概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件1.3古典概型與幾何概型

§1.3古典概型與幾何概型1、古典概型2、幾何概型一、古典概型先討論一類最簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，它具有下述特征：1、樣本空間的元素（基本事件）只有有限個(gè)，不妨設(shè)為n個(gè)，記為，…，；2、每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有…=。稱這種數(shù)學(xué)模型為古典概型。它在概率論中具有非常重要的地位，一方面它比較簡(jiǎn)單，既直觀，又容易理解，另一方面它概括了許多實(shí)際內(nèi)容，有很廣泛的應(yīng)用。對(duì)上述古典概型，它的樣本空間，…，事件域?yàn)榈乃凶蛹娜w，這時(shí)連同，在內(nèi)，F(xiàn)中含有個(gè)事件，并且從概率論的有限可加性知1=…于是…==，若是個(gè)基本事件之和即…則所以在古典概型中，事件的概率是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其分母是樣本點(diǎn)（基本事件）總數(shù)n，而分子是事件包含的基本事件數(shù)k。例如：將一枚硬幣連續(xù)擲兩次就是這樣的試驗(yàn)，也是古典概型，它有四個(gè)基本事件，（正、正），（正、反），（反、正），（反、反），每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能結(jié)果都是。但將兩枚硬幣一起擲，這時(shí)試驗(yàn)的可能結(jié)果為（正、反），（反、反），（正、正）但它們出現(xiàn)的可能性卻是不相同的，（正、反）出現(xiàn)的可能性為，而其它的兩個(gè)事件的可能性為。它不是古典概型，對(duì)此歷史上曾經(jīng)有過爭(zhēng)論，達(dá)朗貝爾曾誤為這三種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的。判別一個(gè)概率模型是否為古典概型，關(guān)鍵是看“等可能性”條件滿不滿足。而對(duì)此又通常根椐實(shí)際問題的某種對(duì)稱性進(jìn)行理論分析，而不是通過實(shí)驗(yàn)來(lái)判斷。由古典概型的計(jì)算公式可知，在古典概型中，若則。同樣，若，則。不難驗(yàn)證，古典概型具有非負(fù)性、規(guī)范性和有限可加性。利用古典概型的公式計(jì)算事件的概率關(guān)鍵是要求基本事件總數(shù)和的有利事件數(shù)，則需要利用排列和組合的有關(guān)知識(shí)，且有一定的技巧性。計(jì)算中經(jīng)常要用到兩條基本原理——乘法原理和加法原理及由之而導(dǎo)出的排列、組合等公式，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下：乘法原理：完成一件工作分m個(gè)步驟，第一步驟有種方法，第二步驟有種方法，……第m個(gè)步驟有種方法，那么完成這件工作有…種方法。加法原理：完成一件工作有m個(gè)獨(dú)立的途徑，第一個(gè)途徑有種方法，……第m個(gè)途徑有種方法，那么完成這件工作共有+……+種方法。以上述兩個(gè)原理為基礎(chǔ)，可以推導(dǎo)出如下的排列、組合等公式。

1．排列：從n個(gè)元素中取出r個(gè)來(lái)排列，既要考慮每次取到哪個(gè)元素，又要考慮取出的順序，根據(jù)取法分為兩類：（1）有放回選取，這時(shí)每次選取都是在全體元素中進(jìn)行，同一元素可被重復(fù)選中，這種排列稱為有重復(fù)排列，總數(shù)為種。（2）不放回選取，這時(shí)一元素一旦被選出便立刻從總體中除去，這種排列稱為選排列，總數(shù)2．組合（1）從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的組合是不考慮元素的順序的，其組合總數(shù)為特別地列。稱為n個(gè)元素的全排（2）若，把n個(gè)不同的元素分成k個(gè)部分，第一部分有個(gè)，第二部分個(gè)……此稱為多項(xiàng)系數(shù)，因?yàn)樗钦归_式中的系數(shù)。當(dāng)時(shí)，即為組合數(shù)（3）若n個(gè)元素中有個(gè)帶足標(biāo)“1”，個(gè)帶足標(biāo)“2”，……這時(shí)不同取法的總數(shù)為……（≤,1≤i≤k），而，第k個(gè)部分個(gè)，則不同的分法有種，個(gè)帶足標(biāo)“k”，且，從這n個(gè)元素中取出r個(gè)，使得帶足標(biāo)“i”的元素有個(gè)4．一些常用等式選排列和組合式可推廣到r是正整數(shù)而n是任意實(shí)數(shù)x的場(chǎng)合，即有

此外由

得由,上式即古典概型問題大致可分為三類。（一）摸球問題例1.3.1在盒子中有五個(gè)球（三個(gè)白球、二個(gè)黑球）從中任取兩個(gè)。問取出的兩個(gè)球都是白球的概率？一白、一黑的概率？分析：說(shuō)明它屬于古典概型，從5個(gè)球中任取2個(gè)，共有C種不同取法，可以將每一種取法作為一個(gè)樣點(diǎn)。則樣本點(diǎn)總數(shù)C是有限的。由于摸球是隨機(jī)的，因此樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的，因此這個(gè)問題是古典概型。解設(shè)基本事件總數(shù)為C的有利事件數(shù)為C，；的有利事件數(shù)為，由此例我們初步體會(huì)到解古典概型問題的兩個(gè)要點(diǎn)：1.首先要判斷問題是否屬于古典概型，即要判斷樣本空間是否有限和等可能性；2.計(jì)算古典概型的關(guān)鍵是“記數(shù)”，這主要利用排列與組合的知識(shí)。在古典概型時(shí)常利用摸球模型，因?yàn)楣诺涓判椭械拇蟛糠謫栴}都能形象化地用摸球模型來(lái)描述，若把黑球做為廢品，白球看為正品，則這個(gè)模型就可以描述產(chǎn)品的抽樣檢查問題，假如產(chǎn)品分為更多等級(jí)，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，則可以用更多有多種顏色的摸球模型來(lái)描述。例1.3.2

在盒子中有十個(gè)相同的球，分別標(biāo)為號(hào)1，2，3，……，9，10，從中任摸一球，求此球的號(hào)碼為偶的概率。解一令所取的球的號(hào)碼為偶數(shù)，則故基本事件總數(shù)件，故解二令所取的球的號(hào)碼為偶數(shù)，則所取的球的號(hào)碼為奇數(shù)，因而此例說(shuō)明了在古典概型問題中，選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，可使我們的解題變的簡(jiǎn)潔。令所取的球的號(hào)碼為偶數(shù)

,因而含有5個(gè)基本事例1.3.3一套五冊(cè)的選集，隨機(jī)地放到書架上，求各冊(cè)書自左至右恰好成1，2，3，4，5的順序的概率。解將五本書看成五各球，這就是一個(gè)摸球模型，基本事件總數(shù)5！。令各冊(cè)自左向右或自右向左恰好構(gòu)成順序。則包含的基本事件數(shù)為2，故例1.3.4從52張撲克牌中取出13張牌來(lái)，問有5張黑桃、三張紅心、3張方塊、2張草花的概率是多少？解基本事件數(shù)為：令表示13張牌中有5張黑桃、3張紅心、3張方塊、2張草花

包含的基本事件數(shù)為：故=（二）、分房問題例1.3.5設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去?。╪≤N），求下列事件的概率：1）指定的n個(gè)房間各有一人住2）恰好有n個(gè)房間，其中各有一人住解因?yàn)槊恳粋€(gè)人有N個(gè)房間可供選擇（沒有限制每間房住多少人），所以n個(gè)人住的方式共有種，它們是等可能的。1）n個(gè)人都分到指定的n間房中去住，保證每間房中個(gè)有一人?。坏谝蝗擞衝分法，第二人有n-1種分法，……最后一人只能分到剩下的一間房中去住，共有n(n-1)…….21種分法，即含有n！個(gè)基本事件：=2）n個(gè)人都分到的n間房中，保證每間只要一人，共有n!種分法，而n間房未指定，故可以從N間房中任意選取，共有種取法，故包含了種取法。=，又如在擲骰子試驗(yàn)中“出現(xiàn)一點(diǎn)”。

注意：分房問題中的人與房子一般都是有個(gè)性的，這類問題是將人一個(gè)個(gè)地往房間里分配，處理實(shí)際問題時(shí)要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不可顛倒，常遇到的分房問題有：

n個(gè)人相同生日問題，n封信裝入n個(gè)信封的問題（配對(duì)問題），擲骰子問題等，分房問題也稱為球在盒子中的分布問題。從上述幾個(gè)例子可以看出，求解古典概型問題的關(guān)鍵是在尋找基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)，有時(shí)正面求較困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化求它的對(duì)立方面，要講究一些技巧。例1.3.6某班級(jí)有n個(gè)人（n<365）問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率是多大？解假定一年按365天計(jì)算，將365天看成365個(gè)“房間”，那么問題就歸結(jié)為摸球問題；令至少有兩個(gè)人的生日在同一天，則的情況比較復(fù)雜（兩人、三人……在同一天），但的對(duì)立事件

n個(gè)人的生日全不相同,這就相當(dāng)于分房問題中的2）“恰有n個(gè)房間，其中各住一人”；于是有=(N=365)，這個(gè)例子就是歷史上有名的“生日問題”，對(duì)于不同的一些n值，計(jì)算得相應(yīng)的如下表：ｎ１０２０２３３０４０５０0.120.410.510.710.890.97又

1，故=1－(N=365)=)(AP表所列出的答案足以引起大家的驚奇，因?yàn)椤耙粋€(gè)班級(jí)中至少有兩個(gè)人生日相同”這個(gè)事件發(fā)生的概率并不如發(fā)多數(shù)人想象的那樣小，而是足夠大，從表中可以看出，當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到23時(shí)，就有半數(shù)以上的班級(jí)會(huì)發(fā)生這件事情，而當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到50人時(shí)，竟有97％的班級(jí)會(huì)發(fā)生上述事件，當(dāng)然這里所講的半數(shù)以上，有97％都是對(duì)概率而言的，只是在大數(shù)次的情況下（就要求班級(jí)數(shù)相當(dāng)多），才可以理解為頻率。從這個(gè)例子告訴我們“直覺”并不可靠，從而更有力的說(shuō)明了研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要性。（三）、隨機(jī)取數(shù)問題例1.3.8從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中等可能地、有放回的連續(xù)抽取3個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：三個(gè)數(shù)字完全不相同三個(gè)數(shù)字中不含1和5

三個(gè)數(shù)字中5恰好出現(xiàn)了兩次三個(gè)數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5解本事件數(shù)為,的有利事件數(shù)為,故==的有利事件數(shù)為（三個(gè)數(shù)只能出現(xiàn)2，3，4），故==例1.3.7在電話號(hào)碼簿中人取一個(gè)號(hào)碼（電話號(hào)碼由7個(gè)數(shù)字組成），求取到的號(hào)碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率？解此時(shí)將０－９這10個(gè)數(shù)子看成“房子”，電話號(hào)碼看成“人”，這就可以歸結(jié)為“分房問題（2）”。令取到的號(hào)碼有由完全不同的數(shù)字組成則=當(dāng)然這個(gè)問題也可以看成摸球問題，將這十個(gè)數(shù)字看成10個(gè)球，從中有放回的取7次，要求7次取得的號(hào)碼都不相同。三個(gè)數(shù)字中5恰好出現(xiàn)兩次，可以是三次中的任意兩次，出現(xiàn)的方式為種，剩下的一個(gè)數(shù)只能從1，2，3，4中任意選一個(gè)數(shù)字，有種選法，故C的有利事件數(shù)為，故=事件包含了5出現(xiàn)了一次，5出現(xiàn)兩次，5出現(xiàn)三次三種情況的有利事件數(shù)為：++故或可以轉(zhuǎn)化為求的對(duì)立事件的概率=三個(gè)數(shù)字中5一次也不出現(xiàn)說(shuō)明三次抽取得都是在1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)字，故含有個(gè)基本事件例1.3.9在這十個(gè)數(shù)字中無(wú)重復(fù)地任取4個(gè)數(shù)字，試求取得的4個(gè)數(shù)字能組成四位偶數(shù)的概率。解設(shè)取得的4個(gè)數(shù)字能組成四位偶數(shù)從10個(gè)數(shù)中任取4個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，共有種排列方式，所以共有個(gè)基本事件。下面考慮包含的基本事件數(shù)，分兩種情況考慮一種是0排在個(gè)位上，有種選法，另一種是0不排在個(gè)位或先從0，2，4，6，8這5個(gè)偶數(shù)中任選一個(gè)排在個(gè)位上，有種排法，然后從剩下的9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)排在剩下的3個(gè)位置上，有種排法,故個(gè)位上是偶數(shù)的排法共有種，但在上，有種,所以A包含的基本事件數(shù)為+，故=這種四個(gè)數(shù)字的排列中包含了“0”排在首位的情形，故應(yīng)除去這種情況的排列數(shù)。故的有利場(chǎng)合數(shù)為：－11P

例1.3.10任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方數(shù)的末位數(shù)字是1的概率。記該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1，那么包含的基本事件為2，，故該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1,則分析：不能將正整數(shù)的全體取為樣本空間，這樣的樣本空間是無(wú)限的，談上不等可能的。解因?yàn)橐粋€(gè)正整數(shù)的平方的末位數(shù)只能取決于該正整數(shù)的末位數(shù)，它們可以是0，1，2……，9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，現(xiàn)任取一個(gè)正整數(shù)的含義，就是這十個(gè)數(shù)字等可能地出現(xiàn)的，換句話說(shuō)，取樣本空間

二、幾何概型一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果數(shù)學(xué)模型是古典概型，那么描述這個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間事件域F和概率P已在前面得到解決。在古典概型中，試驗(yàn)的結(jié)果是有限的，受到了很大的限制。在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)限的情況的。例如，若我們?cè)谝粋€(gè)面積為的區(qū)域中，等可能的任意投點(diǎn)，這里等可能的確切意義是這樣的：在區(qū)域中有任意一個(gè)小區(qū)域A，若它的面積為,則點(diǎn)A落在A中的可能性大小與成正比，而與A的位置及形狀無(wú)關(guān)。如果點(diǎn)A落在區(qū)域A這個(gè)隨機(jī)事件仍記為A，則由該數(shù)的立方后的最后兩位數(shù)字都是1，一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字取決于該數(shù)的最后的兩位數(shù)字，所以樣本空間含有個(gè)樣本點(diǎn)。則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后的第二位數(shù)字是a,那么該數(shù)立方的最后兩個(gè)數(shù)字為1和3a個(gè)個(gè)位數(shù)，要使3a的個(gè)位數(shù)為1，必須a=7，因而包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，故P()=1可得P(A)=這一類概率稱為幾何概率。若一個(gè)試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特征：

1）每次試驗(yàn)的結(jié)果是無(wú)限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來(lái)表示；2）每次試驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的。稱這種數(shù)學(xué)模型為幾何概型。例如：我們?cè)谝粋€(gè)面積為的區(qū)域中，等可能地任意投點(diǎn)，這就是一個(gè)幾何概型。這里等可能的確切意義是這樣的：設(shè)在區(qū)域中有任意一個(gè)小區(qū)域如果它的面積為則點(diǎn)落入中的可能性大小與成正比，而與的位置及形狀無(wú)關(guān)，如果“點(diǎn)落入小區(qū)域”這個(gè)隨機(jī)事件仍然記作，則由如果在一條線段上投點(diǎn)，那么只需要將面積改為長(zhǎng)度；如果在一個(gè)立體內(nèi)投點(diǎn)，則只需將面積改為體積。

設(shè)幾何概型的樣本空間可表示成有度量的區(qū)域，仍記為

事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域仍以表示，則定義事件的概率為這個(gè)定義稱為概率的幾何定義，由式確定的概率稱為幾何概率。例1.3.11（會(huì)面問題）甲乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率。解設(shè)甲，乙到達(dá)的時(shí)刻分別為x和y，則兩人能會(huì)面的充要條件是在平面上建立直角坐標(biāo)系（如圖）則（x,y）的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60米的正方形,而可能會(huì)面的時(shí)間由圖中陰影部分表示。這是一個(gè)幾何概率問題，由等可能性例1.3.12蒲豐（Buffon）投針問題。平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為a(a>0)，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l(l<a)的針，試求針與平行線相交的概率。解假設(shè)x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角，有,由這兩式可以確定平面上的一個(gè)矩形這時(shí)為了針與平行線相交，其條件為由這個(gè)不等式表示的區(qū)域是圖中的陰影部分由等可能性可知P(A)===若l,a

為已知，則以值代入上式，即可計(jì)算得的值。反過來(lái)，若已知的值，也可以用上式去求，而關(guān)于的值，可以用頻率去近似它。如果投針N次，其中針與平行線相交n次，則頻為，于