高等數(shù)學(xué)B1課件1 積分限為無窮的反常積分

二、無窮限反常積分的審斂第一節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的反常積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束反常積分(廣義積分)反常積分

第六章一、無窮限的反常積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)的無窮限反常積分,記作這時稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達(dá)式:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

計算反常積分解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤.例2.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時有當(dāng)p≠1時有當(dāng)p>1時收斂;p≤1

時發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時,反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時,反常積分發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

計算反常積分解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無窮限反常積分的審斂法定理1.若函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知存在,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束得下列比較審斂法.由定理１知Remark:

已知定理3.(比較審斂法/柯西判別法)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

判別反常積分解:的斂散性.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束由比較審斂法1可知原積分收斂.思考題:

討論反常積分的斂散性.提示:

當(dāng)x≥1時,利用可知原積分發(fā)散.定理4.(極限審斂法1)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有:1)當(dāng)2)當(dāng)證:根據(jù)極限定義,對取定的當(dāng)x

充分大時,必有,即滿足當(dāng)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束可取必有即注意:此極限的大小刻畫了例5.

判別反常積分的斂散性.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)極限審斂法1,該積分收斂.例6.

判別反常積分的斂散性.

解:根據(jù)極限審斂法1,該積分發(fā)散.定理5.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證：則而定義.

設(shè)反常積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱絕對收斂;則稱條件收斂.例7.

判斷反常積分的斂散性.解:根據(jù)比較審斂原理知故由定理5知所給積分收斂(絕對收斂).內(nèi)容小結(jié)1.積分限為無窮的反常積分及其審斂2.一個重要的反常積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P277A類:1(3,4);2(3);3(1,3);

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