幾個典型的代數(shù)系統(tǒng)

幾個典型的代數(shù)系統(tǒng)第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日

定義6.1設(shè)V=<S,°>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運算，如果°運算是可結(jié)合的，則稱V為半群。如果半群V=<S,°>中的二元運算°是可交換的，則稱V為可交換半群。如果半群V=<S,°>中的二元運算含有幺元，則稱V為含幺半群，也可叫作獨異點。有時將獨異點記為<S,°,e>。半群的子代數(shù)叫作子半群，獨異點的子代數(shù)叫作子獨異點。

6.1半群與群第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日例1(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是半群，+是普通加法,其中除<Z+,+>外都是獨異點.(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù),<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群和獨異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法.(3)<P(B),>為半群，也是獨異點，其中為集合的對稱差運算.(4)<Zn,>為半群，也是獨異點，其中Zn={0,1,…,n1}，為模n加法.(5)<AA,°>為半群，也是獨異點，其中°為函數(shù)的復(fù)合運算.(6)<R*,°>為半群，其中R*為非零實數(shù)集合，°運算定義如下：x,y∈R*,x°y=y.

第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

是T的單位元，T本身可以構(gòu)成獨異點，但不是V2

的子獨異點，因為V2的單位元是e.

例2

設(shè)半群V1=<S,·>，獨異點V2=<S,·,e>.其中·為矩陣乘法，e為2階單位矩陣,且

，則TS，且T是V1=<S,·>的子半群.第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.3(1)設(shè)V1=<S1,°>，V2=<S2,?>是半群，f:S1→S2.若對任意的x,y∈S1有

f(x°y)=f(x)?f(y)則稱f為半群V1到V2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài).(2)設(shè)V1=<S1,°,e1>，V2=<S2,?,e2>是獨異點，f:S1→S2.若對任意的x,y∈S1有

f(x°y)=f(x)?f(y)且f(e1)=e2,

則稱f為獨異點V1到V2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài).

定義6.2

設(shè)V1=<S1,°>，V2=<S2,?>為半群，則V1×V2=<S1×S2,·>也是半群，且對任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a°c,b?d>,稱V1×V2為V1和V2的積半群。第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日則f是半群V1=<S,·>的自同態(tài)，但不是獨異點V2=<S,·,e>的自同態(tài)，因為f(e)e.

例3

設(shè)半群V1=<S,·>，獨異點V2=<S,·,e>.其中·為矩陣乘法，e為2階單位矩陣,且

令第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.4設(shè)<G,°>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運算。如果°

運算是可結(jié)合的，存在幺元e∈G，并且對G中的任何元素x，都有x1∈G，則稱G為群。實例:(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是群.(2)<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.(3)<P(B),>是群，為對稱差運算.(4)<Zn,>，也是群.Zn={0,1,…,n1}，為模n加第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日Klein四元群設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運算由下表給出，稱為Klein四元群

eabc

eabceabcaecbbceacbae運算表特征：

對稱性---運算可交換主對角線元素都是幺元

---每個元素是自己的逆元

a,b,c中任兩個元素運算都等于第三個元素.

第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則為無限群。群G中的元素個數(shù)稱為群G的階，有限群G的階。記作|G|。若群G中的二元運算是可交換的，則稱G為交換群，也叫作阿貝爾(Abel)群。例：<Z,+>和<R,+>是無限群

<Zn,>是有限群，也是n階群

Klein四元群是4階群

n階(n≥2)實可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.

都是交換群第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)G是群，x∈G，n∈Z，則x的

n次冪

xn定義為：實例：在<Z3,>中有23=(21)3=13=111=0

在<Z,+>中有

(2)3=23=2+2+2=6

第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)G是群，x∈G，使得等式xk=e成立的最小正整數(shù)k稱為x的階（或周期），記作|x|=k，稱x為k階元。若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱x為無限階元。

實例：

在<Z6,>中，2和4是3階元，3是2階元，1和5是6階元0是1階元

在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理6.1

設(shè)G為群,則G中的冪運算滿足：

(1)x∈G，(x1)1

=x.

(2)x,y∈G，(xy)1=y1x1.

(3)x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.

(4)x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.

(5)若G為交換群，則(xy)n=xnyn.證：略第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理6.2

G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有唯一解.

證：a1b代入方程左邊的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b

所以a1b是該方程的解.下面證明唯一性.

假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有

c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b

同理可證ba1

是方程ya=b的唯一解.例：設(shè)群G=<P({a,b}),>，其中為對稱差.群方程

{a}X=，Y{a,b}=

的解：X={a}1={a}={a}，

Y={a,b}1={a,b}={a}第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理6.3

G為群，則G中適合消去律，即對任意a,b,c∈G

有

(1)若ab=ac，則b=c.

(2)若ba=ca，則b=c.

證：略定理6.4G為有限群，則G的運算表中的每一行（每一列）都是G中元素的一個置換，且不同的行（或列）的置換都不相同。這就是說，在G的運算表的每一行里，G的每個元素都出現(xiàn)一次且僅一次。這樣就可以很容易判斷出哪些代數(shù)系統(tǒng)不是群。第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.5

設(shè)<G,*>是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運算*構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作H≤G。若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群，記作H<G。

例如：nZ（n是自然數(shù)）是整數(shù)加法群<Z,+>的子群。當(dāng)n≠1時，nZ

是Z

的真子群。同樣{0}也是<Z,+>的子群。在Klein四元群G={e,a,b,c}中，有5個子群。

對任何群G都存在子群。G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群。第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日怎樣判定G的子集H能構(gòu)成子群呢？定理6.5設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab1∈H.

證：只證充分性.由于H非空，必有x∈H。由已知有xx1∈H，從而得到e∈H。任取H中元素a,由e,a∈H得ea

1∈H，即a1∈H。任取a,b∈H,必有b1∈H，從而得到a(b1)1∈H，即ab∈H。

第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日幾個重要子群的實例生成子群：設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>。證：首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則am(al)1=amal=aml∈<a>根據(jù)判定定理可知<a>≤G.例：整數(shù)加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z

}=2Z群<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日群G的中心C：設(shè)G為群,C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，則C是G的子群，稱為G的中心.證:

e∈C.C是G的非空子集.

任取a,b∈C，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換.x∈G，有:(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1

=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知C≤G.對于阿貝爾群G，G的中心就等于G.對某些非交換群G，它的中心是{e}.第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.6設(shè)G是群，若存在a∈G使得

G={ak

|k∈Z

}則稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元。

實例整數(shù)加法群G=<Z,+>=<1>=<1>模6加法群G=<Z6,>=<1>=<5>第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群G=<a>，根據(jù)生成元a的階可以分成兩類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群。設(shè)G=<a>是循環(huán)群，若a是n階元，則

G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.若a是無限階元，則

G={a±0=e,a±1,a±2,…}這時稱G為無限循環(huán)群.

第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日一般地，G的生成元at當(dāng)且僅當(dāng)t與n互質(zhì)。例

(1)G=<Z,+>是無限循環(huán)群，生成元是1或-1。對于自然數(shù)m∈N，1的m次冪是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z

<m>={mz|z∈Z

}=mZ，m>0

(2)G=Z12是12階循環(huán)群，生成元是1,5,7,11。12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：

1階子群<12>=<0>={0}

2階子群<6>={0,6}

3階子群<4>={0,4,8}4階子群<3>={0,3,6,9}

6階子群<2>={0,2,4,6,8,10}

12階子群<1>=Z12第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.7設(shè)S={1,2,…,n},S上的任何雙射函數(shù):S→S構(gòu)成了S上n個元素的置換，稱為S上的n元置換。一般將n元置換記為：

例如S={1,2,3,4,5},則

都是5元置換.第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日設(shè)：σ是S={1,2,…,n}上的n元置換.若

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(im1)=imσ(im)=i1，且保持S中的其他元素不變，則稱σ為S上的m階輪換，記作(i1i2…im)。例如5元置換

分別表示為σ=(12345),τ=(13)(2)(4)(5)。通常為了表達(dá)式簡潔，可去掉1階輪換，則τ又可寫成τ=(13)。第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日例:

設(shè)S={1,2,…,8},

分析：從σ中分解出來的第一個輪換式(15236)；第二個輪換為(4)；第三個輪換為(78)。則σ的輪換表示式：σ=(15236)(4)(78)=(15236)(78)用同樣的方法可以得到τ的分解式：

τ=(18342)(567)注意：在輪換分解式中，1階輪換省略不寫。如何將n元置換分解為輪換?第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日對于n元置換σ,τ∈Sn，°表示σ與τ的復(fù)合，顯然σ°τ也是S上的n元置換。逆置換：例：設(shè)求σ°τ，

τ

°σ，

σ-1

第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日考慮所有的n元置換構(gòu)成的集合Sn：Sn關(guān)于置換的復(fù)合°是封閉的，置換的復(fù)合°滿足結(jié)合律。恒等置換(1)是Sn

中的幺元。對于任何n元置換σ∈Sn，逆置換σ1是σ的逆元。這就證明了Sn關(guān)于置換的復(fù)合°構(gòu)成一個群，稱為n元對稱群。n元對稱群的子群稱為n元置換群。

例：設(shè)S={1,2,3}，3元對稱群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日S3的運算表°

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日6.2環(huán)與域定義6.8

設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運算.如果

(1)<R,+>構(gòu)成交換群（即阿貝爾群），

(2)<R,·>構(gòu)成半群，

(3)·運算關(guān)于+運算適合分配律，

則稱<R,+,·>是一個環(huán)。為了敘述的方便，通常稱+運算為環(huán)中的加法，·運算為環(huán)中的乘法.。環(huán)中加法幺元記作0，乘法幺元（如果存在）記作1。對任何元素x，稱x的加法逆元為負(fù)元，記作x。若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x1.。因此在環(huán)中寫xy意味著x+(y).

第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R和復(fù)數(shù)環(huán)C.(2)n（n≥2）階實矩陣集合Mn(R)關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán).(3)設(shè)Z＝{0,1,...,n1}，和分別表示模n的加法和乘法，則<Zn,,>構(gòu)成環(huán)，稱為模n的整數(shù)環(huán).第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日幾個特殊環(huán)：設(shè)<R,+,·>是環(huán)，

(1)若環(huán)中乘法·適合交換律，則稱R是交換環(huán).

(2)若環(huán)中乘法·存在幺元，則稱R是含幺環(huán).

(3)若a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，則稱R是無零因子環(huán).

零因子實例：在模6整數(shù)環(huán)中，有32=0，而3和2都不是乘法的零元.這時稱3為左零因子，2為右零因子.這種含有左零因子和右零因子的環(huán)就不是無零因子環(huán).

定義6.9

若環(huán)<R,+,·>是交換、含幺和無零因子的，則稱R為整環(huán).第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日若環(huán)<R,+,·>至少含有2個元素且是含幺和無零因子的，并且a∈R（a≠0）有a-1∈R，則稱R為除環(huán)。若環(huán)<R,+,·>既是整環(huán)，有是除環(huán)，則稱R是域。例如：有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C關(guān)于普通的加法和乘法都構(gòu)成域，分別稱為有理數(shù)域、實數(shù)域和復(fù)數(shù)域。整數(shù)環(huán)Z是整環(huán)，而不是域。對于模n的整數(shù)環(huán)Zn，若n是素數(shù)，那么Zn是域。第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：

(1)

整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實數(shù)環(huán)R、復(fù)數(shù)環(huán)C都是交換環(huán)、含幺環(huán)、無零因子環(huán)和整環(huán)。(2)

令2Z={2z|z∈Z}，則<2Z,+,·>構(gòu)成交換環(huán)和無零因子環(huán)。但不是含幺環(huán)和整環(huán)。(3)

設(shè)nZ,n2,則n階實矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣加法和乘法構(gòu)成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無零因子環(huán)，也不是整環(huán)。(4)<Z6,,>構(gòu)成環(huán)，它是交換環(huán)、含幺環(huán)，但不是無零因子環(huán)和整環(huán)?？梢宰C明對于一般的n,Zn是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n是素數(shù)。第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日

下面是域的性質(zhì)：定理6.6

設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈R，a·0=0·a=0

(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=(ab)

(3)a,b∈R，(a)(b)=ab

(4)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca

例：在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a2+ba+ab+b2)(a+b)

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2

第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

(2)不是環(huán),關(guān)于加法不封閉.

例：判斷下列集合和給定運算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域.如果不構(gòu)成,說明理由.(1)A={a+bi|a,b∈Q},其中i2=1,運算為復(fù)數(shù)加法和乘法.(2)A={2z+1|z∈Z},運算為實數(shù)加法和乘法.(3)A={2z|z∈Z},運算為實數(shù)加法和乘法.(4)A={x|x≥0∧x∈Z},運算為實數(shù)加法和乘法.(5),運算為實數(shù)加法和乘法.解(1)是環(huán),是整環(huán),也是域.

(3)是環(huán),不是整環(huán)和域,乘法沒有單位元.

(5)不是環(huán),關(guān)于乘法不封閉.

(4)不是環(huán),A關(guān)于加法不構(gòu)成群.第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日6.3格與布爾代數(shù)定義6.10設(shè)<S,?>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，則稱S關(guān)于偏序?構(gòu)成一個格。

由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x與y的二元運算∨和∧，即x∨y和x∧y分別表示x與y的最小上界和最大下界.

注意：這里出現(xiàn)的∨和∧符號只代表格中的運算，而不再有其他的含義.

第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：設(shè)n是正整數(shù)，Sn是n的正因子的集合。D為整除關(guān)系，則偏序集<Sn,D>構(gòu)成格。x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x與y的最小公倍數(shù)；x∧y是gcd(x,y)，即x與y的最大公約數(shù).實例：第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：判斷下列偏序集是否構(gòu)成格，并說明理由。

(1)<P(B),>，其中P(B)是集合B的冪集。

(2)<Z,≤>，其中Z是整數(shù)集，≤為小于或等于關(guān)系。

(3)偏序集的哈斯圖分別給下圖：

解:(1),(2)是格，(3)中的都不是格。第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日格的性質(zhì)——對偶原理設(shè)f是含有格中元素以及符號=,?,?,∨和∧的命題。令f*是將f中的?替換成?、?替換成?、∨替換成∧、∧替換成∨所得到的命題。稱f*為f的對偶命題。例如在格中令f是(a∨b)∧c?c,則f*是(a∧b)∨c?c

。那么f與f*互為對偶命題。格的對偶原理設(shè)f是含有格中元素以及符號=、?、?、∨和∧等的命題，若f對一切格為真,則f的對偶命題f*也對一切格為真。

例如,對一切格L命題“a,b∈L,a∧b?a”都成立，根據(jù)對偶原理，對一切格L，命題“a,b∈L,a∨b?a”也為真。第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理6.7

設(shè)<L,?>是格,

則運算∨和∧適合交換律、結(jié)合律、冪等律和吸收律，即

(1)a,b∈L

有a∨b=b∨a，a∧b=b∧a

(2)a,b,c∈L

有(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

(3)a∈L

有a∨a=a

，a∧a=a

(4)a,b∈L

有a∨(a∧b)=a，a∧(a∨b)=a

第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日證明：只證(1)(2).根據(jù)對偶原理，只證其中一個等式即可.(1)a∨b是{a,b}的最小上界，b∨a是{b,a}的最小上界.由于{a,b}={b,a},所以a∨b=b∨a.(2)根據(jù)最小上界定義，有下述不等式：(a∨b)∨c?a∨b?a①

(a∨b)∨c?a∨b?b②

(a∨b)∨c?c③

由式②和③(a∨b)∨c?b∨c④由式①和④有(a∨b)∨c?a∨(b∨c).同理可證(a∨b)∨c?a∨(b∨c).根據(jù)偏序的反對稱性得(a∨b)∨c=a∨(b∨c).第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日格的另一個等價的定義：設(shè)<S,*,°>是具有兩個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)，若*和°運算滿足交換、結(jié)合、吸收律，則可以適當(dāng)定義S中的偏序?，使得<S,?>構(gòu)成一個格，且a,b∈S

有a∧b=a*b，a∨b=a°b。和定理6.7相比，這里沒有提到冪等律，這是因為只要吸收律成立，則冪等律就一定成立。證明如下：a∈S有

a°a=a°(a*(a°a))=a

同理可證a*a=a第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.11

設(shè)<L,,>是格，若a,b,cL有

a(bc)=(ab)(ac)

a(bc)=(ab)(ac)成立，則稱L為分配格?？梢宰C明，這兩個等式中只要有一條成立，另一條一定成立。例如a(bc)=(ab)(ac)

a(bc)=(ab)(ac)證：(ab)(ac)=((ab)a)((ab)c)對的分配律

=a((ac)(bc))

吸收律、對的分配律

=(a(ac))(bc)結(jié)合律

=a(bc)吸收律第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日例：指出下圖中哪些格是分配格？解：

L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格。在L3中有b∧(c∨d)=b∧e=b，(b∧c)∨(b∧d)=a∨a=a在L4中有

c∨(b∧d)=c∨a=c，(c∨b)∧(c∨d)=e∧d=d

稱L3為鉆石格,L4為五角格。這兩個5元格在分配格的判別中有著重要的意義。第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.12若在格<L,∧,∨>中存在一個元素a，使得b∈L有a?b（或b?a

）,則稱a為L的全下界（或全上界）。格L若存在全下界或全上界,一定是唯一的。一般將格L的全下界記為0，全上界記為1。具有全上界和全下界的格,稱為有界格,記作<L,∧,∨,0,1>。實例：⑴有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,其中a1∧a2∧…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是L的全上界。一般地，有限元的格都是有界格。⑵冪集格P(B)是有界格，即使它是無窮集合。第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日定義6.13

設(shè)<L,∧,∨,0,1