工程力學(xué)經(jīng)典第十二章 彎曲應(yīng)力

工程力學(xué)經(jīng)典第十二章彎曲應(yīng)力第一頁，共七十六頁，2022年，8月28日梁橫截面上與彎矩M對應(yīng)，

與剪力F對應(yīng)。第二頁，共七十六頁，2022年，8月28日

純彎曲

(purebending)

━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。12-1梁彎曲時的正應(yīng)力MeMe一、彎曲分類第三頁，共七十六頁，2022年，8月28日

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)

━━梁橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)的，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。第四頁，共七十六頁，2022年，8月28日二、純彎曲時的正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)

(1)

幾何關(guān)系━━變形與應(yīng)變觀察在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況第五頁，共七十六頁，2022年，8月28日<1>.彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第六頁，共七十六頁，2022年，8月28日<2>.相鄰橫向線mm和nn，在梁彎曲后仍為直線，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。第七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)

梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。第八頁，共七十六頁，2022年，8月28日

橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸━━中性軸

(neutralaxis)。（f)第九頁，共七十六頁，2022年，8月28日令中性層的半徑為r(如圖c)，則有〈3〉縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)第十頁，共七十六頁，2022年，8月28日(2)物理關(guān)系━━力與變形（應(yīng)力、應(yīng)變）

梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作（胡克定律），且拉、壓彈性模量相同時，有

這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化M

即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變e與該點(diǎn)至中性軸的距離

y成正比。第十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日(3)靜力學(xué)關(guān)系━━應(yīng)力與內(nèi)力。

梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩()，只能組成對于中性軸z的內(nèi)力偶矩，即(d)第十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日將代入上述三個靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)

以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，屬于截面的幾何性質(zhì)，而第十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日

其中

為截面對于z軸的靜矩(staticmomentofanarea)或一次矩（形心計(jì)算公式），其單位為m3。

為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。

為截面對于z軸的慣性矩(momentofineritaofanarea)或二次軸矩，其單位為m4。第十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日

由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：1.橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)第十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為

上式中的EIz稱為梁的抗彎剛度（對Z軸）。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化。

將上式代入得出的式子即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：(c)第十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日

應(yīng)用此式時，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中y的正負(fù)，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸z的距離。第十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

中性軸z

為橫截面對稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。dzyo(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)第十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日

中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)（對Z軸）(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyo第十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日

中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第二十頁，共七十六頁，2022年，8月28日(1)矩形截面簡單截面對于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)第二十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日思考:

一長邊寬度為

b，高為

h的平行四邊形，它對于形心軸

z的慣性矩是否也是？第二十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日(2)

圓截面在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問題中已求得：zoyyzdA而由圖可見，ρ2=y2+z2,

從而知第二十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日而彎曲截面系數(shù)為

根據(jù)對稱性可知，原截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA第二十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日(3)

空心圓截面

由于空心圓截面的面積Ａ等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中，。dOyzD第二十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日根據(jù)對稱性可知：思考：

空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為dOyzD第二十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日純彎曲理論的推廣

工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，即第二十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

例題12-1

圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax。第二十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日

解：在不考慮梁的自重()的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為第二十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有第三十頁，共七十六頁，2022年，8月28日顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)榈谌豁摚财呤摚?022年，8月28日

工程中常遇到由基本圖形構(gòu)成的組合截面，例如下面例題中所示的兩種橫截面。當(dāng)對組合截面桿件計(jì)算在外力作用下的應(yīng)力和變形時需要求出它們對于形心軸x，y(本節(jié)中的x軸就是以前我們所用的z軸)的一些幾何性質(zhì)，例如：慣性矩(momentofinertia)慣性積(productofinertia)12-2慣性矩的計(jì)算第三十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日

在已知構(gòu)成組合截面的每一圖形對于通過其自身形心且平行于組合截面某個軸(例如x軸)的慣性矩時，組合截面的慣性矩可利用平行移軸公式求得。組合截面對于某對相互垂直的軸(例如x，y軸)的慣性積也可類似地求得。y2y1yx

bd1

hOd2x第三十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日

已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對于形心軸xC和yC的慣性矩及慣性積，現(xiàn)需導(dǎo)出該截面對于與形心軸xC

，yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。截面的形心C在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式第三十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日因截面上的任一元素dA在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為于是有注意到xC軸為形心軸，故上式中的靜矩等于零，從而有第三十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日同理可得

以上三式就是慣性矩和慣性積的平行移軸公式。需要注意的是式中的a，b為坐標(biāo)，有正負(fù)，應(yīng)用慣性積平行移軸公式時要特別注意。第三十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日2.組合截面的慣性矩及慣性積

若組合截面由幾個部分組成，則組合截面對于x，y兩軸的慣性矩和慣性積分別為y2y1yx

bd1

hOd2x第三十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

例題12-2

試求圖a所示截面對于x軸的慣性矩Ix，對于y軸的慣性矩Iy，以及對于x，y軸的慣性積Ixy。(a)第三十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日

解：將截面看作由一個矩形和兩個半圓形組成，半圓形的形心位置如圖b所示。(1)求Ix

設(shè)矩形對x軸的慣性矩為，每個半圓形對x軸的慣性矩為，則有其中：第三十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日

至于則需先求出半圓形對其自身形心軸的慣性矩。根據(jù)平行移軸公式可得，而半圓形對于直徑軸x'(圖b)的慣性矩等于圓形對x'軸的慣性矩的一半，于是得第四十頁，共七十六頁，2022年，8月28日然后再利用平行移軸公式求半圓形對x軸的慣性矩：將d=80mm，a=100mm代入后得從而得圖a所示截面對x軸的慣性矩：第四十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日（2）求Iy

此組合截面的y軸就是矩形和半圓形的形心軸，故不必應(yīng)用平行軸公式而有將d=80mm，a=100mm代入后得第四十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日（3）求Ixy

由可知，只要x軸或y軸為截面的對稱軸，則由于與該軸對稱的任何兩個面積元素dA的慣性積xydA數(shù)值相等而正負(fù)號相反，致使整個截面的慣性積必定等于零。圖a所示截面的x軸和y軸都是對稱軸，當(dāng)然Ixy=0。第四十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日12-3

梁彎曲時的強(qiáng)度計(jì)算

等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計(jì)。因此可以認(rèn)為梁的危險截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)系處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應(yīng)力。第四十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫作

由拉、壓許用應(yīng)力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。第四十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日(a)(b)

例題12-3

圖a所示工字鋼制成的梁，其計(jì)算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號碼。第四十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日解：在不計(jì)梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示第四十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日強(qiáng)度條件要求：

此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為第四十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日此時危險截面上的最大工作應(yīng)力為

其值超過許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實(shí)踐中，如果最大工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。

如果計(jì)入梁的自重，危險截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為第四十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日例12-4如圖所示一個鑄鐵梁，求此梁的最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力第五十頁，共七十六頁，2022年，8月28日1、計(jì)算約束力2、畫出剪力彎矩圖？最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力是否都發(fā)生在截面C第五十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日3、計(jì)算截面的幾何性質(zhì)設(shè)截面的形心位于O點(diǎn)第五十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日4、應(yīng)力計(jì)算考察C截面，彎矩為正C截面下邊受拉上邊受壓第五十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日4、應(yīng)力計(jì)算考察B截面，彎矩為負(fù)B截面上邊受拉下邊受壓第五十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日至此，該問題中最大拉應(yīng)力位于B截面的上邊緣，而最大壓應(yīng)力位于C截面的上邊緣第五十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*儒拉夫斯基假設(shè)1）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力

t的方向和該截面上的剪力FQ的方向平行。2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即t的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。12-4梁彎曲時的切應(yīng)力第五十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日取簡支梁中dx的微段進(jìn)行受力分析

若所切微段上無橫向外力作用，則兩截面的剪力相等。則該微段上的應(yīng)力分布如圖

彎矩不同，兩側(cè)截面上的正應(yīng)力也不相同

按照儒拉夫斯基假設(shè)，切應(yīng)力和剪力平行。第五十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日

為了研究橫截面上距離中性層y處的切應(yīng)力t的數(shù)值，可在該處用一個平行于中性層的縱截面pp1，將微段的下半部分截出。第五十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日研究x方向的平衡距中性軸為y處的橫線以外部分橫截面積A1對中性軸的靜矩。同理可得第五十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日研究x方向的平衡頂邊分布的切應(yīng)力的合力dF的大小由第六十頁，共七十六頁，2022年，8月28日橫截面上的剪力整個截面對中性軸的慣性矩梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩所求切應(yīng)力點(diǎn)的位置的梁截面的寬度。上述公式對組合矩形截面梁亦可使用。第六十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日對于矩形截面梁，公式可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換這樣，公式可以改寫為在截面的兩端，y=±h/2在中性層，y=0如圖切應(yīng)力分布規(guī)律二、特殊界面切應(yīng)力1.矩形截面梁第六十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日2.工字形截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成上翼緣下翼緣腹板

由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設(shè)仍然適用，若要計(jì)算腹板上距中性軸y處的切應(yīng)力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。

經(jīng)計(jì)算可得公式為

沿高度的分布規(guī)律如圖結(jié)果表明，腹板幾乎全部承擔(dān)了橫截面上的剪力，且最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力相差不大，因此接近均勻分布。第六十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日3.圓形圓環(huán)形截面梁

根據(jù)分析結(jié)果，圓形和圓環(huán)形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，并且沿中性軸均勻分布，其值分別為:圓形截面圓環(huán)形（薄壁）截面第六十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.T形截面梁T形截面梁上的切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示：

最大切應(yīng)力位于中性軸，大小為:橫截面中性軸z一側(cè)面積（上部或下部對z軸的靜矩）腹板寬度第六十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日例12-5如圖所示矩形截面梁，已知求危險截面上a、c、d、e、f五點(diǎn)的正應(yīng)力和