5.1.1　任意角課件教學(xué)

第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角課標(biāo)要求1.結(jié)合實(shí)例，了解角的概念的推廣及其實(shí)際意義.2.理解象限角的概念，并掌握終邊相同角的含義及其表示.素養(yǎng)要求在角的概念推廣過程中，經(jīng)歷由具體到抽象，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究?jī)?nèi)容索引互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究1一、角的相關(guān)概念1.問題小明要將射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置. (1)請(qǐng)問有幾種旋轉(zhuǎn)方向？

提示

順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向. (2)先將OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB形成角α，再把OB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OC形成角β，則OC的終邊對(duì)應(yīng)的角是多少？

提示

OC的終邊對(duì)應(yīng)的角為α＋β.2.問題在跳水比賽中，運(yùn)動(dòng)員會(huì)做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”等動(dòng)作，做上述動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度？轉(zhuǎn)過的度數(shù)還能用0°到360°的角度表示嗎？

提示

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)720°或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)720°.“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”指順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900°，轉(zhuǎn)的角度不能用0°到360°的角表示.3.填空

(1)角的分類：①__________繞其端點(diǎn)按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線______做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角.這樣，零角的終邊和始邊______. ②任意角包括正角、負(fù)角和零角，角的范圍不再限于0°～360°. (2)角的加法與減法 ①若角α，β的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱________. ②設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是________. ③相反角：把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為________，角α的相反角記為______，α－β＝α＋__________.一條射線逆時(shí)針沒有重合α＝βα＋β相反角－α(－β)4.做一做角的概念包含的三要素有哪些？

答案

頂點(diǎn)、始邊和終邊.二、象限角1.問題使角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？

提示

落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi).2.填空在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是____________；如果角的終邊在________上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.第幾象限角坐標(biāo)軸BC3.做一做

(多選)下列說法正確的是(

) A.小于90°的角是銳角 B.鈍角是第二象限角 C.－30°是第四象限角 D.第一象限角是銳角

解析

小于90°的角有負(fù)角或0°角，A錯(cuò)，390°是第一象限角，不是銳角，D不正確，只有B、C正確.三、終邊相同的角1.問題如圖所示，60°角的終邊是OA.(1)－660°，420°角的終邊與60°角的終邊有什么關(guān)系？提示

相同.(2)它們與60°分別相差多少？提示

－660°與60°相差－720°，420°與60°相差360°.(3)如何表示與60°角終邊相同的角？提示

60°＋k·360°(k∈Z).2.填空所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合____________________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)______的和.

溫馨提醒

利用終邊相同的角的一般形式可以求出符合某些條件的終邊相同的角，注意“k∈Z”這一條件.S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}周角CD3.做一做

(多選)下列與30°角終邊相同的角是(

) A.600° B.60° C.－330° D.750°解析

與30°角終邊相同的角的集合為{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}，令k＝－1時(shí)，α＝－330°；令k＝2時(shí)，α＝750°.√4.思考辨析正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”.(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.(

)(2)終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.(

)(3)終邊相同的角的表示不唯一.(

)(4)終邊與始邊重合的角是零角.(

)√√×HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

(1)下列說法中，正確的是______(填序號(hào)).①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限角；③第二象限角為鈍角；④角α與－α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.②④題型一與任意角有關(guān)的概念辨析解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限角，但不是銳角，故①的說法是錯(cuò)誤的；同理第二象限角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯(cuò)誤的.(2)如圖，射線OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處，再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處，則β＝________.－40°解析兩次旋轉(zhuǎn)后形成的角為60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.1.正確理解象限角、正角、負(fù)角、銳角、鈍角、周角等概念.2.處理任意角問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)定方向：明確該角是由順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的，由逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角，否則為負(fù)角.(2)定大?。焊鶕?jù)旋轉(zhuǎn)角度的絕對(duì)值確定角的大小.思維升華訓(xùn)練1

經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(

)A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°B故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.例2

(1)寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中符合不等式

－720°≤β<360°的元素β寫出來.題型二終邊相同的角解

與α＝－1910°終邊相同角的集合為{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}.因?yàn)椋?20°≤β<360°，所以－720°≤－1910°＋k·360°<360°，因此k＝4，5，6.當(dāng)k＝4時(shí)，β＝－1910°＋4×360°＝－470°.當(dāng)k＝5時(shí)，β＝－1910°＋5×360°＝－110°.當(dāng)k＝6時(shí)，β＝－1910°＋6×360°＝250°. (2)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合.解

若角α的終邊落在OA上，則α＝30°＋k·360°，k∈Z；若角α的終邊落在OB上，則α＝135°＋k·360°，k∈Z.所以，角α的終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，角的取值集合為{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.1.求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.2.若角的終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)，寫區(qū)域角時(shí)，首先依逆時(shí)針方向由小到大寫出一個(gè)區(qū)間角，再在它的兩端分別加上“k·360°”，右端末尾注明“k∈Z”.思維升華訓(xùn)練2

已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－360°～720°之間的角.解

因?yàn)椋?845°＝－45°＋(－5)×360°，所以－1845°角與－45°角的終邊相同.所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.(1)最小的正角為315°.(2)最大的負(fù)角為－45°.(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.C題型三象限角和區(qū)間(域)角角度1判定給定角所在象限例3

在①160°；②480°；③－960°；④1530°這四個(gè)角中，屬于第二象限角的是(

)A.① B.①②C.①②③ D.①②③④解析

①160°很顯然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.判定角所在象限的方法：1.根據(jù)圖形判定，在平面直角坐標(biāo)系中作出角，角的終邊落在第幾象限

，此角就是第幾象限角；2.根據(jù)終邊相同的角的概念，把角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化后的角的終邊落在第幾象限，此角就是第幾象限角.思維升華訓(xùn)練3

(多選)下列敘述正確的是(

) A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 B.120°是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.270°不屬于任何一個(gè)象限

解析

直角不屬于任何一個(gè)象限，故A不正確；120°是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；270°的終邊在y軸上，它不屬于任何一個(gè)象限，故D正確.BD例4

已知角α的終邊落在如圖所示的陰影范圍內(nèi)(包括邊界)，求角α的集合.角度2區(qū)間(域)角的表示解

終邊在y軸上的角為α＝90°＋k·180°，k∈Z，終邊在直線y＝－x上的角為α＝135°＋k·180°，k∈Z，由圖知，當(dāng)α的終邊在陰影范圍內(nèi)時(shí)，角α的取值集合為{α|90°＋k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}.表示區(qū)間(域)角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，所以{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)有α，β，再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角的集合.思維升華訓(xùn)練4

已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.

解

終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}.

因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.角度3判定

nα

或

所在象限解∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α的終邊位于第三或第四象限，或在y軸的非正半軸上.法二將坐標(biāo)系的每個(gè)象限二等分，得到8個(gè)區(qū)域.自x軸正向按逆時(shí)針方向把每個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如圖所示：將坐標(biāo)系的每個(gè)象限三等分，得到12個(gè)區(qū)域.自x軸正向按逆時(shí)針方向把每個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如圖所示：思維升華訓(xùn)練5

已知α是銳角，那么2α是(

)A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角解析

∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.C課堂小結(jié)1.兩個(gè)重要概念 (1)任意角的概念，高中用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)定義了任意角，旋轉(zhuǎn)方向決定角的正負(fù)，旋轉(zhuǎn)量決定角的大小. (2)終邊相同的角：所有與角α(含α在內(nèi))終邊相同的角可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.兩種思想方法 (1)數(shù)形結(jié)合：解決象限角問題時(shí)，注意利用圖形.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成31.若角2α與240°角的終邊相同，則α等于(

)A.120°＋k·360°，k∈ZB.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈ZD.240°＋k·180°，k∈Z解析

角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.B2.(多選)下列結(jié)論正確的是(

)A.經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針轉(zhuǎn)過的角是－60°B.第一象限角一定是正角C.銳角小于90°

D.終邊相同的角相等解析時(shí)鐘的時(shí)針按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，故轉(zhuǎn)過的角是－60°，故A正確；－335°是第一象限角，但不是正角，故B錯(cuò)誤；銳角是大于0°且小于90°的角，故C正確；30°與390°的終邊相同，但二者不相等，故D錯(cuò)誤.AC3.(多選)下列四個(gè)角為第二象限角的是(

)A.－200° B.1180°C.220° D.420°解析－200°＝－360°＋160°，且160°是第二象限角，∴－200°是第二象限角.1180°＝3×360°＋100°，且100°是第二象限角.∴1180°是第二象限角.同理知220°是第三象限角，420°是第一象限角.AB4.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α與β的關(guān)系為(

)A.α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC.α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD.α－β＝k·360°，k∈Z解析法一(特值法)令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°.法二(直接法)因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.BA.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限解析∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，D6.1112°角是第________象限角.

解析∵1112°＝360°×3＋32°， ∴1112°與32°的終邊相同，均為第一象限角.一7.終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為______________________.

解析終邊在x軸上的角的集合為{α|α＝2n·90°，n∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{α|α＝(2n＋1)·90°，n∈Z}.

所以終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}.{α|α＝k·90°，k∈Z}解析由題意設(shè)θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，20°，140°，260°9.已知，如圖所示. (1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.

解

(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，

終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}. (2)終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.10.已知角α＝2010°. (1)把α改寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.解(1)由2010°除以360°，得商為5，余數(shù)為210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α為第三象限角.(2)與2010°終邊相同的角為k·360°＋2010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2010°<720°(k∈Z)，所以k＝－6，－5，－4.將k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值為－150°，210°，570°.A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<θ<k·360°＋180°，k∈Z，B又－θ是第三象限角，∴90°－θ是第四象限角.12.(多選)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的終邊可