建筑力學(xué)影響線

建筑力學(xué)影響線第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日16.1影響線的概念影響線是討論移動荷載作用時，結(jié)構(gòu)中內(nèi)力(位移、支座反力)隨荷載位置的改變而變化的規(guī)律。實際工程中所遇到的移動荷載，通常是間距不變的平行集中荷載或均布荷載。為簡便起見，先研究一個豎向單位集中荷載P=1在結(jié)構(gòu)上移動所產(chǎn)生的影響，然后根據(jù)疊加原理再進一步研究各種移動荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。表示方向不變的單位集中荷載P=1沿結(jié)構(gòu)移動時，某量值變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日16.2單跨靜定梁的影響線下面以圖16.1(a)所示簡支梁AB為例來說明簡支梁影響線的作法。（1）

反力影響線

RB影響線：取A點為坐標原點，以P=1的作用點與A點的距離為變化量x，取值范圍為0≤x≤l。設(shè)反力以向上為正。利用平衡條件∑MA=0，得

RB=x/l×P=x/l(0≤x≤l)16.2.1簡支梁影響線第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.1第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日當(dāng)x=0時，RB=0當(dāng)x=l時，RB=1RB的影響線如圖16.1(b)所示。由RB影響線的繪制過程可知，作影響線的一般步驟是：

①選擇坐標系，定坐標原點，并用變量x標記單位移動荷載P=1的作用位置；

②利用靜力平衡條件確定所求量值影響線的方程，并注明變量x取值范圍；

③根據(jù)影響線方程繪出影響線。第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日

RA影響線：仍取A點為原點，P=1至A的距離為變量x。根據(jù)力矩平衡條件∑MB=0，有

RAl-(l-x)=0RA=(l-x)/l由x=0時，RA=1x=l時，RA=0可以繪出RA的影響線如圖16.1(c)所示。第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日

(2)

彎矩影響線下面作圖16.1(a)所示簡支梁所指定截面C的彎矩MC的影響線。MC的全部影響線如圖16.1(d)。通常稱截面以左的直線為左直線，截面以右的直線為右直線。

其繪制方法是：在左、右兩支座處分別取豎標a、b，如圖16.1(d)，將它們的頂點各與右、左兩支座處的零點用直線相連，則這兩條直線的交點與左右零點相連的部分就是MC的影響線。第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日

(3)

剪力影響線設(shè)要作出簡支梁指定截面C的剪力QC的影響線。當(dāng)P=1在截面C以左部分AC段上移動時，取BC段為隔離體，由∑Y=0，有

QC=-RB

(0≤x＜a)當(dāng)P=1在截面C以右部分BC段上移動時，取AC段為隔離體，由∑Y=0，有

QC=RA

(a＜x≤l)據(jù)此可作出QC影響線如圖16.1(e)所示。第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日設(shè)外伸梁如圖16.2(a)所示，需作出反力RA、RB以及截面C和D的彎矩、剪力影響線。(1)

反力影響線取支座A為坐標原點，以P=1作用點到A點的距離為變量x，且取x以向右為正。利用簡支梁平衡條件分別求得RA和RB的影響線方程為

RA=(l-x)/l(-l1≤x≤l+l2)RB=x/l(-l1≤x≤l+l2)據(jù)此，可作出反力RA和RB的影響線如圖16.2(b)、(c)所示。16.2.2外伸梁的影響線第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.2第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

(2)

簡支部分任意截面C的內(nèi)力影響線當(dāng)P=1位于截面C以左時，求得MC和QC的影響線方程為

MC=RB·b(-l1≤x≤a)

QC=-RB(-l1≤x＜a)當(dāng)P=1位于截面C以右時，則有

MC=RA·a(a≤x≤l+l2)

QC=RA

(a＜x≤l+l2)據(jù)此，可作出MC和QC的影響線如圖16.2(d)、(e)所示。第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日

(3)

外伸部分任意截面D的內(nèi)力影響線當(dāng)P=1位于D以左部分時，有

MD=-x1QD=-1當(dāng)P=1位于D以右部分時，則有

MD=0QD=0據(jù)此，可作出MD和QD的影響線如圖16.2(f)、(g)所示。第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日

學(xué)習(xí)影響線時，應(yīng)特別注意不要把影響線和一個集中荷載作用下簡支梁的彎矩圖混淆。

圖16.3(a)、(b)分別是簡支梁AB的彎矩影響線和彎矩圖，這兩個圖形的形狀雖然相似，但其概念卻完全不同?，F(xiàn)列表16.1把兩個圖形的主要區(qū)別加以比較，以便更好地掌握影響線的概念。第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.3第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日表16.1彎矩影響線彎矩圖承受的荷載數(shù)值為1的單位移動荷載，且無量綱作用位置固定不變的實際荷載，有單位橫坐標x表示單位移動荷載的作用位置表示所求彎矩的截面位置豎標y代表P=1作用在此點時，在指定截面處所產(chǎn)生的彎矩；正值應(yīng)畫在基線上側(cè)；其量綱是［長度］代表實際荷載作用在固定位置時，在此截面所產(chǎn)生的彎矩；彎矩畫在桿件的受拉邊不標正負號；其量綱是［力］·［長度］第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日16.3影響線的應(yīng)用(1)

集中荷載作用

圖16.4(a)所示的外伸梁上，作用一組位置確定的集中荷載P1、P2、P3。現(xiàn)擬求截面C的彎矩MC。首先作出MC影響線如圖16.4(b)所示，并計算出對應(yīng)各荷載作用點的豎標y1、y2、y3。根據(jù)疊加原理可知，在P1、P2、P3共同作用下，MC值為

MC=P1y1+P2y2+P3y3在這組集中荷載共同作用下，量值S為

S=P1y1+P2y2+…+Pnyn

(16.1)16.3.1當(dāng)荷載位置固定時求某量值第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.4第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日(2)

均布荷載作用

圖16.5(a)所示簡支梁DE段作用均布荷載q，求截面C的剪力QC。首先作出截面C的QC影響線，如圖16.5(b)所示。全部均布荷載作用下的QC值為同理，當(dāng)梁上作用有荷載集度各不相同的均布荷載，或不連續(xù)的均布荷載時，則應(yīng)逐段計算，然后求其代數(shù)和，即(16.2)第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖15.5第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日【例15.1】試利用影響線計算圖16.6(a)所示外伸梁在圖示荷載作用下的截面C的彎矩MC和剪力QC值?！窘狻?/p>

(1)作MC、QC影響線分別如圖16.6(b)、(c)所示。

(2)計算P作用點及q作用范圍邊緣所對應(yīng)的影響線圖上的豎標yi值，分別見圖16.6(b)、(c)所示。

(3)計算MC、QCMC=PyD+q(w1+w2)=80kN·mQC=PyD′+q(w1′+w2′)=-20kN第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.6第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日(1)

均布荷載如果移動荷載是均布荷載，而且它可以任意斷續(xù)布置，其分布長度也可以是任意的，則荷載的最不利位置易于由觀察確定。由式(16.2)

例如圖16.7(a)所示外伸梁，由截面C的彎矩影響線圖16.7(b)可知，當(dāng)均布荷載布滿梁的AB段(圖16.7(c))時，MC為最大值MCmax；當(dāng)均布荷載布滿梁的AD段和BE段(圖16.7(d))時，MC為最小值MCmin。16.3.2確定荷載最不利位置第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.7第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日(2)

集中荷載若移動荷載為單個豎向集中荷載P，則最不利荷載位置即在影響線豎標為最大值處，即

Smax=Pymax(16.3)影響線為三角形的情況，研究如何確定產(chǎn)生Smax的最不利位置。

圖16.8(a)、(b)分別表示一大小、間距不變的移動荷載組和某一量值S的三角形影響線。第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.8第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日【例16.2】圖16.9(a)所示為一跨度12m的簡支式吊車梁，同時有兩臺吊車在其上工作。試求跨中截面C的最大彎矩MCmax。【解】(1)作MC影響線如圖16.9(c)所示。(2)判別臨界荷載由于當(dāng)P2(或P3)位于影響線頂點(圖16.9(b))時，有較多的荷載位于頂點附近和梁上，故可設(shè)P2(或P3)為臨界荷載。由式(16.4)得R左/a=280/6＜(Pk+R右)/b=560/6(Pk+R左)/a=560/6＞R右/b=280/6第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.9第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日由計算結(jié)果可見，P2是臨界荷載。(3)計算MCmaxP1、P2、P3作用點處所對應(yīng)的MC影響線上的豎標見圖16.9(c)。MCmax=P1y1+P2y2+P3y3=280×(0.6+3+2.28)kN·m=1646.4kN·m第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日16.4簡支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖和絕對最大彎矩如果把簡支梁上各截面內(nèi)力的最大值和最小值按同一比例標在圖上，連成曲線，這一曲線即稱為內(nèi)力包絡(luò)圖。梁的包絡(luò)圖有彎矩包絡(luò)圖和剪力包絡(luò)圖。包絡(luò)圖表示各截面內(nèi)力變化的極限值，是結(jié)構(gòu)設(shè)計的主要依據(jù)。圖16.10(a)所示簡支梁，單個集中荷載P在梁上移動。MC影響線已示于圖16.10(b)，圖16.10(d)為Qc影響線，剪力包絡(luò)圖如圖16.10(e)所示。16.4.1簡支梁的的內(nèi)力包絡(luò)圖第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.10第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

圖16.11(a)所示為一簡支梁，梁上有兩臺吊車，其荷載及間距如圖中所示。將梁分成10等份，求出各等分點所在截面的彎矩最大值及剪力的最大(最小)值，在梁上按同一比例繪出豎標并連成曲線即為彎矩、剪力包絡(luò)圖，見圖16.11(b)、(c)所示。由以上分析可知，彎矩包絡(luò)圖表示各截面彎矩可能變化的范圍；剪力包絡(luò)圖表示各截面正號剪力到負號剪力的變化范圍。第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.11第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日

彎矩包絡(luò)圖表示出了各截面的最大彎矩值，其中彎矩值最大者稱為絕對最大彎矩。確定在移動荷載作用下的絕對最大彎矩，與兩個未知因素有關(guān)：一是產(chǎn)生絕對最大彎矩的截面位置，二是產(chǎn)生絕對最大彎矩的荷載最不利位置。將各個荷載分別作為對象，分別求出其相應(yīng)的最大彎矩，再加以比較，即可得出絕對最大彎矩。

圖16.12(a)所示為一簡支梁AB承受一組數(shù)值和間距不變的集中移動荷載作用。16.4.2簡支梁的絕對最大彎矩第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.12第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日【例16.3】求圖16.13(a)所示吊車梁的絕對最大彎矩，并與跨中截面C的最大彎矩進行比較。已知P1=P2=P3=P4=82kN?！窘狻?/p>

(1)

求跨中截面C的最大彎矩MCmax①作MC影響線如圖16.13(b)所示。②判別臨界荷載。由于當(dāng)P2(或P3)位于影響線頂點(圖16.13(b))時，有較多的荷載位于頂點附近和梁上，故可設(shè)P2(或P3)為臨界荷載。③計算MCmax。第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日圖16.13第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日P1、P2、P3、P4作用點處所對應(yīng)的MC影響線上的豎標見圖22.13(b)。MCmax=P1y1+P2y2+P3y3+P4y4=574kN·m

(2)

求AB梁的絕對最大彎矩Mmax由圖16.13(a)可見，絕對最大彎矩將發(fā)生在荷載P2(或P3)下面的截面。先求荷載P2為Pk時的最大彎矩：①梁上荷載的合力RR=82×4kN=328kN②確定R與Pk的間距a第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日由于P1=P2=P3=P4，故其合力R與P2和P3的距離應(yīng)相等，可求得a=1.5/2m=0.75m③確定Pk作用點位置由式(16.5(a))可知Pk與合力R應(yīng)位于梁中點兩側(cè)的對稱位置上，因而Pk=P2距跨中為a/2=0.375m(圖16.13(a))④計算最大彎矩由式(22.7)求得Mmax=578kN·m第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日再求P3為Pk時的最大彎矩：由于對稱，P3為Pk時其荷載位置應(yīng)如圖16.13(c)所示。故其作用截面處的最大彎矩應(yīng)與P2為Pk時的最大彎矩相等。由以上計算可見，絕對最大彎矩為Mmax=578kN·m第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日16.5連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖求梁各截面最大內(nèi)力的主要問題在于確定活載的影響。只要求出活載作用下某一截面的最大和最小內(nèi)力，然后再加上恒載產(chǎn)生的內(nèi)力，即可得到兩者共同作用下該截面的最大和最小內(nèi)力。把梁上各截面的最大內(nèi)力和最小內(nèi)力的豎標連一光滑曲線，就得到連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖。

彎矩包絡(luò)圖的繪制步驟如下：

(1)作出恒載作用下的彎矩圖。第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

(2)依次按每一跨上單獨布滿活載的情況，逐一作出彎矩圖。

(3)將各跨分為若干等份，對每一等份截面處，將恒載彎矩圖中該截面的豎標值和所有各個活載彎矩圖中該截面所對應(yīng)的正(或負)豎標值相疊加，得到該截面的最大(或最小)彎矩值。

(4)將各截面的最大(小)彎矩值在同一圖中按同一比例尺用豎標標出，并以曲線相連，即得所求彎矩包絡(luò)圖。第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日【例16.4】求圖16.14(a)所示三跨等截面連續(xù)梁的彎矩包絡(luò)圖和剪力包絡(luò)圖。梁上承受的恒載為q=20kN/m，活載P=37.5kN/m?！窘狻?/p>

(1)

作彎矩包絡(luò)圖①用力矩分配法作出恒載作用下的彎矩圖如圖16.14(b)所示。②用力矩分配法作出各跨分別單獨布滿活載時的彎矩圖，如圖16.14(c)、(d)、(e)所示。③將連續(xù)梁的