利用柱面坐標(biāo)計算三重積分

利用柱面坐標(biāo)計算三重積分第一頁，共十二頁，2022年，8月28日一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，則點M與數(shù)r、q

、z相對應(yīng)，其中P(r,q)為點M在xOy面上的投影的極坐標(biāo)．這里規(guī)定r、q

、z的變化范圍為：0

r<，0

q

2

，<z<．xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yq三個數(shù)r、q

、z

叫做點M的柱面坐標(biāo)．第二頁，共十二頁，2022年，8月28日rr0一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分坐標(biāo)面rr0，q

q0，zz0的意義：xyzOq

q0zz0r0q0z0

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，則點M與數(shù)r、q

、z相對應(yīng)，其中P(r,q)為點M在xOy面上的投影的極坐標(biāo)．這里規(guī)定r、q

、z的變化范圍為：0

r<，0

q

2

，<z<．三個數(shù)r、q

、z

叫做點M的柱面坐標(biāo)．第三頁，共十二頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)系中的體積元素：

dv

rdrdqdz．柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yq第四頁，共十二頁，2022年，8月28日x2y242解閉區(qū)域W可表示為：r2z4，0r2，0q2．于是zx2y2或zr24xyzO例1第五頁，共十二頁，2022年，8月28日二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分這樣的三個數(shù)r、j

、q

叫做點M的球面坐標(biāo)．設(shè)M(x，y，z)為空間內(nèi)一點，則點M與數(shù)r

、j

、q相對應(yīng)，其中r

為原點O

與點M

間的距離，j為有向線段與z

軸正向所夾的角，q

為從正z

軸來看自x

軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段的角．這里r

、j

、q

的變化范圍為

0

r<，0

j<，0q

2．xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj第六頁，共十二頁，2022年，8月28日坐標(biāo)面rr0，jj0，q

q0的意義：xyzOrqj

第七頁，共十二頁，2022年，8月28日點的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：球面坐標(biāo)系中的體積元素：

dvr2sinj

drdjdq

．柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj第八頁，共十二頁，2022年，8月28日

例2

求半徑為a

的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積．xyzOa2a第九頁，共十二頁，2022年，8月28日

例2

求半徑為a

的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積．解該立體所占區(qū)域W可表示為：0r2acosj

，0ja

，0q2．于是所求立體的體積為xyzOa2arj．第十頁，共十二頁，2022年，8月28日

例3

求均勻半球體的重心．

解取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上，又設(shè)球半徑為a．a(chǎn)xyzOqjr顯然，重心在z

軸上，故`x

`y

0．第十一頁，共十二頁，2022年，8月28日解取球心為坐標(biāo)原點，z軸與軸l重合，又設(shè)球的半徑為a，例4

求均勻球體對于過球心的