定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用第一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日由物理學(xué)知道，如果一個(gè)物體在常力F作用下，使得物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng)，物體有位移s時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為：W=F*s這個(gè)公式只有在力F是不變的情況下才適用，但在實(shí)際問(wèn)題中，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的力是變化的。下面我們來(lái)說(shuō)明如何利用微元法來(lái)求變力所作的功。

一、變力沿直線作功第二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日我們?nèi)圆捎梦⒃?，所求功?duì)區(qū)間具有可加性。設(shè)變力是連續(xù)變化的，分割區(qū)間，任取一小區(qū)間由的連續(xù)性，物體在這一小段路徑上移動(dòng)時(shí)，的變化很小，可近似看作是不變的，則變力在小段路徑上所做的功可近似看作恒力做功問(wèn)題，于是得功的微元為將微元從到求定積分，得整個(gè)區(qū)間所做的功第三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日【例10】 將彈簧一端固定，另一端連一個(gè)小球，放在光滑面上，點(diǎn)為小球的平衡位置。若將小球從點(diǎn)拉到點(diǎn)，求克服彈性力所做的功。解如圖所示，建立數(shù)軸，由物理學(xué)知道，彈性力的大小和彈簧伸長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度成正比，方向指向平衡位置，即：

xOM·其中k是比例常數(shù)，負(fù)號(hào)表示小球運(yùn)動(dòng)方向與彈性力F方向相反。若把小球從點(diǎn)拉到點(diǎn)克服彈性力F，所用外力的大小與F相等，但方向相反，即：，它隨小球位置的變化而變化。在的變化區(qū)間[0，S]上任取一小區(qū)間，則力所做功的微元于是功第四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日【例11】 某空氣壓縮機(jī)，其活塞的面積為S，在等溫壓縮過(guò)程中，活塞由壓縮到處，求壓縮機(jī)在這段壓縮過(guò)程中所消耗的功？解如圖所示建立數(shù)軸，由物理學(xué)知xOx2x1道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)與體積的乘積為常數(shù)，即由已知，體積是活塞面積S與任一點(diǎn)位置的乘積，即因此

于是氣體作用于活塞上的力活塞所用力則力所做功的微元第五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日于是所求功二、液體壓力現(xiàn)有一面積為S的平板，水平置于比重為，深度為的液體中，則平板一側(cè)所受的壓力值：F=壓強(qiáng)×面積如若將平板垂直于該液體中，對(duì)應(yīng)不同的液體深度，壓強(qiáng)值也不同，那么，平板所受壓力應(yīng)如何求解呢？Oaxx+dxby=f(x)xy如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)平板邊緣曲線方程為則所求壓力F對(duì)區(qū)間具有可加性，現(xiàn)用微元法來(lái)求解。第六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日在上任取一小區(qū)間，其對(duì)應(yīng)的小橫條上各點(diǎn)液面深度均近似看成，且液體對(duì)它的壓力近似看成長(zhǎng)為、寬為的小矩形所受的壓力，即壓力的微元為

于是所求壓力第七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日yOX+dx2m1mxx【例12】 有一底面半徑為1米，高為2米的圓柱形貯水桶，里面盛滿水。求水對(duì)桶壁的壓力。解如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則積分變量的變化區(qū)間為[0，2]在其上任取一小區(qū)間，高為的小圓柱面所受壓力值的近似值，即壓力的微元為于是所求壓力將牛頓/米3代入得牛頓第八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日【例13】有一半徑米的圓形溢水洞，試求水位為3米時(shí)作用在閘板上的壓力？

解如果水位為3米，如圖所示，xOx+dxxy√y=R2-x2

建立直角坐標(biāo)系，積分變量的變化區(qū)間為，在其中任取一小區(qū)間，所對(duì)應(yīng)的小窄條上所受壓力的近似值，即壓力微元將第九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解取

ox

軸豎直向上x(chóng)oRR+H地球半徑設(shè)為R質(zhì)量為M，由萬(wàn)有引力定律，即x=R時(shí)火箭所受的引力就是火箭的重力mg火箭所受地球的引力隨火箭發(fā)射的高度

x而變化當(dāng)火箭在地面上代入上式為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力，克服地球引力的外力F與f大小相等第十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日下面用微元法來(lái)求變力所作的功。取x為積分變量所須作的功為了使火箭脫離地球引力范圍，也就是說(shuō)要把火箭發(fā)射到無(wú)窮遠(yuǎn)處第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日則動(dòng)能為因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有代入上式得——第二宇宙速度這功是由火箭上的動(dòng)能轉(zhuǎn)化而來(lái)，若火箭離開(kāi)地面時(shí)的初速度為第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日半徑為R，高為H的圓柱形貯水桶，盛滿了水，問(wèn)將水桶中的水全部吸出須作多少功？解這個(gè)問(wèn)題雖然不是變力作功問(wèn)題，但是由于吸出同樣重量不同深度的水時(shí)所作的功是不同的，所以也要用定積分來(lái)計(jì)算?？梢岳斫馑且粚右粚拥乇晃酵翱诘脑趨^(qū)間[y,y+dy]上對(duì)應(yīng)一小薄柱體該水柱重為將這一小水柱提到桶口所經(jīng)過(guò)的距離例3第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日將以上幾例的解法一般化可得若一物體在變力

F(x)的作用下，沿力的方向（ox軸）作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體由x=a移到x=b時(shí)，變力F(x)對(duì)物體所作的功為

第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日由物理學(xué)知道，一水平放置在液體中的薄板，其面積為A，距液面的深度為h，則該薄板的一側(cè)所受的壓力P等于液體的壓強(qiáng)

p

與受力面積的乘積，而壓強(qiáng)等于深度與比重的乘積，于是但在實(shí)際問(wèn)題中，往往需要計(jì)算與液面垂直放置的薄板一側(cè)的所受的壓力，由于薄板在不同深度處壓強(qiáng)不同，因而不能直接應(yīng)用上述公式進(jìn)行計(jì)算，需要采用微元法，利用定積分來(lái)計(jì)算。例4設(shè)半徑為R的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，求閘門一側(cè)所受的壓力。二、液體的側(cè)壓力第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日取坐標(biāo)系如圖oxyy+dy2Ry奇函數(shù)偶函數(shù)四分之一圓面積x解第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日邊長(zhǎng)為a,

b的矩形薄板，與液面成角斜沉于液體中，長(zhǎng)邊平行于液面而位于深h

處，設(shè)

a>b液體的比重為，求板的一側(cè)所受的壓力。解如圖建立坐標(biāo)系坐標(biāo)為x處液體的深度為xx+dxab例5第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日得液體的側(cè)壓力的計(jì)算公式將以上幾例的解法一般化第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日由萬(wàn)有引力定律：兩個(gè)質(zhì)量分別為相距為r的質(zhì)點(diǎn)間的引力若要計(jì)算一細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)一質(zhì)點(diǎn)的引力，此時(shí)由于細(xì)桿上各點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，所以不能直接利用上述公式計(jì)算。例6設(shè)有一長(zhǎng)為l質(zhì)量為M的均勻細(xì)桿，另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和桿在一條直線上，它到桿的近端距離為a，求細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。三、引力第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日取x為積分變量該小段細(xì)桿的質(zhì)量為若把問(wèn)題改為求細(xì)桿對(duì)位于它的一端垂線上距桿a處的質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)的引力。第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解

取坐標(biāo)系如圖0l·ma取x為積分變量該小段細(xì)桿的質(zhì)量為若把問(wèn)題改為求細(xì)桿對(duì)位于它的一端垂線上距桿a處的質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)的引力。第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日解如圖建立坐標(biāo)系第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日尤其是如何在具體問(wèn)題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對(duì)于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問(wèn)題，便可能束手無(wú)策，不知如何下手。四、平均值和均方根關(guān)于定積分在物理方面的應(yīng)用，除了應(yīng)熟記各個(gè)公式的結(jié)果外，還須了解其推導(dǎo)過(guò)程第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于定積分的應(yīng)用說(shuō)明三點(diǎn)：1。選擇合適的坐標(biāo)系2。善于根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要求構(gòu)造積分元素，主要是選擇好參數(shù)，并能正確地確定出積分限，3。具體計(jì)算定積分時(shí)，要特別注意和充分并且慎重應(yīng)用對(duì)稱性及等量關(guān)系以簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算，對(duì)此，熟悉區(qū)域或曲線的形狀，對(duì)于解決問(wèn)題是十分有益的。第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，2022年，8月28日利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問(wèn)題．（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）思考題一球完全浸沒(méi)水中，問(wèn)該球面所受的總壓力與球浸沒(méi)的深度有無(wú)關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？五、小結(jié)第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，202