傳熱學(xué)-第四章

傳熱學(xué)_第四章第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2023/3/131

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/132§4-0引言求解導(dǎo)熱問(wèn)題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計(jì)算法；(3)實(shí)驗(yàn)法2三種方法的基本求解過(guò)程

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎(chǔ)上，直接對(duì)微分方程在給定的定解條件下進(jìn)行積分，這樣獲得的解稱(chēng)之為分析解，或叫理論解；

數(shù)值計(jì)算法，把原來(lái)在時(shí)間和空間連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替，通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值；并稱(chēng)之為數(shù)值解；第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/133實(shí)驗(yàn)法就是在傳熱學(xué)基本理論的指導(dǎo)下，采用對(duì)所研究對(duì)象的傳熱過(guò)程所求量的方法3三種方法的特點(diǎn)(1)分析法

能獲得所研究問(wèn)題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)法求解；分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見(jiàn)第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/134(2)數(shù)值法：在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）(3)實(shí)驗(yàn)法:是傳熱學(xué)的基本研究方法，a適應(yīng)性不好；b費(fèi)用昂貴第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/135§4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想

及內(nèi)部節(jié)點(diǎn)離散方程的建立1物理問(wèn)題的數(shù)值求解過(guò)程建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/136二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題2例題條件第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/137xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網(wǎng)格線(xiàn)、節(jié)點(diǎn)、界面線(xiàn)、步長(zhǎng)二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1384建立離散方程的常用方法：Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法；多項(xiàng)式擬合法；控制容積積分法；控制容積平衡法(也稱(chēng)為熱平衡法)第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/139(1)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法以節(jié)點(diǎn)（m，n）處的二階偏導(dǎo)數(shù)為例：①②第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1310若取上面式右邊的前三項(xiàng)，并將式①和式②相加移項(xiàng)整理即得二階導(dǎo)數(shù)的中心差分：同樣可得：截?cái)嗾`差未明確寫(xiě)出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的ΔX的最低階數(shù)為2第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

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對(duì)于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，在直角坐標(biāo)中，其導(dǎo)熱微分方程為：其節(jié)點(diǎn)方程為：時(shí)：第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1312(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量即：?jiǎn)挝唬旱谑?yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1313即：從所有方向流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1314穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)xxyy

(m,n+1)第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1315以二維、穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問(wèn)題為例此時(shí)：可見(jiàn)：當(dāng)溫度場(chǎng)還沒(méi)有求出來(lái)之前，我們并不知道所以，必須假設(shè)相鄰節(jié)點(diǎn)間的溫度分布形式，這里我們假定溫度呈分段線(xiàn)性分布，如圖所示第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1316(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可見(jiàn)，節(jié)點(diǎn)越多，假設(shè)的分段線(xiàn)性分布越接近真實(shí)的溫度布。此時(shí)：內(nèi)熱源：第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1317時(shí)：第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1318無(wú)內(nèi)熱源時(shí)：變?yōu)椋褐匾f(shuō)明：所求節(jié)點(diǎn)的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)之和。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1319§4-2邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解（1）對(duì)于第一類(lèi)邊界條件的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，處理比較簡(jiǎn)單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟?，可將其以?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。（2）而對(duì)于第二類(lèi)邊界條件或第三類(lèi)邊界條件的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，就必須用熱平衡的方法，建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程，邊界節(jié)點(diǎn)與內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程一起組成封閉的代數(shù)方程組，才能求解。為了求解方便，這里我們將第二類(lèi)邊界條件及第三類(lèi)邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。用Φ表示內(nèi)熱源強(qiáng)度。第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/13201.邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1321(2)外部角點(diǎn)xyqw第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1322(3)內(nèi)部角點(diǎn)xyqw第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1323qw的情況：(1)第二類(lèi)邊界條件：將，帶入上面各式即可

絕熱或?qū)ΨQ(chēng)邊界條件？第三類(lèi)邊界條件：將，帶入上面各式即可

？(3)輻射邊界條件：或其他第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/13242.節(jié)點(diǎn)方程組的求解寫(xiě)出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1325直接解法：通過(guò)有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱(chēng)迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線(xiàn)性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德?tīng)柕K迭代、交替方向迭代等高斯-賽德?tīng)柕奶攸c(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1326在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1327判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時(shí)，第三個(gè)較好第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

青島科技大學(xué)熱能與動(dòng)力工程2023/3/1328思考題：1.節(jié)點(diǎn)的概念.2.向前差分,先后差分,中心差分的概念.3.利用能量守恒定律和傅立葉定律,推導(dǎo)內(nèi)點(diǎn)和邊界.