常系數(shù)非齊次線性方程解法

常系數(shù)非齊次線性方程解法第一頁，共十一頁，2022年，8月28日提示

=[Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex一、

f(x)Pm(x)ex

型y*Q(x)ex

設(shè)方程ypyqyPm(x)ex特解形式為下頁Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)則得[Q(x)ex][Q(x)ex]q[Q(x)ex]y*py*qy*第二頁，共十一頁，2022年，8月28日提示

此時(shí)2pq0要使(＊)式成立Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式

Qm(x)b0xmb1xm1

bm1xbm

(1)如果不是特征方程r2prq0的根則y*Qm(x)ex

下頁一、

f(x)Pm(x)ex

型y*Q(x)ex

設(shè)方程ypyqyPm(x)ex特解形式為Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)則得第三頁，共十一頁，2022年，8月28日提示此時(shí)2pq0但2p0要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m1次多項(xiàng)式

Q(x)xQm(x)

其中Qm(x)b0xm

b1xm1

bm1xbm

(2)如果是特征方程r2prq0的單根,則y*xQm(x)ex

下頁(1)如果不是特征方程r2prq0的根則y*Qm(x)ex

一、

f(x)Pm(x)ex

型y*Q(x)ex

設(shè)方程ypyqyPm(x)ex特解形式為Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)則得第四頁，共十一頁，2022年，8月28日提示:此時(shí)2pq02p0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m2次多項(xiàng)式Q(x)x2Qm(x)

其中Qm(x)b0xmb1xm1

bm1xbm

(3)如果是特征方程r2prq0的重根,則y*x2Qm(x)ex

下頁(2)如果是特征方程r2prq0的單根,則y*xQm(x)ex

(1)如果不是特征方程r2prq0的根則y*Qm(x)ex

一、

f(x)Pm(x)ex

型y*Q(x)ex

設(shè)方程ypyqyPm(x)ex特解形式為Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)——(＊)則得第五頁，共十一頁，2022年，8月28日結(jié)論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式而k按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

下頁第六頁，共十一頁，2022年，8月28日提示因?yàn)閒(x)Pm(x)ex3x1

0不是特征方程的根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*b0xb1

把它代入所給方程得

例1求微分方程y2y3y3x1的一個(gè)特解

解

齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30

[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1

2b03b0x3b13b0x2b03b13x1

提示3b03

2b03b11

特解形式第七頁，共十一頁，2022年，8月28日例2求微分方程y5y6yxe2x的通解

解

齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r

60

其根為r12

r23

提示齊次方程y5y6y0的通解為YC1e2xC2e3x

因?yàn)閒(x)Pm(x)exxe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*x(b0xb1)e2x

把它代入所給方程得2b0x2b0b1x

提示2b01

2b0b10>>>

特解形式第八頁，共十一頁，2022年，8月28日首頁例2求微分方程y5y6yxe2x的通解

解

齊次方程y5y6y0的特征方程為r25r

60

其根為r12

r23

2b0x2b0b1x

因此所給方程的通解為因?yàn)閒(x)Pm(x)exxe2x

2是特征方程的單根

所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*x(b0xb1)e2x

把它代入所給方程得特解形式第九頁，共十一頁，2022年，8月28日二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]有形如y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]的特解其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式

mmax{l

n}而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1

二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型下頁>>>結(jié)論第十頁，共十一頁，2022年，8月28日

解

結(jié)束特解形式

例3求微分方程yyxcos2x的一個(gè)特解

因?yàn)閒(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]xcos2x

i2i不是特征方程的根所以所給方程的特解應(yīng)設(shè)為齊次方程y