垂直關(guān)系的判定

垂直關(guān)系的判定第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日問題提出1.前面我們?nèi)娣治隽酥本€與平面平行的概念、判定和性質(zhì)，對于直線與平面相交，又有哪些相關(guān)概念和原理？我們有必要進一步研究.2.直線與直線存在有垂直關(guān)系，直線與平面也存在有垂直關(guān)系，我們?nèi)绾螐睦碚撋霞右哉J識？第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：直線與平面垂直的概念

思考1：田徑場地面上豎立的旗桿與地面的位置關(guān)系給人以什么感覺？你還能列舉一些類似的實例嗎？第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考2：將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊（想象成一條直線）與桌面的位置關(guān)系呈什么狀態(tài)？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系如何？第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考3：如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時間的變化，影子BC的位置在移動，在各時刻旗桿AB所在直線與影子BC所在直線的位置關(guān)系如何？

ABC第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考4：上述旗桿與地面、書脊與桌面的位置關(guān)系，稱為直線與平面垂直.一般地，直線與平面垂直的基本特征是什么？怎樣定義直線與平面垂直？定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.

第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考5：在圖形上、符號上怎樣表示直線與平面垂直？lα第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考6：如果直線l與平面α垂直，則直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們的交點叫做垂足.那么過一點可作多少條平面α的垂線？過一點可作多少個直線l的垂面？lαA垂線垂面垂足第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日知識探究（二）：直線與平面垂直的判定

思考1：對于一條直線和一個平面，如果根據(jù)定義來判斷它們是否垂直，需要解決什么問題？如何操作？第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考2：我們需要尋求一個簡單可行的辦法來判定直線與平面垂直.如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，能保證l⊥α嗎？如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，能保證l⊥α嗎？第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.思考5：上述定理通常稱為直線和平面垂直的判定定理，它是判定直線與平面垂直的理論依據(jù).結(jié)合下圖，怎樣用符號語言表述這個定理？αalPb第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考6：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直嗎？第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日鞏固練習練習1如圖，空間中直線b和三角形的兩邊AC,BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是（）A平行B垂直C相交D不確定第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日理論遷移例1已知.求證：αabcd第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習2圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC（2）BC平面PAC（3）圖中哪些三角形是直角三角形。鞏固練習第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日例2在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D為PB的中點，求證：AD⊥PC.PABCD第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日例3側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時，有A1C⊥B1D1，說明你的理由.AA1BCDB1C1D1第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日問題提出1.空間兩個平面有平行、相交兩種位置關(guān)系，對于兩個平面平行，我們已作了全面的研究，對于兩個平面相交，我們應(yīng)從理論上有進一步的認識.二：平面與平面垂直的判定第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：二面角的有關(guān)概念思考1:直線上的一點將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線.平面上的一條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫什么名稱？半平面半平面射線射線第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考2:將一條直線沿直線上一點折起，得到的平面圖形是一個角，將一個平面沿平面上的一條直線折起，得到的空間圖形稱為二面角，你能畫一個二面角的直觀圖嗎？第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考3:在二面角α-l-β的棱上取一點O，過點O分別在二面角的兩個面內(nèi)任作兩條射線OA，OB，能否用∠AOB來刻畫二面角的張開程度？lαβOAB第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考4:在上圖中如何調(diào)整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一確定？這個角的大小是否與頂點O在棱上的位置有關(guān)？lαβOABlαβOAB第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考5:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能給二面角的平面角下個定義嗎？以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.lαβOAB第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考6:二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.當二面角的兩個面重合時，二面角的大小為多少度？當二面角的兩個面合成一個平面時，二面角的大小為多少度？一般地，二面角的平面角的取值范圍如何？第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考7:如圖，過二面角α-l-β一個面內(nèi)一點A，作另一個面的垂線，垂足為B，過點B作棱的垂線，垂足為O，連結(jié)AO，則∠AOB是二面角的平面角嗎？為什么？ABOlαβ第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考8:如圖，平面γ垂直于二面角的棱l，分別與面α、β相交于OA、OB，則∠AOB是二面角的平面角嗎？為什么？βlAOBγα第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日理論遷移

例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日平面與平面垂直的判定第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日知識探究（一）：兩個平面垂直的概念

思考1:空間兩條直線垂直是怎樣定義的？直線與平面垂直是怎樣定義的？思考2:什么叫直二面角？如果兩個相交平面所成的四個二面角中，有一個是直二面角，那么其他三個二面角的大小如何？第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考3:如果兩個相交平面所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直.在你的周圍或空間幾何體中，有哪些實例反映出兩個平面垂直？第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考4:在圖形上，符號上怎樣表示兩個平面互相垂直？αβαβ第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日αβ思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)的任一條直線都與平面β垂直嗎？第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日知識探究（二）：兩個平面垂直的判定

思考1:根據(jù)定義判斷兩個平面是否垂直需要解決什么問題？思考2:如圖，∠AOB為直二面角Α-l-β的平面角，那么直線AO與平面α的位置關(guān)系如何？αβABOl第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考3：在二面角α-l-β中，直線m在平面β內(nèi)，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角嗎？αβmla第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考4:根據(jù)上述分析，可以得到兩個平面互相垂直的判定定理，用文字語言如何表述這個定理？定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考5:結(jié)合圖形，兩個平面垂直的判定定理用符號語言怎樣表述？αβl第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考6:過一點P可以作多少個平面與平面α垂直？過一條直線l可以作多少個平面與平面α垂直？αPlαl第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日PABCD例一：如圖RT?ABC中，∠B=90，P為?ABC外一點，PA⊥平面ABC,問：四面體PABC中有幾個直角三角形？第三十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日理論遷移

例1如圖，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.PABCO第三十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日

例2