中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-圓的綜合題

圓的綜合題類型一與全等結(jié)合1.如圖，⊙O的直徑AB＝4，C為⊙O上一點(diǎn)，AC＝2.過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線DC，P點(diǎn)為優(yōu)弧eq\o(CBA,\s\up8(︵))上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)．(1)求∠APC與∠ACD的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到劣弧eq\o(CB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OBPC是菱形；(3)當(dāng)PC為⊙O的直徑時(shí)，求證：△APC與△ABC全等．第1題圖(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝eq\f(1,2)AB＝2，∴AC＝OA＝OC，∴△ACO為等邊三角形，∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，∴∠APC＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°，又∵DC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝90°，∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；第1題解圖(2)證明：如解圖，連接PB，OP，∵AB為直徑，∠AOC＝60°，∴∠COB＝120°，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到eq\o(CB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)時(shí)，∠COP＝∠POB＝60°，∴△COP和△BOP都為等邊三角形，∴OC＝CP＝OB＝PB，∴四邊形OBPC為菱形；(3)證明：∵CP與AB都為⊙O的直徑，∴∠CAP＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC與Rt△CPA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CP,AC＝AC))，∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．2.如圖，AB為⊙O的直徑，CA、CD分別切⊙O于點(diǎn)A、D，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)M，連接BD、DM.(1)求證：AC＝DC；(2)求證：BD∥CM；(3)若sinB＝eq\f(4,5)，求cos∠BDM的值．第2題圖(1)證明：如解圖，連接OD，∵CA、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)A、D，∴OA⊥AC，OD⊥CD，在Rt△OAC和Rt△ODC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OD,OC＝OC))，∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，∴AC＝DC；(2)證明：由(1)知，△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠AOD＝2∠OBD，∴∠AOC＝∠OBD，∴BD∥CM；(3)解：∵BD∥CM，∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，∵OD＝OB＝OM，∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠DMO，∴∠DOC＝2∠BDM，∴∠B＝2∠BDM，如解圖，作OE平分∠AOC，交AC于點(diǎn)E，作EF⊥OC于點(diǎn)F，第2題解圖∴EF＝AE，在Rt△EAO和Rt△EFO中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OE＝OE,AE＝EF))，∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，∴OA＝OF，∠AOE＝eq\f(1,2)∠AOC，∴點(diǎn)F在⊙O上，又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，∴∠AOE＝∠BDM，設(shè)AE＝EF＝y(tǒng)，∵sinB＝eq\f(4,5)，∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝eq\f(AC,OC)＝eq\f(4,5)，∴設(shè)AC＝4x，OC＝5x，則OA＝3x，在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，∴(4x－y)2＝y(tǒng)2＋(2x)2，解得y＝eq\f(3,2)x，∴在Rt△OAE中，OE＝eq\r(OA2＋AE2)＝eq\r(（3x）2＋（\f(3,2)x）2)＝eq\f(3\r(5),2)x，∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝eq\f(OA,OE)＝eq\f(3x,\f(3\r(5),2)x)＝eq\f(2\r(5),5).3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：∠1＝∠BCE；(2)求證：BE是⊙O的切線；(3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.第3題圖(1)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴AB＝BD在△ABF與△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAF＝∠BDE,∠AFB＝∠DEB,AB＝DB))，∴△ABF≌△DBE(AAS)，∴BF＝BE，∵BE⊥DC，BF⊥AC，∴∠1＝∠BCE；(2)證明：如解圖，連接OB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，∴∠EBO＝90°，又∵OB為⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；第3題解圖(3)解：在△EBC與△FBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠CFB，,∠ECB＝∠FCB，,BC＝BC，))∴△EBC≌△FBC(AAS)，∴CE＝CF＝1.由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝eq\f(CD,CA)＝eq\f(3,5).類型二與相似結(jié)合4.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，BD與AC交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)F.(1)求∠DAF的度數(shù)；(2)求證：AE2＝EF·ED；(3)求證：AD是⊙O的切線．第4題圖(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)證明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(EF,EA)，∴AE2＝EF·ED；(3)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，G為垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG過(guò)圓心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切線．第4題解圖5.如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，OC⊥AB，D為eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接DA、DB、DC，過(guò)點(diǎn)C作DC的垂線交DA于點(diǎn)E，DA交OC于點(diǎn)F.(1)求證：∠CED＝45°；(2)求證：AE＝BD；(3)求eq\f(AO,OF)的值．第5題圖(1)證明：∵∠CDA＝eq\f(1,2)∠COA＝eq\f(1,2)×90°＝45°，又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解圖，連接AC，∵D為eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°，而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°，∴AE＝CE，∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°，∴CE＝CD，又∵eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD，∴AE＝CE＝CD＝BD，∴AE＝BD；第5題解圖(3)解：設(shè)BD＝CD＝x，∴AE＝CE＝x，由勾股定理得，DE＝eq\r(2)x，則AD＝x＋eq\r(2)x，又∵AB是直徑，則∠ADB＝90°，∴△AOF∽△ADB，∴eq\f(AO,OF)＝eq\f(AD,DB)＝eq\f(x＋\r(2)x,x)＝1＋eq\r(2).6.如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)為半徑OA上異于點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E點(diǎn)，連接AE、DE，AE交CD于點(diǎn)F.(1)求證：DE為⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，sin∠ADP＝eq\f(1,3)，求AD；(3)請(qǐng)猜想PF與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．第6題圖(1)證明：如解圖，連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE∥AD，∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OD,∠BOE＝∠DOE,OE＝OE))，∴△BOE≌△DOE(SAS)，∴∠ODE＝∠OBE，∵BE⊥AB，∴∠OBE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD為⊙O的半徑，∴DE為⊙O的切線；(2)解：如解圖，連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ADP＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADP，∴sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝sin∠ADP＝eq\f(1,3)，∵⊙O的半徑為3，∴AB=6，∴AD＝eq\f(1,3)AB＝2；第6題解圖(3)解：猜想PF＝FD，證明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE，∴△APF∽△ABE，∴eq\f(PF,BE)＝eq\f(AP,AB)，∴PF＝eq\f(AP·BE,AB)，在△APD和△OBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APD＝∠OBE,∠PAD＝∠BOE))，∴△APD∽△OBE，∴eq\f(PD,BE)＝eq\f(AP,OB)，∴PD＝eq\f(AP·BE,OB)，∵AB＝2OB，∴PF＝eq\f(1,2)PD，∴PF＝FD.7.如圖①，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，OD交⊙O于點(diǎn)E，且∠CBD＝∠COD.(1)求證：BD是⊙O的切線；(2)若點(diǎn)E為線段OD的中點(diǎn)，求證：四邊形OACE是菱形．(3)如圖②，作CF⊥AB于點(diǎn)F，連接AD交CF于點(diǎn)G，求eq\f(FG,FC)的值．第7題圖(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線；(2)證明：如解圖，連接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE為等邊三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四邊形OACE是平行四邊形，而OA＝OE，∴四邊形OACE是菱形；第7題解圖(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽R(shí)t△OBD，∴eq\f(FC,BD)＝eq\f(AF,OB)，即FC＝eq\f(BD·AF,OB)，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴eq\f(FG,BD)＝eq\f(AF,AB)，即FG＝eq\f(BD·AF,AB)，∴eq\f(FC,FG)＝eq\f(AB,OB)＝2，∴eq\f(FG,FC)＝eq\f(1,2).8.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于點(diǎn)C，作直徑CD過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB.(1)求證：AC平分∠FAB；(2)求證：BC2＝CE·CP；(3)當(dāng)AB＝4eq\r(3)且eq\f(CF,CP)＝eq\f(3,4)時(shí)，求劣弧eq\o(BD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)度．第8題圖(1)證明：∵PF切⊙O于點(diǎn)C，CD是⊙O的直徑，∴CD⊥PF，又∵AF⊥PC，∴AF∥CD，∴∠OCA＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴eq\f(BC,PC)＝eq\f(CE,CB)，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE，∵eq\f(CF,CP)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(CE,CP)＝eq\f(3,4)，設(shè)CE＝3k，則CP＝4k，∴BC2＝3k·4k＝12k2，∴BC＝2eq\r(3)k，在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(3k,2\r(3)k)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠EBC＝60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠DOB＝120°，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(120π·2\r(3),180)＝eq\f(4\r(3)π,3).類型三與全等相似結(jié)合9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠BAD＝90°，AC為直徑，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)AC的三等分點(diǎn)F(靠近點(diǎn)C)作CE的平行線交AB于點(diǎn)G，連接CG.(1)求證：AB＝CD；(2)求證：CD2＝BE·BC；(3)當(dāng)CG＝eq\r(3)，BE＝eq\f(9,2)，求CD的長(zhǎng)．第9題圖(1)證明：∵AC為直徑，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD；(2)證明：∵AE為⊙O的切線且O為圓心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°，而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA，而∠EBA＝∠ABC，∴△EBA∽△ABC，∴eq\f(EB,AB)＝eq\f(BA,BC)，∴AB2＝BE·BC，由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC；(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，即CD2＝eq\f(9,2)BC①，∵FG∥BC且點(diǎn)F為AC的三等分點(diǎn)，∴G為AB的三等分點(diǎn)，即CD＝AB＝3BG，在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，即3＝(eq\f(1,3)CD)2＋BC2②，將①代入②，消去CD得，BC2＋eq\f(1,2)BC－3＝0，即2BC2＋BC－6＝0，解得BC＝eq\f(3,2)或BC＝－2(舍)③，將③代入①得，CD＝eq\f(3\r(3),2).10．如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓外一點(diǎn)，AC交⊙O于點(diǎn)D，BC2＝CD·CA，eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,