人教版數(shù)學(xué)七年級下冊：實(shí)際問題與二元一次方程組（一）(基礎(chǔ))知識講解 (含答案)

PAGE實(shí)際問題與二元一次方程組（一）（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過程，體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實(shí)際問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、常見的一些等量關(guān)系（一）1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量.4.利潤問題：商品利潤＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)，SKIPIF1<0.要點(diǎn)二、實(shí)際問題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系．一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫出答案．要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.【典型例題】類型一、和差倍分問題1.甲乙丙三個(gè)工廠共同籌辦一所廠校，所出經(jīng)費(fèi)不同，其中甲廠出總數(shù)的SKIPIF1<0，乙廠出甲丙兩廠和的SKIPIF1<0，已知丙廠出了16000元，問這所廠?？偨?jīng)費(fèi)是多少？甲乙兩廠各出多少？【思路點(diǎn)撥】題目中的相等關(guān)系是：甲廠所出經(jīng)費(fèi)＝總經(jīng)費(fèi)×SKIPIF1<0，乙廠所出經(jīng)費(fèi)＝（甲廠所出經(jīng)費(fèi)+丙廠所出經(jīng)費(fèi)）×SKIPIF1<0.【答案與解析】解：設(shè)甲廠出x元，乙廠出y元，由題意得：∴12000+14000+16000=42000（元）答：總經(jīng)費(fèi)為42000元，甲廠出12000元，乙廠出14000元.【總結(jié)升華】本題也可以用一元一次方程來解，相比之下，對于含有兩個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，列二元一次方程組來解更方便、更直觀.舉一反三：【變式】（2015?茂名模擬）根據(jù)如圖提供的信息，可知一個(gè)熱水瓶的價(jià)格是（）A．7元 B．35元 C．45元 D．50元【答案】C．解：設(shè)水壺單價(jià)為x元，杯子單價(jià)為y元，則有，解得．答：一個(gè)熱水瓶的價(jià)格是45元．類型二、配套問題2.某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【思路點(diǎn)撥】本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍（注意：別把2倍的關(guān)系寫反了）.【答案與解析】解：設(shè)用SKIPIF1<0米布料做衣身，用SKIPIF1<0米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套.根據(jù)題意，列方程組得SKIPIF1<0解方程組得SKIPIF1<0答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.【總結(jié)升華】生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】某家具廠生產(chǎn)一種方桌，設(shè)計(jì)時(shí)1SKIPIF1<0的木材可做50個(gè)桌面或300條桌腿.現(xiàn)有10SKIPIF1<0的木材，怎樣分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿剛好配套，并指出可生產(chǎn)多少張方桌？（提示：一張方桌有一個(gè)桌面，4條桌腿）.【答案】解：設(shè)有SKIPIF1<0的木材生產(chǎn)桌面，SKIPIF1<0的木材生產(chǎn)桌腿，由題意得，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.∴方桌有50SKIPIF1<0=300（張）.答：有6SKIPIF1<0的木材生產(chǎn)桌面，4SKIPIF1<0的木材生產(chǎn)桌腿，可生產(chǎn)出300張方桌.類型三、工程問題3.一批機(jī)器零件共840個(gè)，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問：兩人每天各做多少個(gè)零件?【思路點(diǎn)撥】本例由分析知，有兩個(gè)相等關(guān)系：(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作總量；(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作總量，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系可列方程求解．【答案與解析】解：設(shè)甲每天做x個(gè)機(jī)器零件，乙每天做y個(gè)機(jī)器零件．根據(jù)題意，得SKIPIF1<0，解之，得SKIPIF1<0．答：甲、乙兩人每天做機(jī)器零件分別為50個(gè)、30個(gè)．【總結(jié)升華】解答這類問題的基本關(guān)系式是：工作量＝工作效率×工作時(shí)間．工程問題一般分為兩類：一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題．類型四、利潤問題4.（2020?曲靖）某商場投入13800元資金購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價(jià)和銷售價(jià)如表所示：類別/單價(jià)成本價(jià)銷售價(jià)（元/箱）甲2436乙3348（1）該商場購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱？（2）全部售完500箱礦泉水，該商場共獲得利潤多少元？【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)商場購進(jìn)甲種礦泉水x箱，購進(jìn)乙種礦泉水y箱，根據(jù)投入13800元資金購進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，列出方程組解答即可；（2）總利潤=甲的利潤+乙的利潤．【答案與解析】解：（1）設(shè)商場購進(jìn)甲種礦泉水x箱，購進(jìn)乙種礦泉水y箱，由題意得，解得：．答：商場購進(jìn)甲種礦泉水300箱，購進(jìn)乙種礦泉水200箱．（2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33）=3600+3000=6600（元）．答：該商場共獲得利潤6600元．【總結(jié)升華】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．舉一反三：【變式】王師傅下崗后開了一家小商店，上周他購進(jìn)甲乙兩種商品共50件，甲種商品的進(jìn)價(jià)是每件35元，利潤率是20%，乙種商品的進(jìn)價(jià)是每件20元，利潤率是15%，共獲利278元，你知道王師傅分別購