測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法課件

測量誤差

及

數(shù)據(jù)處理方法§1.1測量與誤差概念

測量是物理實驗的基礎。 測量就是用一定的測量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。

1測量依照測量方法的不同可將測量分為兩大類：（1）

直接測量（2）

間接測量

問題：我們接觸過哪些測量？哪些是直接測量？哪些是間接測量？§

1.1測量與誤差概念2誤差

1、誤差的定義： 測量誤差=測量值-真值 即ΔN=N測－N真

這個誤差的定義反映了測量值偏離真實值的大小和方向。

§

1.1測量與誤差概念3誤差分類及其消除方法（1）系統(tǒng)誤差

a.定義：系統(tǒng)誤差是指在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可預知方式變化的測量誤差的分量。 系統(tǒng)誤差的特點是其確定性。 b.產(chǎn)生原因：測量儀器、測量方法、環(huán)境因素

§

1.1測量與誤差概念c.減小系統(tǒng)誤差的方法： .對測量結果引入修正值； .選擇適當?shù)臏y量方法，使系統(tǒng)誤差能夠抵消而不會帶入測量值中。 ①已定系統(tǒng)誤差：必須修正

例如電表、螺旋測微計的零位誤差；

②未定系統(tǒng)誤差：要估計出分布范圍

如：螺旋測微計制造時的螺紋公差等。

§

1.1測量與誤差概念注意：多次測量求平均并不能消除系統(tǒng)誤差。因為在測量條件不變時，其有確定的大小和符號?！?/p>

1.1測量與誤差概念（2）隨機誤差

a.隨機誤差是指在同一量的多次測量過程中，其大小與符號以不可預知方式變化的測量誤差的分量。

隨機誤差的特征是隨機性。b.產(chǎn)生原因：實驗條件和環(huán)境因素無規(guī)則的起伏變化，引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化。例如：實驗時溫度的隨機波動、螺旋測微計測力在一定范圍內(nèi)隨機變化、讀數(shù)時的視差影響。

§

1.1測量與誤差概念（3）粗大誤差a.定義：明顯超出規(guī)定條件下預期的誤差。b.產(chǎn)生原因：錯誤讀數(shù)、儀器有缺陷、環(huán)境干擾等。 c.應避免出現(xiàn)粗大誤差。如出現(xiàn)粗大誤差，應分析粗大誤差產(chǎn)生的原因。處理數(shù)據(jù)時，剔除異常數(shù)據(jù)。精密度、正確度與準確度（又稱精確度）

這三個名詞分別用來反映隨機誤差、系統(tǒng)誤差和綜合誤差的大小。§

1.1測量與誤差概念4測量結果表示（1）絕對誤差：

測量結果：（2）相對誤差：

§

1.1測量與誤差概念根據(jù)統(tǒng)計理論，我們將多次測量的算術平均值作為真值的最佳近似。

在對測量結果進行評定時，我們約定系統(tǒng)誤差和粗大誤差已經(jīng)消除、修正或可以忽略，只考慮隨機誤差，其服從正態(tài)分布?！?/p>

1.2測量結果誤差估算及評定方法1算術平均偏差對某一物理量N進行K次測量，得N1，N2，…，Ni，……，Nk，則算術平均值為算術平均偏差為§

1.2測量結果誤差估算及評定方法2標準偏差（均方根差）標準偏差是一個描述測量結果離散程度的參量。用它來評定隨機誤差有以下優(yōu)點： 1）穩(wěn)定性，σ值隨K變化較小。 2）它以平方計值，與個別誤差的符號無 關，能反映數(shù)據(jù)的離散程度。 3）與最小二乘法吻合。§

1.2測量結果誤差估算及評定方法（1）測量列的實驗標準差（2）平均值的標準偏差算術平均值的標準偏差反映了算術平均值在真值附近漲落的大小?！?/p>

1.2測量結果誤差估算及評定方法3不確定度3.1定義：它是對測量結果可信賴程度的評定。它表示了被測量的真值以一定概率落在某個量值范圍內(nèi)（，）?！?/p>

1.2測量結果誤差估算及評定方法不確定度小，表示誤差的可能值小，測量的可信賴程度就高；不確定度大，表示誤差的可能值大，測量的可信賴程度降低。3.2不確定度的分類和估算不確定度分為兩類。A類分量：用統(tǒng)計方法求出，即σ(N)或σ(N)。B類分量：用其他方法得出。物理實驗中通常使用儀器的極限誤差除以相應的置信系數(shù)K。注意：在我們的實驗中一般取K≈1，即§

1.2測量結果誤差估算及評定方法3.3用不確定度表示測量結果相對不確定度測量結果約定：在我們的實驗中u取一位有效數(shù)字。注意：的末位和u對齊。例：§

1.2測量結果誤差估算及評定方法§1.3直接測量結果誤差估算及評定

如果對某一物理量只測量一次，則常以測量儀器誤差來評定測量結果的誤差。例1：用直尺測桌子長度，L＝1200.00.5mm例2：用50分度游標卡尺測工件長度， L＝10.000.02mm例3：用10μA電流表，單次測量某一電流 3.10μA

，則

μj＝ΔI＝10μA×0.5％＝0.05μA1單次測量誤差估算及評定

§

1.3直接測量結果誤差估算及評定方法 有以上例題可見，儀器誤差一般用如下方法確定：

1）儀器已經(jīng)標明了誤差，如千分尺。 2）未標明時，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作為單次測量的允許誤差，如例1。 3）電學儀器§

1.3直接測量結果誤差估算及評定方法§1.4間接測量結果誤差的估算及評定1

一般的誤差傳遞公式

若N=f(x,y,z)，則若對N=f(x,y,z)取對數(shù)，則可得到§

1.4間接測量結果誤差估算及評定2標準偏差的傳遞公式§

1.4間接測量結果誤差估算及評定§1.5有效數(shù)字及其運算1有效數(shù)字的含義

有效數(shù)字是由準確數(shù)字（若干位）和可疑數(shù)字（一位）構成，這樣就能夠正確而有效地表示測量結果?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算注意：表示小數(shù)位數(shù)的“0”不是有效數(shù)字；數(shù)字中間和尾部的“0”是有效數(shù)字；數(shù)字尾部的“0”不能隨意舍棄或添加；有效數(shù)字位數(shù)與十進制單位的變換無關；推薦用科學記數(shù)法：K×10n，1≤K＜10?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算2有效數(shù)字運算規(guī)則１、加減運算

尾數(shù)對齊：在小數(shù)點后所應保留的位數(shù)與諸量中小數(shù)點后位數(shù)最少的一個相同?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算例：33.2+3.22=36.4

12.567-1.23=11.34

1.2345+5.11-2.141=4.20２、乘除運算

位數(shù)取齊：諸量相乘除，結果的有效數(shù)字位數(shù)，一般與各個量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算例：1.11×2.0=2.2

3.248÷1.61=2.02

3、某些常見函數(shù)運算的有效位數(shù)（1）對數(shù)函數(shù)y=lnx,y=logx 計算結果尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同；（2）指數(shù)函數(shù)y=ax

結果的有效數(shù)字，可與指數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)相同；（3）三角函數(shù)按角度的有效位數(shù)來定；（4）常數(shù)的有效位數(shù)可以認為是無限的，運算中應多取1位；§

1.5有效數(shù)字及其運算4、混合運算規(guī)則 當進行加減乘除混合運算時，應按加減規(guī)則、乘除規(guī)則和函數(shù)運算規(guī)則逐步計算，最后得到計算結果?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算3不確定度和測量結果

的數(shù)字化整規(guī)則（1）不確定度的有效位數(shù)1~2位

本書約定不確定度只保留1位。

相對不確定度1~2位。

尾數(shù)采用四舍六入五湊偶（2）最佳值或測量值末位與不確定度對齊?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算§1.6常用數(shù)據(jù)處理方法1.列表法2.作圖法3.數(shù)學方法（逐差法、最小二乘法等）§

1.6數(shù)據(jù)處理方法數(shù)據(jù)處理是一個對數(shù)據(jù)進行加工的過程。常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下三類：▲列表法§

1.6數(shù)據(jù)處理方法例：用讀書顯微鏡測量圓環(huán)直徑測量圓環(huán)直徑D儀器：讀數(shù)顯微鏡Δins=0.004mm測量次序i左讀數(shù)/mm右讀數(shù)/mm直徑Di/mm112.76418.7625.998210.84316.8385.995311.98717.9785.996411.58817.5845.996512.34618.3385.992611.01517.0105.994712.34118.3355.994直徑平均值D/mm5.995

標題：說明表格內(nèi)容附加說明：實驗儀器、條件等各個欄目標明名稱和單位原始數(shù)據(jù)注意數(shù)據(jù)紀錄的順序計算的中間結果數(shù)據(jù)例題：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)表§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲作圖法優(yōu)點：能形象直觀地顯示物理量之間的函數(shù)關系§

1.6數(shù)據(jù)處理方法8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00I(mA)U(V)1.選擇合適的坐標紙3.標實驗點4.連成圖線5.標出圖名及注解電阻伏安特性曲線作圖法步驟：一般選用直角坐標紙。選擇圖紙時以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效位數(shù)并能包括所有實驗點為限度。2.確定坐標軸，選擇合適的坐標分度值注意：坐標分度時，忌用3、7等進行分度；坐標分度可不從零開始；盡可能使圖線充滿圖紙。注意：連線時應該使用相應的工具；通常連線是平滑的；要注意剔除錯誤的數(shù)據(jù)點；直線盡量通過（x,y）這一點?！鴪D解法

利用已做好的圖線，我們可以定量地求得待測量或得到經(jīng)驗公式?！?/p>

1.6數(shù)據(jù)處理方法從圖中取兩點可以計算出直線的斜率和截距，從而也就可以得到經(jīng)驗公式。如本例，由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)§

1.6數(shù)據(jù)處理方法由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：不當圖例展示：§

1.6數(shù)據(jù)處理方法nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖曲線太粗，不均勻，不光滑。應該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線?！?/p>

1.6數(shù)據(jù)處理方法nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：§

1.6數(shù)據(jù)處理方法I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學元件伏安特性曲線橫軸坐標分度選取不當。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標分度值時，應既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍?！?/p>

1.6數(shù)據(jù)處理方法I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學元件伏安特性曲線改正為：§

1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當。實際作圖時，坐標原點的讀數(shù)可以不從零開始?！?/p>

1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲逐差法逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)，進行逐項或相等間隔相減得到結果。它計算簡便，并可充分利用數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯，總結規(guī)律，是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。使用條件：（1）自變量x是等間距變化（2）被測物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項式：分類：逐差法逐項逐差（用于驗證被測量之間是否存在多項式函數(shù)關系）分組逐差（用于求多項式的系數(shù)）應用舉例（拉伸法測彈簧的倔強系數(shù)）設實驗中，等間隔的在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應的彈簧下端點的位置L0L1L2‥‥‥L9，則可用逐差法進行以下處理（1）驗證函數(shù)形式是線性關系看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否基本相等.當⊿Li基本相等時,就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關系是線性的，即F=k⊿L用此法可檢查測量結果是否正確，但注意的是必須用逐項逐差（1.6—1）把所得的數(shù)據(jù)逐項相減(2)求物理量數(shù)值現(xiàn)計算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量從上式可看出用逐項逐差，中間的測量值全部抵消了，只有始末二次測量起作用，與一次加九克砝碼的測量完全等價。若用逐項逐差（1.6—1）得到：再求平均為了保證多次測量的優(yōu)點，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合，仍能達到多次測量減小誤差的目的。所以我們采用分組逐差。通?？蓪⒌乳g隔所測的值分成前后兩組，前一組為L0L1L2L3L4

后一組為L5L6L7L8

L9

前后兩組對應項相減再取平均值由此可見，分組逐差和逐項逐差不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了，有利于減小誤差。但注意：這里的是增加五克時彈簧的平均伸長量。§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲數(shù)據(jù)的直線擬合(最小二乘法)用作圖法進行擬合帶有相當大的主觀隨意性，用最小二乘法進行直線擬合優(yōu)于作圖法。最小二乘法的原理：如果能找到一條最佳的擬合直線，那么這條擬合直線上各個相應點的值與測量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的。最佳經(jīng)驗公式y(tǒng)=a0+a1x中a0

、a1的求解

:

通過實驗，等精度地測得一組互相獨立的實驗數(shù)據(jù)（xi，yi，i=1，2…k），設此兩物理量x、y滿足線性關系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)在yi上，設擬合直線公式為y=f(x)=a0+a1x。則測量值和最佳值（回歸直線上對應坐標）的偏差§

1.6數(shù)據(jù)處理方法按最小二乘法原理，應使下式最小S取極小值必要的條件是即:整理后得:解得：式中:§

1.6數(shù)據(jù)處理方法相關系數(shù)r

：最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出a、b外，還應給出相關系數(shù)r，

r定義為