函數(shù)逼近的插值法

函數(shù)逼近的插值法第一頁，共八十三頁，2022年，8月28日引言

許多實(shí)際問題都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系,其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的.雖然在某個(gè)區(qū)間[a，b]上是存在的，有的還是連續(xù)的，但卻只能給出[a,b]上一系列點(diǎn)這只是一張函數(shù)表；有的函數(shù)雖然有解析表達(dá)式,但由于計(jì)算復(fù)雜,使用不方便,通常也構(gòu)造一個(gè)函數(shù)表。如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表、平方根表、立方根表等等。第二頁，共八十三頁，2022年，8月28日引言問題提出1函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜不便于計(jì)算,而又需要計(jì)算許多點(diǎn)處的函數(shù)值2僅有采樣值,而又需要知道非采樣點(diǎn)處的函數(shù)值上述問題的一種解決思路：建立復(fù)雜函數(shù)或者未知函數(shù)的一個(gè)便于計(jì)算的近似表達(dá)式.第三頁，共八十三頁，2022年，8月28日引言

第四頁，共八十三頁，2022年，8月28日2.1Lagrange插值法第五頁，共八十三頁，2022年，8月28日線性插值第六頁，共八十三頁，2022年，8月28日

第七頁，共八十三頁，2022年，8月28日

第八頁，共八十三頁，2022年，8月28日Lagrange插值法第九頁，共八十三頁，2022年，8月28日構(gòu)造插值基函數(shù)引理1設(shè)在區(qū)間[a,b]上有n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，如果n次多項(xiàng)式滿足則第十頁，共八十三頁，2022年，8月28日構(gòu)造插值函數(shù)Ln(x)第十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日第十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日第十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日第十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日誤差估計(jì)第十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日特例第十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日第十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日第十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日第十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日例題第二十頁，共八十三頁，2022年，8月28日第二十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日例題第二十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日第二十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日第二十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日第二十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日第二十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日Lagrange插值算法第二十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日

第二十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日編寫程序如下function[yy]=Lagrange(x,y,xi)m=length(x);n=length(y);ifm~=n,error('Thelengthofvectorxandymustbeconsistent');ends=0;fori=1:nz=ones(1,length(xi));forj=1:nifj~=iz=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));endends=s+z*y(i);endyy=s;end第二十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日例2已知數(shù)據(jù)如表所示，試用Lagrange插值多項(xiàng)式求x=0.5626，0.5635，0.5645時(shí)的函數(shù)近似值。xi0.561600.562800.564010.56521yi0.827410.826590.825770.81495第三十頁，共八十三頁，2022年，8月28日x=[0.5610,0.56280,0.56401,0.56521];>>y=[0.82741,0.82659,0.82557,0.82495];>>xi=[0.5625,0.5635,0.5645];>>yi=Lagrange(x,y,xi)yi=0.82680.82600.8252>>plot(x,y,'o',xi,yi,'g^')第三十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日第三十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日關(guān)于Langrange插值的幾點(diǎn)說明僅與已知數(shù)據(jù)有關(guān)，與的原來形式無關(guān)，但余式與密切相關(guān)。若本身是一個(gè)不超過n次多項(xiàng)式，則第三十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日Langrange插值也有其不足為了提高精度有時(shí)需增加結(jié)點(diǎn)，但這時(shí)原來求的全改變，也就是原來的數(shù)據(jù)不能利用，浪費(fèi)資源；第三十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日例3在區(qū)間【-5，5】上取節(jié)點(diǎn)數(shù)n=11，等距間隔h=1的節(jié)點(diǎn)為插值點(diǎn)，對(duì)于

進(jìn)行Lagrange插值，畫出和插值多項(xiàng)式的曲線圖。作業(yè)：取節(jié)點(diǎn)數(shù)n=21

等距間隔h=1第三十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日t=-5:0.1:5;ft=5./(1+t.*t);t1=-5:1:5;ft1=5./(1+t1.*t1);y1=Lagrange(t1,ft1,t);plot(t,ft,'b+',t,y1,'r:')第三十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日第三十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日第三十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日差商的性質(zhì)

第四十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日差商的性質(zhì)第四十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日第四十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日Newton插值計(jì)算插商表1一階插商二階插商三階插商單元號(hào)F(0)F(1)F(2)F(3)……………………F(n)第五十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日插商表2第五十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日求Nn(x)插商表1計(jì)算簡單，好實(shí)現(xiàn)，但數(shù)值不穩(wěn)定。插商表2在計(jì)算機(jī)上穩(wěn)定性好，但算法復(fù)雜。下面用n=3舉例計(jì)算“秦九韶算法”

第五十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日例題第五十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日第六十頁，共八十三頁，2022年，8月28日functionyi=Newton—Int(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror('Thelengthofvectorxandymustbeconsistent');return;endY=zeros(n);Y(:,1)=y';fork=1:n-1fori=1:n-kY(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i));endendyi=0;fori=1:nz=1;fork=1:i-1z=z*(xi-x(k));endyi=yi+Y(1,i)*z;end第六十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日n=2;x=linspace(0,2,n);y=2*exp(x)+sin(x);xi=[0:0.01:2];yi=New_Int(x,y,xi);xx=[0:0.01:2];yy=2*exp(xx)+sin(xx);plot(xx,yy,'b',x,y,'b*',xi,yi,'r-')第六十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日Lagrange插值公式所求得L(x)保證了節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值相等，也就是保證了函數(shù)的連續(xù)性，但不少實(shí)際問題還需要插值得光滑度，也就是還要求它在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也相等，導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高則光滑度越高?，F(xiàn)代的仿生學(xué)就是一個(gè)典型的例子。在設(shè)計(jì)交通具的外形，就是參照海豚的標(biāo)本上已知點(diǎn)及已知點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，做插值在計(jì)算機(jī)上模擬海豚的外形制成飛機(jī)、汽車等外形。第六十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日Hermite插值多項(xiàng)式構(gòu)造H(x)第六十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日第六十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日第六十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日第六十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日第六十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日第七十頁，共八十三頁，2022年，8月28日第七十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日第七十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日算法第七十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日第七十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日Hermit