剛體的動(dòng)量與角動(dòng)量課件

第五章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

rotationofarigidbody3/14/20231§5-1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1.剛體rigidbody

剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，無(wú)論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。2、剛體的平動(dòng)：translationofarigidbody當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運(yùn)動(dòng)中始終保持它的方向不變，這種運(yùn)動(dòng)叫平動(dòng)。3/14/20232鄭建洲剛體的平動(dòng)過(guò)程bca平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bcab剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)bca剛體的平動(dòng)過(guò)程平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)rotationofarigidbodyaroundafixaxis

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，且在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。特點(diǎn)：角位移，角速度和角加速度均相同；質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位移角速度角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的角量描述:3/14/202314鄭建洲4.角速度矢量

angularvelocityvector角速度角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈右手螺旋關(guān)系。角速度矢量在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。3/14/202315鄭建洲(1)滑輪的角加速度。(2)開(kāi)始上升后,5秒末滑輪的角速度(3)在這5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。(4)開(kāi)始上升后,1秒末滑輪邊緣上一點(diǎn)的加速度(不打滑)。解:(1)輪緣上一點(diǎn)的切向加速度與物體的加速度相等ar例題5-1:一條纜索繞過(guò)一定滑論拉動(dòng)一升降機(jī),滑論半徑為0.5m,如果升降機(jī)從靜止開(kāi)始以a=0.4m/s2勻加速上升,求：3/14/202317鄭建洲(2)(3)(4)ar合加速度的方向與輪緣切線方向夾角已知at=a=0.4m/s23/14/202318鄭建洲*例題5-2一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度a和飛輪從制動(dòng)開(kāi)始到靜止所轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2）求制動(dòng)開(kāi)始后t=25s時(shí)飛輪的加速度；（3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在

t=25s時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。角速度0vanatarO解

（1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，3/14/202319鄭建洲角速度（2）t=25s時(shí)飛輪的角速度為3/14/202321鄭建洲（3）t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度。的方向與0相同；的方向垂直于和構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為角速度由3/14/202322鄭建洲邊緣上該點(diǎn)的加速度其中

的方向與的方向相反，的方向指向軸心，的大小為

的方向幾乎和

相同。角速度3/14/202323鄭建洲§5-2轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能

Workandenergyinthe

rotation

1.力矩的功workdonebytorque力矩的功：當(dāng)剛體在外力矩作用下繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生角位移時(shí)，就稱(chēng)力矩對(duì)剛體做功。力對(duì)P點(diǎn)作功：0‘03/14/202325鄭建洲因力矩作功：對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。力矩的功0‘03/14/202326鄭建洲2).轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:rotationalinertia(momentofinertia)如果剛體是連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義平動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)動(dòng)能動(dòng)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)：角動(dòng)量可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度3/14/202329鄭建洲說(shuō)明：A、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理也與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中講的動(dòng)能定理相同，只是動(dòng)能的表示形式不同而己，B、對(duì)剛體，內(nèi)力的功總和在任何過(guò)程中都為零。3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律rotationalkineticenergytheorem把質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理應(yīng)用到定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，由于剛體內(nèi)各個(gè)質(zhì)元間相互不作功，Ainr=0,而Aext=M·dθ.則剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：總外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。3/14/202330鄭建洲4、剛體的重力勢(shì)能:xyzoC3/14/202331鄭建洲—質(zhì)元的質(zhì)量—質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可寫(xiě)成積分形式§5.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算Calculationofmomentofinertia

(Calculationofrotationalinertia)按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有3/14/202332鄭建洲轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算區(qū)別：平動(dòng)：平動(dòng)動(dòng)能

線動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能角動(dòng)量3/14/202333鄭建洲例題5.4P146,均勻圓環(huán)：dmCR3/14/202334鄭建洲轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例題5.5求圓盤(pán)對(duì)于通過(guò)中心并與盤(pán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤(pán)的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解設(shè)圓盤(pán)的質(zhì)量面密度為，在圓盤(pán)上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm=2rdr。可得3/14/202335鄭建洲例5.5:計(jì)算質(zhì)量為m,半徑為R,厚為l的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.軸與盤(pán)面垂直并通過(guò)盤(pán)心。l解:圓盤(pán)可以認(rèn)為由許多圓環(huán)組成。實(shí)心圓柱對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量R03/14/202336鄭建洲例題5.6求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直；*（3）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABh3/14/202337鄭建洲llOxdxA解如圖所示，在棒上離軸x處，取一長(zhǎng)度元dx，如棒的質(zhì)量線密度為，這長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=dx。

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心并和棒垂直時(shí)，我們有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算3/14/202338鄭建洲因=m/l，代入得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A并和棒垂直時(shí)，我們有l(wèi)xdxA3/14/202339鄭建洲轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的B點(diǎn)并和棒垂直時(shí)，我們有這個(gè)例題表明，同一剛體對(duì)不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相同。lOxdxABh3/14/202340鄭建洲哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？3/14/202341鄭建洲轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與材料性質(zhì)有關(guān)平行軸定理:剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J,等于對(duì)過(guò)中心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、與二軸間的垂直距離d的平方和剛體質(zhì)量的乘積之和。證明略，見(jiàn)例題5.6（3）3/14/202342鄭建洲定軸（相當(dāng)于）剛體所受到的對(duì)于給定軸的總外力矩等于剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率由轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律微分形式：§5.4剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律lawofrotationofarigidbody兩邊除以dt:3/14/202343鄭建洲ammmRMh例題5.8.已知：M、R、m，繩質(zhì)量不計(jì)，求：物體由靜止開(kāi)始下落h高度時(shí)的速度和滑輪的角速度。T1T2mgT1=T2=T

0+）3/14/202344鄭建洲m1Rm2*例5.9.物體m1>m2，滑輪（R，m）。阻力矩Mf，繩子質(zhì)量忽略，不伸長(zhǎng)、不打滑。求重物的加速度及繩中張力解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mf3/14/202345鄭建洲1.不計(jì)軸上摩擦Mf=03/14/202346鄭建洲3.不計(jì)軸上摩擦、不計(jì)滑輪質(zhì)量(Mf=0,m=0)2.不計(jì)滑輪質(zhì)量m=03/14/202347鄭建洲解：外力：重力、軸的作用力重力勢(shì)能的減少1)、例5.9：一勻質(zhì)細(xì)桿（l，m）繞光滑水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),初始時(shí)在水平位置，靜止釋放，求:1)、豎直位置時(shí)重力所作的功;2)、下落θ角時(shí)的角加速度、角速度;*3)、豎直位置時(shí)軸端所受的力。mgθ2）、由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：3/14/202348鄭建洲l2l2lll2l2由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：細(xì)棒在豎直位置時(shí)，端點(diǎn)A和中心點(diǎn)C的速度分別為3/14/202349鄭建洲*3>、轉(zhuǎn)動(dòng)mgNC質(zhì)心運(yùn)動(dòng)mgllllθ3/14/202350鄭建洲質(zhì)點(diǎn)Δmi對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為：因vi垂直于Ri,，所以ΔLi的大小為剛體對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量，等于各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和。L并不和OZ方向一致。感興趣的OZ的分量Lz,叫做剛體繞定軸的角動(dòng)量，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J一、剛體的角動(dòng)量angularmomentumofarigidbody§5.5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒lawofconservationofangularmomentumofarotationalrigidbodyaroundafixaxis3/14/202351鄭建洲二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理

angularmomentumtheoremofarotationalrigidbodyaroundafixaxis

轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體角動(dòng)量的增量------角動(dòng)量定理。所以由轉(zhuǎn)動(dòng)定律3/14/202352鄭建洲

當(dāng)物體所受合外力矩等于零時(shí)，物體的角動(dòng)量保持不變。-------角動(dòng)量守恒定律若則由角動(dòng)量定理三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律lawofconservationofangularmomentumofarotationalrigidbodyaroundafixaxis角動(dòng)量守恒定律：3/14/202353鄭建洲討論：a.對(duì)于繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，因J保持不變，當(dāng)合外力矩為零時(shí)，其角速度恒定。J=恒量3/14/202354鄭建洲b.若系統(tǒng)由若干個(gè)剛體構(gòu)成,當(dāng)合外力矩為零時(shí),系統(tǒng)的角動(dòng)量依然守恒。J大→

小,J小→大。c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生，若對(duì)某一定軸的合外力矩為零,則系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202355鄭建洲LABABCC常平架上的回轉(zhuǎn)儀應(yīng)用事例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律精確制導(dǎo)3/14/202356鄭建洲應(yīng)用事例：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律直升飛機(jī)3/14/202357鄭建洲直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202358鄭建洲例5.10一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮其中(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過(guò)程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無(wú)外力矩,滿(mǎn)足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202359鄭建洲(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：由角動(dòng)量守恒，得：(1)勢(shì)能零點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202360鄭建洲由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300，得：將上式與聯(lián)立，并代入J

值，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202361鄭建洲例5.11：圓盤(pán)（R，M），人（m）開(kāi)始靜止，人走一周，求盤(pán)相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒人—，盤(pán)—3/14/202362鄭建洲例題5-12*圖中的宇宙飛船對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個(gè)切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個(gè)噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s。廢氣的噴射速率（相對(duì)于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問(wèn)噴管應(yīng)噴射多長(zhǎng)時(shí)間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u-uL0Lg解把飛船和排出的廢氣看作一個(gè)系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為m。可以認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202363鄭建洲所以原來(lái)系統(tǒng)對(duì)于飛船中心軸的角動(dòng)量近似地等于飛船自身的角動(dòng)量，即在噴氣過(guò)程中，以dm表示dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對(duì)中心軸的角動(dòng)量為dmr(u+v)，方向與飛船的角動(dòng)量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的速率v(=r)，所以此角動(dòng)量近似地等于dm

ru。在整個(gè)噴氣過(guò)程中噴出廢氣的總的角動(dòng)量Lg應(yīng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202364鄭建洲當(dāng)宇宙飛船停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，其角動(dòng)量為零。系統(tǒng)這時(shí)的總角動(dòng)量L1就是全部排出的廢氣的總角動(dòng)量，即為在整個(gè)噴射過(guò)程中，系統(tǒng)所受的對(duì)于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對(duì)于此軸的角動(dòng)量守恒，即L0=L1，由此得即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202365鄭建洲于是所需的時(shí)間為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202366鄭建洲例題5-13*一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，可繞通過(guò)其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說(shuō)明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：這個(gè)問(wèn)題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過(guò)程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能CO定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202367鄭建洲零點(diǎn)，用表示棒這時(shí)的角速度,則（1）第二階段是碰撞過(guò)程。因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則（2）式中棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202368鄭建洲第三階段是物體在碰撞后的滑行過(guò)程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為（3）由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得（4）亦即由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得（5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202369鄭建洲亦即l>6s；當(dāng)取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為亦即l<6s棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：把式（5）代入上式，所求結(jié)果為當(dāng)取正值，則棒向左擺，其條件為(6)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202370鄭建洲例題4-14工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kgm2。開(kāi)始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過(guò)程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？AACBACB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律3/14/202371鄭建洲解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來(lái)考慮