三角形；過點(diǎn)P作軸，交AB于點(diǎn)，過點(diǎn)QQF//y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)

，當(dāng)EF//PQ時(shí)，求點(diǎn)

的坐標(biāo)；（設(shè)拋物線頂點(diǎn)為

M，連結(jié)BMMQ，問：是否存在

t的值，使以B、、M為頂點(diǎn)的三角形與以

O、B、為頂點(diǎn)的三角形相似？若在，請求出值；若不存在，請說明理由．

1

動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名

“15湘西”，拖動(dòng)點(diǎn)P在OA上動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△

APQ有思路點(diǎn)撥兩個(gè)時(shí)刻可以成為直角三角形，四邊形△BOP有一次機(jī)會(huì)相似．

EPQF有一個(gè)時(shí)刻可以成為平行四邊形，△

MBQ

與1在△APQ中，∠＝°，夾∠A的兩條邊APAQ都可以用表示，分兩種情況論直角三角形APQ先用含式子表示點(diǎn)、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示點(diǎn)、F的坐標(biāo)，根據(jù)＝列方程就好了．．△與△BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成比例分兩種情況討論．

圖文解析

（由－＋3，得A(3,B(0,將A(3,別代入

x＋得

93bc0,解得c3.

2,3.所以拋物線的解析式為

＝－x＋．（在△中，∠PAQ＝°，＝－＝兩種情況討論直角三角形

APQ：①當(dāng)∠PQA°時(shí)，AP

2

AQ．解方程3得（如圖

）．②當(dāng)∠QPA°時(shí)，AQ＝

2

AP解方程

2

t＝

2

－，得（如圖3）．4-----2222222222．整理，得3t2挑戰(zhàn)中系列)圖2

圖34

圖5（如圖

因?yàn)?，?dāng)EF//PQ時(shí)，四邊形

EPQF是平行四邊形．所以EP＝FQ所以－＝－．因?yàn)椋剑剑裕剑剑絫＋因?yàn)椋剑?，解方程－＋－得t＝或（舍去）．所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）由－x＋＋＝－1)＋，得M(1,．由A(3,B(0,可知、B兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，

AB3．由B(0,M(1,知、M兩點(diǎn)間的水平距離、豎直距離相等，

BM＝

．所以∠＝∠＝°．因此△MBQ與△相似存在兩種可能：BM39①當(dāng)OB時(shí)，2．解得t（如圖）②當(dāng)

BQBM

OPOP

時(shí)，

3

2

2t

t4t

＋＝．此方程無實(shí)根．BQ

OB2

2t

3考點(diǎn)伸展

第（）題也可以用坐標(biāo)平移的方法：由

P(t,－Q(3－t,

E方向，將點(diǎn)Q向上平移，

F(3t,t,＝－＋，得，或t

§12

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題課前導(dǎo)學(xué)

我們先回顧兩畫問：1已知線段AB5厘，以線段AB為腰的等三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C軌跡是什么？2已知線段AB6厘米，以線段AB為邊的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C．已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①

AB＝，②BA＝BC，CA＝CB三情況．解等腰三角形的存在性問題，

有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，

可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊

AB和可以用含

x的式子表示出來，那么就用幾何法．①圖1，果＝，直列程②如2，果BA＝，11那么ACABA；③如圖3，如果CA＝CB，那么ABACA．2

2代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．5-----212（圖文解析222ax．所以212（圖文解析222ax．所以＝，＝．22422242422挑戰(zhàn)中系列)圖1例92014

圖2

圖3年長沙市中考第26題

圖1如圖拋物線

ax＋＋b、c是常數(shù)，≠）的稱軸為

y軸，且經(jīng)過和(a,)兩，點(diǎn)P該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P經(jīng)過定點(diǎn)A(0,16（）求、、c的值；（）求證：在點(diǎn)P動(dòng)的過程中，⊙P始與軸交；）設(shè)⊙P與x軸相交于

M(x,,，當(dāng)△

AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心

P的縱坐標(biāo)．動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“14長沙”，拖動(dòng)圓心P拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與

軸總是相的，等腰三角形AMN存在五種情況．思路點(diǎn)撥

不算不知道，一算真奇妙，原來⊙

P在x軸上截得的弦長MN＝4是值．2等腰三角形AMN存在五種情況，點(diǎn)和NA＝時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的．

P的縱坐標(biāo)有三個(gè)值，根據(jù)對稱性，MA＝）已知拋物線的頂點(diǎn)為11將代入ax，得

，所以a．解得a

1

（去了負(fù)值）．16164（拋物線的解析式為y1x，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

1(x,x．已知A(0,以

PA

x

2

4

(1x4

2

2)

2

11x4＞4164

x．而圓心P到x軸的距離為14

x，所以半徑＞圓心Px軸的距離．所以在點(diǎn)P動(dòng)的過程中，⊙P始終與軸相交．（如圖設(shè)的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN．在eq\o\ac(△,Rt)PMH中，PMPA

2

1x4PH

2

(x)1x，所以MH＝．16416所以MH＝．因此MN＝為定值．等腰△AMN存在三種情況：如圖3當(dāng)＝時(shí)，點(diǎn)P原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為圖2

圖34

圖5②如圖當(dāng)MA＝MN時(shí)，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AOM中，OA＝2AM＝4，所以＝21此時(shí)OH232．以點(diǎn)P縱坐標(biāo)為x213(344

3．1)

如圖當(dāng)NA＝NM時(shí)，根據(jù)對稱性，點(diǎn)

縱坐標(biāo)為也為

423③如圖

當(dāng)NANM＝4時(shí)，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AON中，OA＝，＝，所ON23．6-----222221524222221524挑戰(zhàn)中系列)此時(shí)OH23以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

1

x

1(232)(31)

如圖當(dāng)MN＝MA＝4時(shí)根據(jù)對稱性，點(diǎn)

44P的縱坐標(biāo)也為423考點(diǎn)伸展

如果點(diǎn)

圖6圖7P拋物線y1x上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)

B(0,么在點(diǎn)

P動(dòng)的過程中，⊙

4P終與直線1相切．是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

1x．已知B(0,所以PB

x2

x2

2

(x2

2

1

x2

1．而圓心P到直線

4

1的離也為

1

4

4x1，所半徑＝圓心2

4P直線

41的離．所以在點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)的過程中⊙

P始終與直線1相切．例102014

年湖南省張家界市中考第

25題如圖在平面直角坐標(biāo)系中，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線＋＋（≠）過O、、三，、C坐18

24

(,

5

5

為C直線直x軸于B點(diǎn)．（求直線BC的解析式；（）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（點(diǎn)M是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)（不同于

），過點(diǎn)

M作⊙A的切線，交

軸于點(diǎn)

交直線

，設(shè)線段ME長為mMF長為，請猜想

mn的值，并證明你的結(jié)論；（若點(diǎn)P從O發(fā)，以每秒

個(gè)單位的速度向點(diǎn)

B作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

同時(shí)從

B發(fā)，以相同速度向點(diǎn)

C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過

＜）秒時(shí)恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的

t．圖1動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

14張家界

，拖動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△EAF保持直角三角形形狀，

AM斜邊上的高．拖動(dòng)點(diǎn)

Q在BC上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△BPQ有三個(gè)時(shí)刻可以成為等腰三角形．思路點(diǎn)撥

從直線BC的解析式可以得到∠

OBC的三角比，為討論等腰三角形

BPQ作鋪墊．設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式比較簡便．

3第（題連結(jié)、AF容易看到

AM是直角三角形

EAF斜邊上的高．

（）題△PBQ中，∠B是確定的，夾∠

B兩條邊可以用含圖文解析

式子表示．分三種情況討論等腰三角形．（1）直線BC的解析式為y3．（2因?yàn)閽佄锞€與

軸交于

、B(10,0)兩點(diǎn)，設(shè)

－代入點(diǎn)

C

18(,

4，得

24a18

(

32

．解得a5

．5

55

5

24-----224212224212挑戰(zhàn)中系列)所以

y

5x(10)5x

25x

5

2

125

．拋物線的頂點(diǎn)為

(5,

125

)

24122424．（3如圖2因?yàn)榍小延谒訟M⊥EF．由24AE＝AE，＝AM，可得Rt△AOE≌eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AME．所以∠∠．同理∠＝∠．于是可得∠EAF＝°．MA所以∠＝∠．由∠∠得ME．MFMA所以ME·＝MA，即＝．4

圖2（在△BPQ中，∠＝，BP＝10－BQ三種情況討論等腰三角形5

BPQ：①如圖當(dāng)BP＝時(shí)，－得．②如圖當(dāng)PB＝時(shí)，BQBPB解方程

1

t

4(10，得t80．①如圖當(dāng)QB＝QP時(shí)，

1

BP

BQcosB

2．解方程

1

5(10

t)

4

13得t50

．2

25

13圖3考點(diǎn)伸展

在第（

圖4題條件下，以

圖5EF為直徑的⊙

圖6G與x軸相切于點(diǎn)

A如圖這是因?yàn)锳G既是直角三角形

EAF斜邊上的中線，也是直角梯形

EOBF的中位線，因此圓心

G到x軸的距離等于圓的半徑，所以⊙

G與x軸相切于點(diǎn)

A例112014

年湖南省邵陽市中考第

題在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

＝x－(m＋＋mn（＞n）與x軸相交于、兩（A位于點(diǎn)B右側(cè)），與

y軸相交于點(diǎn)C（）若＝，＝，求、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（若、B兩點(diǎn)分別位于

y的兩側(cè)，C坐標(biāo)是，求∠ACB的大?。唬ㄈ鬽，△ABC是等腰三角形，求

n的．

動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“14邵陽”，點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕

（），拖動(dòng)點(diǎn)

A在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△

ABC保持直角三角形的形狀．點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕（

3），拖動(dòng)點(diǎn)B在x軸運(yùn)動(dòng)，觀察△ABC的頂點(diǎn)能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗(yàn)到，等腰三角形ABC有4種情況．

思路點(diǎn)撥1拋物線的解析式可以化為交點(diǎn)式，用

m，n表點(diǎn)、的坐．2第（題判定直角三角形

ABC，以用股理逆定理，也可用角三角比．3第（題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程．圖文解析

（

）由x－＋mn＝m)(x－且m，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，可知A(m,B(n,2，＝，那么A(2,B(1,8-----OCOB2222OCOB22222222222222222222222挑戰(zhàn)中系列)（如圖由于C(0,，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)是mn＝－，OC＝．若、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，那么OA·＝－＝－mn＝．所以＝OA·．所以．OA所以∠＝∠．所以∠∠．又為∠1與∠3互余，所以∠與∠3互余．

OC所以∠ACB＝°．（）在△ABC中，已知

A(2,B(n,C(0,討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點(diǎn)間的距離公式，得BC＝5n，＝＋4n．當(dāng)＝AC時(shí)，解方程2)4n得

n

4（如圖．3②當(dāng)CA＝時(shí)，解方程

4n＝，得＝－（如圖

，或＝、B重合，舍去）．當(dāng)BABC時(shí)解方程

2)＝5n，得

n

51（如圖

，或

51（如圖

．2

2圖1考點(diǎn)伸展

第（

圖2圖3圖）題常用的方法還有勾股定理的逆定．

圖5由于C(0,，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是mn＝．由A(m,，B(n,－，得AB＝－n)m－2mn＋n＝m＋n＋，BC＝n＋AC＝＋所以ABBC＋AC．于是得到Rt△ABC，∠ACB°．第（）題在討論等腰三角形

ABC時(shí)，對于

＝CB的情況，此時(shí)

A、B兩點(diǎn)關(guān)于

軸對稱，可以直接寫出例122014

B(－2,－．年湖南省婁底市中考第

27如圖在△ABC中，∠ACB°，AC，BC＝．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA向向點(diǎn)A速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（＜），解答下列問題：（）△APQ的面積為，當(dāng)為何時(shí)，S取得最大值？S的大值是多少？（）如圖，連結(jié)，將△沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，四邊形PQPC為菱形時(shí)，求的值；（）當(dāng)為何值時(shí)，△是等腰三角形？圖1

圖2

圖3

圖4動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

14婁底”，拖動(dòng)點(diǎn)在AC上動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中時(shí)，△APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況．還可以9-----3（圖文解析5223（圖文解析52221考點(diǎn)伸展體驗(yàn)到，當(dāng)QC＝2HC時(shí)，四邊形

挑戰(zhàn)中系列)C是形．思路點(diǎn)撥

1在△APQ中，∠A是確定的，夾∠

A的條邊可以用含

t的子表示．2四邊形PQP′C的對角線保持垂直，當(dāng)對角線互相平分時(shí)，它是菱形，）在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中，＝，BC＝，所以＝，＝

．，cosA＝5

．作QD⊥AB于那么QD＝AQ＝3以3325t)＝(t5．當(dāng)t

＝11APQSAPQD＝(5t)時(shí)，S取最大值，最大值為15．

3t5

＝101028（設(shè)PP與AC交點(diǎn)，那么

2′⊥QC，AH＝APcosA＝

4

(5

8．5如果四邊形PQP′為菱形，那么PQ＝PC．所以QC．解方程

4

t4

4

，得t

20

．（）等腰三角形

APQ存在三種情況：513①如圖當(dāng)APAQ時(shí)，得

t

5

．②如圖

當(dāng)PAPQ時(shí)，1

APcosA

．解方程

140t4(5，得t

．如圖，當(dāng)＝QP2時(shí)，

1

2APAQcos．解方程

(5)

4

1325

．225

13圖5

圖6

圖7圖8在本題情境下，如果點(diǎn)Q是△PP′C的重心，求的．如圖，如果點(diǎn)Q是△22460PP′C的重心，那么QC＝HC．解方程t4(5．3523例132015

年湖南省懷化市中考第

題如圖已知Rt△ABC中，∠C°，＝，＝點(diǎn)P以每秒

個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位的速度從

A→→C方運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)都止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t．（）運(yùn)動(dòng)過程中，求

P、Q兩點(diǎn)間離最值（經(jīng)過

的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線

PQ掃過的面積

S時(shí)間數(shù)關(guān)系式；（P，兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間

使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時(shí)的

，若不存在，請說明理由

．（

5

2.24

，結(jié)果保留一?。﹦?dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

15懷化”，拖動(dòng)點(diǎn)PAC上動(dòng)，可以體驗(yàn)到，

PQ與BD保持平行，等腰三角形

PQC存在三種情況．思路點(diǎn)撥

過點(diǎn)B作QP平行線交

AC于D，那么

BD的長就是

PQ的最大值．2線段

PQ掃過的面積

S要分兩種情況討論，點(diǎn)

Q分別在、上．3等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．10-----CPSAP11226552CPSAP11226552挑戰(zhàn)中系列)圖文解析（1）在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC中，AC＝，＝，所以

AB＝．

AB如圖當(dāng)點(diǎn)Q上時(shí)，作

BD//PQAC于點(diǎn)D，那么

AQ

2t

2

．AD

AP

t所以AD＝．以CDCQ如圖當(dāng)點(diǎn)Q上時(shí)，

162t

2

．又因?yàn)?/p>

CB

62

，所以

CQCB

8t．因此

PQ//BD．所以的最大值就是

BD．CD在eq\o\ac(△,Rt)BCD

3CPCD中，BC＝，CD＝，所以BD＝

3．所以PQ的最大值是

35

．圖1圖2

圖3

圖4（①如圖當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，＜，ABD＝．t由△AQPABD，得△AQP(．所以eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AQP＝15eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AD

＝

355

．②如圖當(dāng)點(diǎn)因?yàn)閑q\o\ac(△,S)＝2

ABDQBC上，＜，eq\o\ac(△,S)＝．CQ＝(162t)(8，2所以＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)－eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)CQP＝－8)＝－t＋－．（3）如圖當(dāng)點(diǎn)Q在時(shí)，CQ＝2CP，∠C＝°，所以△PQC不可能成為等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，我們先用示△PQC的三邊長：易知CP＝QPt35如圖由QP//BD，得AP，即QP．所以QP．BDAD3556如圖作QHACH．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AQH中，QH＝AQ∠＝，

AH＝

8

t．在eq\o\ac(△,Rt)CQH中，由勾股定理，得

＝

QH

2

CH

2

＝

55(t2)8．分三種情況討論等腰三角形

55PQC：（）①當(dāng)PC＝時(shí)，解方程8

t

3得t6

5≈（如圖示）．②當(dāng)QC＝QP時(shí)，

6(

8

t)2

53．整，得40

5511t

2

128t320．所以－－＝0解得t

≈（如圖示），或舍去）．③當(dāng)

＝CQ時(shí)，

8t

6(t2

)(88

t)2

11．整理，得

5t

16t0

．16

55解得t

＝（如圖7示），或（舍去）5綜上所述，當(dāng)?shù)闹导s為，，或等于時(shí)，△是等腰三角形．11-----22挑戰(zhàn)中系列)圖5

圖6

圖78

圖9考點(diǎn)伸展（）題求Q兩點(diǎn)間距離的最大值，可以用代數(shù)計(jì)算說理的方法：635①如圖當(dāng)點(diǎn)Q在AB時(shí)，PQ＝QH2PH＝((tt＝t

．55

5當(dāng)Q與B合時(shí)，PQ最大，此時(shí)，PQ的大值

3．②如圖9當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，為

PQ．當(dāng)與重合時(shí)，PQ最大，此時(shí)，＝

CQ

2

CP

2

＝

(2CP)CP

2

＝

PQ的最大值為

3．綜上所述，PQ的最大值為

35

．§13因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題課前導(dǎo)學(xué)

我們先看三個(gè)問題：

知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形

ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)

C的軌跡是什么？

2已知線段，以線段AB為斜邊的直角三角形

ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3已知點(diǎn)，如果△是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn)

B坐標(biāo)．圖1

圖2

圖3圖4如圖點(diǎn)C在垂線上，垂足除外．如圖

2點(diǎn)C以AB為直徑的圓上，

B兩點(diǎn)除外．如圖

以O(shè)A為邊畫兩個(gè)正方形，除了

O、A兩以外的頂點(diǎn)和正方形對角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)

6個(gè)解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，

那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，

可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．如圖

4，已知A(3,，－，如果直角三角形

ABC的頂點(diǎn)

Cy軸上，求點(diǎn)

C的坐標(biāo)．我們可以用幾何的方法，作

AB為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)3

C．如果作BD⊥y軸于D，那么△AOCCDB．設(shè)OC＝m，那么

4m

．m

1這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對應(yīng)圖中圓與

y軸兩個(gè)交點(diǎn)．例192015

年湖南省益陽市中考第

題如圖，已知拋物線

：＝x經(jīng)過點(diǎn)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線2

經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)、B關(guān)于y的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)′、′．（）求m的值及拋物線2所示的二次函數(shù)12-----32222322222222222挑戰(zhàn)中系列)的表達(dá)式；（如圖在第一象限內(nèi)，拋物線

E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)

、頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)（如圖P為第一象限內(nèi)的拋物線

Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長與拋物線E

相交于點(diǎn)′，求△PAA′與△′BB′的面積之比．圖1

圖23

圖4動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“15益陽21，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線

E運(yùn)動(dòng)，以驗(yàn)，點(diǎn)P始終是線段

OP′中點(diǎn)．還可以體驗(yàn)到，直角三角形

′兩個(gè)．思路點(diǎn)撥

1判斷點(diǎn)P是線段OP′的中點(diǎn)是決題突口，這樣可用個(gè)母表示點(diǎn)P、′坐標(biāo)．．分別求線段AA′∶BB′，點(diǎn)P到AA′的距離∶點(diǎn)P′到BB的距離，就可以比較△PAA′與△′BB′的面積之比．圖文解析當(dāng)1時(shí)，x，所以A(1,．1設(shè)拋物線E的表達(dá)式為ax，代入點(diǎn)，可得．所以

1

22

22

x（點(diǎn)Q第一象限內(nèi)的拋物線

E1上，直角三角形

′存在兩種情況：①如圖

過點(diǎn)B作的垂線交拋物線

于那么

Q(2,②如圖

以BB為直徑的圓

D拋物線

E于點(diǎn)

，那么QD＝

1

＝．1

2

BB設(shè)Q(x,因D(0,＝列方程＋－2)＝解得．此時(shí)1（）如圖為點(diǎn)′分別在拋物線E1、2上，設(shè)P(b,b′c2

(因?yàn)镺、、′三點(diǎn)在同一條直線上，所以

PMOM

PNON

，即

b122b

cc

2

．所以．所以(2b,2b．如圖由A(1,，可得AA′＝BB′＝．由A(1,P(b,，可得點(diǎn)P直線′的距離PM′＝b－．由、′(2b,2b，可得點(diǎn)

到直線

′的距離

N′2b－．所以△PAA′與△′BB′的面積比＝

2(b－∶4(2b－＝．考點(diǎn)延伸

第（）中當(dāng)∠BQB′＝°時(shí)，求點(diǎn)Q(x,x的坐標(biāo)三種常用的方法：2222222222

二，由勾，得

BQ

′Q

′B

以

2)＋＋＝．圖5

圖61

圖2-----2QH1)2．GPQN2QH1)2．GPQNG例202015

挑戰(zhàn)中系列)年湖南省湘潭市中考第

題如圖二次函數(shù)

＝x＋c圖象與x軸交于

1,點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC．點(diǎn)P以每秒

個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)

A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)

Q以每秒

2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)

B向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，連結(jié)PQ當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t秒．）二次函數(shù)的解析式；（如圖

當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求

t的；（如圖

當(dāng)2，延長

QP交軸于點(diǎn)

，在拋物線上是否存在一點(diǎn)

N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)

N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請明理由．動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

15湘潭”，拖動(dòng)點(diǎn)P在上動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△BPQ有兩次機(jī)會(huì)可以成為直角三角形．

還可以體驗(yàn)到點(diǎn)有一次機(jī)會(huì)可以在物上．思路點(diǎn)撥

分兩種情況討論等腰直角三角形

BPQ．2如果

PQ的中點(diǎn)恰為

MN的中點(diǎn)，那么

MQ＝NP，以、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程．

．圖文解析

（因?yàn)閽佄锞€＝＋bx＋c與軸于1,點(diǎn)所以＝－x－．）－1,－可AB＝4，ABC＝°．在△BPQ中，∠＝°，BP＝2直角三角形

BPQ存在兩種情況：當(dāng)∠BPQ°時(shí)，BQ＝當(dāng)∠BQP°時(shí)，BP

2

BP解方程22，＝2（如圖34BQ．方4－，（如4）3圖3

圖4

圖5（如圖

設(shè)PQ的中點(diǎn)為G當(dāng)點(diǎn)G恰為MN的中點(diǎn)時(shí)，MQ＝NP作QE⊥軸于，作NF⊥軸于F，作QH⊥x于H，那么△MQE≌△NPF．由已知條件，得

－QEPF，可得＝－，－－．解得＝．將2代入得－．所以．由QH，得PH，即t(3t(t．整理，得－＋＝．解得t

933

NFPF．因?yàn)椋匀

39

2(t1)332

2考點(diǎn)伸展

第（）題也可以應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

x

xx2

(t1)(3t)

．所以x＝2x＝2．

§14

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導(dǎo)學(xué)

我們先思考三個(gè)問題：

1已知

B、三點(diǎn)，以

、C、D為頂點(diǎn)的平行四邊形有幾個(gè)，怎么畫？

2．在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形

ABCD

的對邊

AB與DC平行且相等？

在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形

ABCD的對角線互相平分？-----22222（圖文22222（圖文解析2挑戰(zhàn)中系列)圖1

圖2

圖3圖4如圖過△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個(gè)點(diǎn)如圖已知A(0,－2,C(3,如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點(diǎn)

D．D的坐標(biāo)呢？點(diǎn)

B先右平移2個(gè)單位，再向上平移

3個(gè)位與點(diǎn)

A重，因?yàn)?/p>

BA與平行且相等，所以點(diǎn)

C(3,1)先向右平移

2個(gè)單位，再向上平移

3個(gè)位得到點(diǎn)

D(5,如圖如果平行四邊形

ABCD

的對角線交于點(diǎn)

G，那么過點(diǎn)

G畫意一條直線（一般與坐標(biāo)軸垂直），點(diǎn)、C這條直線的距離相等，點(diǎn)

B、到這條直線的距離相等．關(guān)系式＋＝和＝＋有時(shí)候用起來很方便．我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合．如圖

4點(diǎn)

A拋物線x＋2x3

在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

AB⊥x軸于點(diǎn)

線段AB交線1于點(diǎn)C，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)可以表示為

－x＋＋點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為

(x,，線段AB的長以用點(diǎn)

A縱坐標(biāo)表示為

AB＝－x＋2x＋，線段AC的長可以用C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示為＝y(tǒng)－y＝＋＋x2

通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：A點(diǎn)在圖象上，可以用圖象的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離．例242014

年湖南省岳陽市中考第

題如圖拋物線經(jīng)過

A(1,B(5,10

)

三點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)

E(x,上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，四邊形

3OEBF是以為對角線的平行四邊形．（）求拋物線的解析式；（當(dāng)點(diǎn)

E(x,試求平行四邊形

OEBF的面積

S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積

S最大值（

是否存在這樣的點(diǎn)

平行四邊形

OEBF為正方形？若存在，求點(diǎn)、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

14岳陽”，拖動(dòng)點(diǎn)E動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，

S最大．當(dāng)點(diǎn)

E動(dòng)到OB的垂直平分線上時(shí)，四邊形

OEBF恰好是正方形．

思路點(diǎn)撥

1．平行四邊形OEBF的面積等于△

OEB面積的

2倍2第（）探究正方形

OEBF，先確定點(diǎn)

EOB的垂直平分線上，再驗(yàn)證

EO＝EB）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于102代入點(diǎn)10，得5a．得a

A(1,點(diǎn)，設(shè)－－．．所以拋物線的解析式為y

2

33(x5)22

4x

10

3．（因?yàn)镾

＝OBE＝OB＝

35(2x

2

x10)＝10(x

3

6x5)

x

2

40

．所以當(dāng)＝3時(shí)，得最大3值，最大值為

40

333E是拋物線的頂點(diǎn)（如圖

32）．（）如果平行四邊形

OEBF是正方3

5形，那么點(diǎn)

EOB的垂直平分線上，且

EO＝EB當(dāng)2-----(x2325151(x23251513圖文解析】222222挑戰(zhàn)中系列)y21)(2(5)

5

．此時(shí)(5,5)

．如圖設(shè)EF與OB交于點(diǎn)D，3

322

2

22恰好OB＝．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四邊形

OEBF是正方形．所以當(dāng)平行四邊形

OEBF是正方形時(shí)，E

(

55

、F

()

．2222圖1

圖2

圖3圖4

圖5考點(diǎn)伸展

既然第（題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形

OEBF有幾個(gè)呢？如圖4如果平行四邊形22方程1)(x5)x(5

OEBF為矩形，那么∠OEB＝°根據(jù)EH＝HO·列1525x)．或者由DE＝OB＝，根據(jù)2＝，列方程(x

5

)

32

2

(x

1)(x5)

2

25

224．這兩個(gè)方程整理以后都是一元三次方程4x－28x＋53x2

3

4－＝這個(gè)方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的．事實(shí)上，這個(gè)方程可以因式分解，(x4)(x)(x)圖3，＝；如圖4＝如圖，，但此時(shí)點(diǎn)

Ex22軸上方了．這個(gè)方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設(shè)方程的三個(gè)根是

52

2m，那么4x－＋－20＝

4(x

5)(xx根據(jù)等式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得方程組24m4n1028,

m

4,10m10n

4mn53,

解得

n

1

.10mn20.例252014

2年湖南省益陽市中考第

題如圖直線－＋3與軸、y分別交于點(diǎn)

B，拋物線＝a(2)＋k經(jīng)過、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)（）拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)

C，其頂點(diǎn)為P．（求k的；△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，

求點(diǎn)Q坐標(biāo)；（）在拋物線及其對稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以、C、、N頂點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．（）由－＋得A(1,B(0,．0,將A(1,別代入－2)＋，得ak解得＝，－．4ak3.（如圖拋物線的對稱軸為直線x＝，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)(2,已知A(1,根據(jù)＝QB，列方程1＋m＝2＋－3)解得m2所以

Q(2,）點(diǎn)于直線x＝的稱點(diǎn)為

C(3,AC＝．如圖如果AC正方形的邊，那么點(diǎn)如圖當(dāng)AC為正方形的對角線時(shí)，

M、都在物或稱軸上．MN中恰有一個(gè)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)

－1)．因?yàn)閷蔷€AC＝，所以正方形邊長為

．-----222思路222思路點(diǎn)撥圖文解析挑戰(zhàn)中系列)圖1

圖2

圖3

圖4考點(diǎn)伸展

如果把第（

題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)

M有幾個(gè)？①如果AC為對角線，上面的正方形

AMCN

是符合條件的，

－．②如圖如果

AC為，那么

MN，＝AC＝．所點(diǎn)

M的橫坐為或．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,）題如果沒有限制等腰三角形

ABQ的底邊，那么符合條件的點(diǎn)

Q有幾個(gè)？①如圖

QA＝QB時(shí)Q(2,．②如圖，當(dāng)＝＝

時(shí)，以

B圓心，BA半徑的圓與直線

x＝2有兩個(gè)交點(diǎn)．

根據(jù)BQ＝，列方程2＋(m－3)＝，得

m

3此時(shí)Q

或③如圖

當(dāng)AQAB時(shí)，以A為圓心，AB為徑的圓與直線

x＝有兩個(gè)交點(diǎn)，但是點(diǎn)

(2,－與、B三共線，所以

Q(2,圖5

圖6

圖7例262014年湖南省邵陽市中考第

25準(zhǔn)備一張矩形紙片（如圖1，按如圖上作：將△ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A在對角線BDC的點(diǎn)M，將△CDF

沿DF翻折，使點(diǎn)是在對角線BD上的點(diǎn)N．（1）求證：四邊形BFDE

是平行四邊形；（）若四邊形BFDE

菱形，AB2，求菱形BFDE的面積．動(dòng)感體驗(yàn)

請打開幾何畫板文件名“

14邵陽”，拖動(dòng)點(diǎn)以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EM與FN在同一條直線上時(shí)，四邊形BFDE是菱形，此時(shí)矩形的直角被三等分．．平行四邊形定義和4個(gè)定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形．如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直．用這兩個(gè)性質(zhì)都可以解答第（

2題．（）如圖3，為AB，所以∠ABD＝∠CDB．又因?yàn)椤希健?，∠＝∠，所以∠＝．所以．又因?yàn)镋D//BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形．圖1

圖2圖3

圖4

圖617-----挑戰(zhàn)中系列)（如圖

如果四邊形

BFDE是菱形，那么∠

1∠所以∠＝∠．23由于∠＝°，所以∠∠∠＝°．所以＝＝，AE

．所以23

83

3ME＝

．所以

S菱形BFDE＝2S△BDE＝BD·＝

．3考點(diǎn)伸展

第（

3）題的解法，我們用平行四邊形的定作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．還可以這樣思考：證明四邊形

BFDE的兩組對邊分別相等；證明ED與平行且相等；明四邊形

BFDE的兩組對角分別相等．這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明∠

1∠∠＝∠．這樣其實(shí)就走了彎路，因?yàn)橛伞?/p>

1＝∠，直接得到，根據(jù)平行四邊形的定義來得快．能不能根據(jù)BD與EF互相平分來證明呢？也是可以的：如圖設(shè)EF與于點(diǎn)O根據(jù)“角角邊”證明△EMO≌△FNO，到EF與MN互相平分．又因?yàn)锽M＝DN，于是得到BD互平分．第（）的解法，我們用了菱形的性質(zhì)：對角線平分每組對角，得到

30°的角．我們也可以根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分來解題：如圖，如果四邊形BFDE是菱形，那么對角線EFBD，此時(shí)垂足MN重合．因此BD＝2DC．這樣就得到了∠＝°．事實(shí)上，四邊形BFDE是菱形時(shí)，矩形ABCD

被分割為

個(gè)全等的直角三角形．由

AB＝2，得AD

23

．矩形ABCD的面積為43

．菱形面積占矩形面積的

2

，所以形面積為

83

．3

3§15

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題課前導(dǎo)學(xué)

面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．如圖如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計(jì)算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖，圖，三角形的三條邊沒有與坐標(biāo)軸平行的計(jì)算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補(bǔ)”的方法．圖1

圖2

圖3

圖5

圖6計(jì)算面積長用到的策略還有：如圖

4同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5同底三角形的面積比等于高的比．如圖

6，高角的積等底的比．例32

湖南省常德市中考第題如圖已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)

、，、B(2,

4)，是OA的點(diǎn)．3（求此二次函數(shù)的解析式；（設(shè)P是拋物線上的一點(diǎn)，過P作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)Q要使四邊形PQAM是菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）將拋物線在

軸下方的部分沿

軸向上翻折，得曲線OB′（′為B于x軸的對稱點(diǎn)），在原拋物線x的上方部分取一點(diǎn)C，連結(jié)CM，CM與翻折后的曲線OB′交于點(diǎn)D，若△CDA的面積是△MDA面積的2倍這18-----（圖文解析，得（圖文解析，得434a．解得a22樣的點(diǎn)C是否存在？若存在求出點(diǎn)）因?yàn)閽佄锞€與4代入點(diǎn)B(2,

挑戰(zhàn)中系列)C的標(biāo)；若存，說明理由．x交于、，兩點(diǎn)，設(shè)－33．所以yx(x3333（2）如圖

由，，M是OA的點(diǎn)，可知

OA＝MA＝2M(2,如果四邊形

PQAM是菱形，已知

PQ//OA，先要滿足

PQ＝2，再必須MP因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線x＝，、關(guān)于2對，所以點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)為

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)．由M(2,(1,3)，可得MP＝．所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

3)，四邊形PQAM是菱形．（）如圖我們把面積進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)換：

作⊥x軸于，作DF⊥軸于．如果△CDA的面積是△MDA面積的2倍，那么△的面積是△MDA面積的3倍．而△與△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶＝31即∶yD＝1因此ME∶MF＝∶．設(shè)MF＝m，那么＝3m．原拋物線的解析式為

3

x(x4)，所以翻折后的拋物線的解析式為

y

3

．3

3所以D(2

3

m)(2m4))C(2

3

(23m)(23m

4))3

3根據(jù)∶D＝∶，列方程

3

(23m)(23m4)3

3

m)(2m4)整理，得3m＝4．解得

m

32

3

．所以2

33m22．所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為

3(223,83)如圖），或(223)（如圖．33圖1考點(diǎn)伸展

第（

圖2）題可以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式：由點(diǎn)

圖3O(0,0),，B(2,

43

圖4坐標(biāo)，可知點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)．可設(shè)

ya(x

43，代入點(diǎn)得

3

3．3

3例332014

年湖南省永州市中考第25題如圖拋物線

ax＋＋）與軸交于

1,兩點(diǎn)，與

軸交于點(diǎn)C(0,M(m,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上．過點(diǎn)

M作x軸的平行線交

y軸于點(diǎn)

，交拋物線于另一點(diǎn)

線

BMy于點(diǎn)．（1求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（當(dāng)eq\o\ac(△,S)MFQ∶S△＝∶3時(shí)，求點(diǎn)

M的坐標(biāo)．圖文解析

（

）因?yàn)閽佄锞€與

x軸交于

1,B(4,點(diǎn)，設(shè)＋－．代

入

點(diǎn)

C(0,，

得

2＝－

4a解

得

a

．

所

以-----22(x2(MFQm22(x2(MFQmn2第（MFQ與△MEB的高的比挑戰(zhàn)中系列)111325y1)(x4)x22228

．頂點(diǎn)坐標(biāo)為

325(28（如圖，已知M(m,作⊥x軸于．由

FQMN=

，得

FQ

=

n

．所以=

mn

．因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線

x

3

MQ，所以ME＝

3

BNm)

m4m32m．由于S＝

1

4mFQMQ＝

1

mn

m

＝

mn

2S△MEB

1

ME

MN

2＝

1

(32m)n

，

22m24m所以當(dāng)MFQ∶eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝3時(shí)，

22∶2m)n4m

＝1∶3整理，得m＋11m－＝解得m＝，或＝．所以點(diǎn)M的坐為(1,－．圖1圖2考點(diǎn)伸展

圖3）題SMFQ∶S＝∶，何需點(diǎn)M一定要在拋物線上？

圖4從上面的解題過程可以看到，△

FQ

=

m與n無關(guān)，兩條底邊的比

MQ

=m也與n無關(guān)．如圖

3因此只要點(diǎn)

MN4mE與點(diǎn)M于直線

3

對稱，點(diǎn)

MME

32m

2在直線的左側(cè)，且點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，就存在eq\o\ac(△,S)MFQ∶eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為圖或－（如圖．§1．因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題課前導(dǎo)學(xué)

一、圓與圓的位置關(guān)系問題，一般無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形．解這類問題，一般分三步走，第一步先羅列三要素：

R，第二步分類列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．第一步在羅列三要素

R、d的程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有

x式子表示．第二步分類列方程，就是指外切與內(nèi)切兩種情況．二、直線與圓的位置關(guān)系問題，一般也無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形．解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：

R和第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．第一步在羅列兩要素

R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有

x式子表示．第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時(shí)

dR列方程．如圖直線

y

4

x軸B1，C3y軸的正半軸上，如果圓

C既與直線

AB相切，又與圓

O相切，求點(diǎn)

C的坐標(biāo)．“既又的雙重條件問題，一般先確定一個(gè)，再計(jì)算另一個(gè)．假設(shè)圓C與直線

AB切于點(diǎn)

，設(shè)CD＝3m，＝4m，＝5m，那么點(diǎn)

C坐標(biāo)為5m)．羅列三要素：對于圓

O，＝；對于圓R＝3m；圓心距OC＝－．分類列方程：兩圓外切時(shí)，

45m＝3m；兩圓內(nèi)切，

4－＝－．把這個(gè)問題再拓展一下，如果點(diǎn)

C在y軸上，那么還要考慮點(diǎn)

C在y軸負(fù)半軸．-----922922相同的是，對于圓

O，對于圓

挑戰(zhàn)中系列)C，R＝；不同的是圓心距OC＝－．圖1例422014

圖1圖2年湖南省衡陽市中考第

題

圖3如圖直線ABx軸交于點(diǎn)A(－4,與交于點(diǎn)B(0,．點(diǎn)P從點(diǎn)A出，以3每秒1個(gè)單位長度的速度沿直線AB向點(diǎn)B移動(dòng)．同時(shí)將直線y以秒單位長度4的速度向上平移，交

OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

＜＜5）秒（證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；（當(dāng)取何值時(shí)，四邊形

ACDP為菱形？請指出此時(shí)以點(diǎn)D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB的位置關(guān)系并說明理由．3圖文解析（）如圖2，由－4,B(0,可得直線AB的解析式為yx4所以直線

．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)OCD中，OD∶OC＝∶OD＝所以

OC，CD＝所以＝＝以四邊形ACDP

總是平行四邊形．

20（如圖

如果四邊形ACDP為菱形，那么

AC＝所以＝得

．44此時(shí)OD＝＝．所以＝

54＝．作DE⊥AB于．在eq\o\ac(△,Rt)BDE中，＝，5

3

4

335BD＝，所以

＝BD·＝．因此OD＝DE，即圓心

D直線

AB的距離等于圓

D的33半徑．所以此時(shí)圓

與直線

AB相切于點(diǎn)如圖

．考點(diǎn)伸展

在本題情境下，點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，平行四邊形

ACDP

的面積最大？S

平行四邊

＝DO

(4

4t)3

＝

12t+

＝

12)

3

．當(dāng)

t

5

時(shí)，平行四邊形ACDP

5255252的面積最大，最大值為3此時(shí)點(diǎn)PAB的中點(diǎn)（如圖

）．2圖4

圖5例

年湖南省株洲市中考第23題21-----△22422△224222挑戰(zhàn)中系列)如圖PQ為圓O的直徑，點(diǎn)

B在線段

PQ的延長線上，

OQ＝＝，動(dòng)點(diǎn)A在O的上半圓上運(yùn)動(dòng)（包含

P、兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角形

）當(dāng)線段AB所在的直線與圓

O相切時(shí)，求△ABC的面積（如圖

1）；（設(shè)∠AOB＝，當(dāng)線段

AB與圓O有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求的范圍（如圖，直接寫出答案）；）當(dāng)線段AB與圓O兩個(gè)公共點(diǎn)、M時(shí)，如果⊥PM于點(diǎn)N，求CM的長（如圖）．圖1圖文解析

（

圖2）如圖

圖3圖4連結(jié)OA．線段

AB所在的直線與圓

圖5圖6相切時(shí)，OA⊥A為切點(diǎn)．此時(shí)在

Rt△AOB中，OA＝OB＝，所以3

＝

3∠ABO＝30°．33此時(shí)等邊三角形

ABC的高為

3

，所以

S

ABC

＝

．（°≤

≤°．2

4（）如圖連結(jié)MQ，那么∠＝°．當(dāng)AO⊥時(shí)，AO//MQ．1由于QOB的中點(diǎn)，所以MQAOM是的中點(diǎn)．所以CM⊥AB．由于OPQ的中點(diǎn)，所以

NO

1

MQ

．所以NO

1

MQ

1

AO

1

．如圖連結(jié)

2MO．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)OMN中，

NO

1

24，MO＝，所以MN＝

15

．在AMN中，AM＝AN＋＝

(

43)152416

324162

．所以AM＝

1662

．于是在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)CAM中，CM＝3AM＝363222考點(diǎn)伸展

第（

）題的題意可以這樣理解：如圖

7，過點(diǎn)

B圓O切線，切點(diǎn)為

如圖弧上的每一個(gè)點(diǎn)（包括點(diǎn)

G、Q都是符合題意的點(diǎn)

A，線段

AB與圓有一個(gè)公共點(diǎn)（即

）．如圖

上的每一個(gè)點(diǎn)

A（不包點(diǎn)

）與點(diǎn)B成的線段AB與圓

O都兩個(gè)交點(diǎn)

M．圖7

圖8

圖9圖1

圖2

圖3§17

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段和差問題課前導(dǎo)學(xué)

線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．22-----2AOCPOCPOB2AOCPOCPOB兩條動(dòng)線段的和的最小值問題，

挑戰(zhàn)中系列)常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖

．三條動(dòng)線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸

“反射鏡面”如

2）兩線差最值題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖PA與PB差的最大值就是AB此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長線上，即′．解決線段和差的最值問題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．第二類問題是“兩點(diǎn)之間，線段最短”結(jié)合“垂線段最短”

．如圖正方形

ABCD的邊長為

4AE平分∠BAC交BC于．點(diǎn)P在AE上，點(diǎn)AB上，那么△

BPQ周長的小值是多少呢？如果把這個(gè)問題看作“牛喝水”問題，

AE是河流，但是點(diǎn)Q不確定?。谝徊?，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間，段最短”．如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于“河流AE的對稱點(diǎn)為

F那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應(yīng)用“垂線段最短”．如圖6，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值是垂線段

這樣，因?yàn)辄c(diǎn)B和河流是確定的，所以點(diǎn)

F是確定的，于是垂線段

FH也是確定的．圖4

圖5

圖61

圖2例50

湖南省郴州市中考第26題已知拋物線＝＋＋經(jīng)－1,C(0,（）這拋線解式；（如圖，點(diǎn)是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）如，設(shè)段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么在直線DE是否存在一點(diǎn)G使△CMG的周長最??？若存在，請求出點(diǎn)

G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

圖文解析（）因?yàn)閽佄锞€與

于

1,，設(shè)＋－．代入點(diǎn)

C(0,－．所以這條拋物線的解析式為

y＝－－＝－x＋（）圖，連結(jié)OP．點(diǎn)P的坐為x＋由＝＝S＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)－x所以S

＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AOC＋eq\o\ac(△,S)＋eq\o\ac(△,S)POB＝x＋＝－＋．因此當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時(shí)P(1,（第一步，幾何說理，確定點(diǎn)

G的位置：如圖

4，在△CMG中，CM為定值，因此當(dāng)GC＋GM最小時(shí)，△CMG的周長最?。捎贕A＝，因此當(dāng)GAGM最小時(shí)，GC＋GM最?。?dāng)點(diǎn)G在AM上時(shí)，GA＋最?。ㄈ鐖D）．圖3

圖4第二步，代數(shù)計(jì)算，求解點(diǎn)

圖56G的坐標(biāo)：如圖，

圖75，∠CAO＝

圖8AD

AO

1

，AE

AC

5-----3312222當(dāng)1時(shí)，PF最3312222當(dāng)1時(shí)，PF最．此時(shí)P(1,2)．2，4＝ax代入點(diǎn)（）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以C(得2(x,x2挑戰(zhàn)中系列)所以

AE

5AD

52

2，圖－

＋＝

(x

19192)，得M，．2424由－1,

(

19)

，得直線

AM的解析式為

y

3

x

3

．作GH⊥x軸于H．設(shè)點(diǎn)

G的坐標(biāo)為

24(x)．由于

GH1∠GEH＝∠ACO＝，所以，即EH＝2GH所以

x

2

332(x．解得x

．所以G

3(,

EH2．考點(diǎn)伸2

2

2

8

816第（題求四邊形ABPC的面積，也可以連結(jié)BC（如圖）因?yàn)椤鰽BC的面積是定值，因此當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，四邊形ABPC的面積也最大．過點(diǎn)P作x軸的垂線，交于F．因?yàn)椤髋c△PBF有公共底邊

PF，高的和等于

C、B兩點(diǎn)間的水平距離，所以當(dāng)

PF最大時(shí)，△

PCB的面積最大．設(shè)點(diǎn)

－x＋，－，那么PF－x＋．例51湖南省湘西州中考第如圖拋物線ax＋＋c關(guān)y軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B

題4

)

和3點(diǎn)－均在拋物線上，點(diǎn)

F

3

在y軸上，過點(diǎn)

3

作直線

x軸平行．（）4

)

(0

)求拋物線的解析式和直線

BC的解析式；（）設(shè)點(diǎn)(x,BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

不與、C合），過點(diǎn)D作x軸的垂線，與拋物線交點(diǎn)

G，設(shè)線段

GD長為

求hx之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，線段GD的長度

最大，最大長度

h的是少（若點(diǎn)

P(m,物線上位于第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

PF并延長，交拋物線于另一點(diǎn)Q過點(diǎn)Q作QS⊥足為，過點(diǎn)P作PN⊥，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；（）若點(diǎn)－2,BC上，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AF，當(dāng)點(diǎn)在何位置時(shí)，MF＋MA的值最小．請直接寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與MF＋的最