模糊控制與模糊策略

模糊控制與模糊策略3/16/2023^_^1第一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^2模糊控制的基本思想范例：汽車停在擁擠的停車場上兩輛車之間的一個(gè)空隙處精確方法：車C上的一個(gè)固定參考點(diǎn)，車C的方位，建立車的狀態(tài)方程和運(yùn)動(dòng)方程；臨近兩輛車為約束，停著的車之間的空隙為允許的終端狀態(tài)集合。缺點(diǎn)：約束多，難于求解。第二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^3汽車司機(jī)：通過一些不精確的觀察，執(zhí)行一些不精確的控制，達(dá)到準(zhǔn)確停車的目的。控制論的創(chuàng)始人維納，描述人與外部環(huán)境相互作用時(shí)的關(guān)系：人不斷地從外界（對象）獲取信息，再存儲(chǔ)和處理信息，并給出決策反作用于外界（輸出），從而達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。第三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^4人的控制行為，遵循控制與反饋控制的思想，人的手動(dòng)控制決策可以用語言描述，形成一系列條件語句，即控制規(guī)則，微機(jī)程序可以實(shí)現(xiàn)這些控制規(guī)則，微機(jī)充當(dāng)控制器，微機(jī)取代人對對象實(shí)現(xiàn)控制。描述控制規(guī)則的條件語句中的一些詞，如“較大”、“稍小”、“偏高”，等，都具有一定的模糊性。因此用模糊集合來描述這些條件語句，組成模糊控制器。第四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^5模糊控制的基本原理A/D模糊控制器D/A執(zhí)行機(jī)構(gòu)被控對象傳感器計(jì)算控制變量模糊量化處理模糊控制規(guī)則模糊推理非模糊化處理第五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^6一步模糊控制算法：微機(jī)經(jīng)中斷采樣獲取被控制量的精確值，然后將此量與給定值比較得到誤差信號(hào)E，一般將誤差信號(hào)E作為模糊控制器的一個(gè)輸入量。將誤差信號(hào)E模糊量化，用相應(yīng)的模糊語言表示。得到誤差E的模糊語言集合的一個(gè)子集，再和模糊控制規(guī)則，根據(jù)推理的合成規(guī)則進(jìn)行模糊決策，得到模糊控制量。模糊控制量清晰化，對對象進(jìn)行一步控制，等到第二次采樣。第六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^7范例：某電熱爐用于對金屬零件的熱處理，要求保持爐溫600度恒定不變。根據(jù)人工經(jīng)驗(yàn)，控制規(guī)則可用語言描述如下。若爐溫低于600度則升壓，低得越多升壓越高；若爐溫高于600度則降壓，高得越多降壓越低；若爐溫等于600度則維持不變1.模糊控制器的輸入輸出變量：e(k)=t0-t(k)

輸出為觸發(fā)電壓u的變化2.輸入輸出變量的模糊語言描述

{NB,NS,O,PS,PB}

誤差e的論域?yàn)閄，u的論域?yàn)閅，把其量化為7個(gè)等級

X=Y={-3,-2,-1,0,1,2,3}第七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^8假設(shè)語言變量的隸屬函數(shù)曲線如下。第八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^9第九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^103.模糊控制規(guī)則的語言描述（1）若e負(fù)大，則u正大；（2）若e負(fù)小，則u正?。唬?）若e為零，則u為零；（4）若e正小，則u負(fù)??；（5）若e正大，則u負(fù)大；4.模糊控制規(guī)則的矩陣形式：模糊控制規(guī)則可以表示為從誤差論域X到控制量論域Y的模糊關(guān)系R第十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^11第十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^125.模糊決策模糊控制器的控制作用取決于控制量，即等于誤差的模糊向量e和模糊關(guān)系的合成，假設(shè)e=PS,則第十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^136.控制量的模糊量轉(zhuǎn)化為精確量上面求得的控制量u為模糊向量，可寫為：

u=(0.5/-3)+(0.5/-2)+(1/-1)+(0.5/0)+(0.5/1)+(0/2)+(0/3)

對上式控制量的模糊子集按照隸屬度最大原則，取控制量為-1級，即當(dāng)爐溫偏高時(shí)，應(yīng)降一點(diǎn)電壓。第十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^14模糊控制器設(shè)計(jì)的基本方法1.模糊控制器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)確定模糊控制器的輸入、輸出變量（1）人機(jī)系統(tǒng)中的信息量：誤差、誤差變化、誤差變化的變化，以及人控制動(dòng)作的輸出量（2）模糊控制器的輸入、輸出變量第十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^15第十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^162.模糊控制規(guī)則的設(shè)計(jì)（1）選擇輸入輸出變量的詞集誤差：

{負(fù)大,負(fù)中,負(fù)小,零,正小,正中,正大}{NB,NM,NS,O,PS,PM,PB}

誤差變化

{負(fù)大,負(fù)中,負(fù)小,負(fù)零,正零,正小,正中,正大}{NB,NM,NS,NO,PO,PS,PM,PB}第十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^17(2)定義各模糊變量的模糊子集：確定模糊子集隸屬函數(shù)曲線的形狀

X={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}

第十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^18

則模糊變量A的模糊子集為

A=0.2/2+0.7/3+1/4+0.7/5+0.2/6

當(dāng)論域中元素總數(shù)為模糊子集總數(shù)二到三倍時(shí)，模糊子集對論域的覆蓋程度較好。第十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^19（3）.建立模糊控制器的控制規(guī)則：通過學(xué)習(xí)、試驗(yàn)以及長期經(jīng)驗(yàn)積累而逐漸形成的技術(shù)知識(shí)集合。若A則B否則C

若A則B且若A則C

第十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^20模糊規(guī)則表第二十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^213.精確量的模糊化處理（1）把精確量離散化，如把[-6，+6]之間變化的連續(xù)量分為7個(gè)檔次，每一檔對應(yīng)一個(gè)模糊集。第二十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^22

一般情況，如果把[a,b]區(qū)間的離散量x，轉(zhuǎn)換為[-n，+n]區(qū)間的離散量y—模糊量，其中，n不小于2,則

Y=2n[x-(a+b)/2]/(b-a)(2)將某一區(qū)間的精確量x模糊化成這樣一個(gè)子集，在點(diǎn)x處隸屬度為1，其余各點(diǎn)的隸屬度為0或小于1第二十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^234.模糊推理和模糊量的非模糊化處理（模糊決策，模糊判決）（1）MIN-MAX-重心法

考慮以下模糊推理形式。第二十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^24由各模糊規(guī)則得的推理結(jié)果最終結(jié)論由綜合推理結(jié)果得到模糊結(jié)論C’的“重心”計(jì)算如下第二十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^25第二十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^26（2）代數(shù)積——加法——重心法用代數(shù)積取代MIN，用加法取代MAX。第二十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^27第二十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^28（3）模糊加權(quán)型推理法第二十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^29第二十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^30（4）函數(shù)型推理法第三十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^31（5）加權(quán)函數(shù)型推理法第三十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^32（6）選擇最大隸屬度法選取模糊子集中隸屬度最大的元素作為控制量，若該元素僅為一個(gè)，則選擇該值作為控制量，否則取其平均值。

C1=0.3/-1+0.8/-2+1/-3+0.5/-4+0.1/-5C2=0.3/0+1/1+1/2+0.8/3+0.4/4+0.2/5第三十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^33（7）取中位數(shù)法選取求出模糊子集的隸屬函數(shù)曲線和橫坐標(biāo)所圍成區(qū)域的面積平分為兩部分的數(shù)，作為非模糊化的結(jié)果。優(yōu)點(diǎn)是充分利用了模糊子集提供的信息量，但是計(jì)算繁瑣，且缺乏對隸屬度較大元素提供主導(dǎo)信息的重視，實(shí)際應(yīng)用受到限制。第三十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^34在各種模糊判決方法中，若充分考慮利用模糊推理子集提供的有用信息，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算煩瑣，否則會(huì)丟掉一些有用信息．要根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的具體情況，如系統(tǒng)復(fù)雜度及控制精度等，適當(dāng)?shù)卮_定模糊量的去模糊化方法．第三十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^35討論由模糊推理所獲得的模糊子集的隸屬函數(shù)形狀，及其對控制性能的影響．第三十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^365.論域、量化因子、比例因子的選擇基本論域、模糊子集的論域、模糊語言詞集的總數(shù)（7、8）

Ke=n/xe；Kc=m/xc；量化因子一般遠(yuǎn)大于1。Ku=yu/l，比例因子。

Ke較大，系統(tǒng)的超調(diào)較大，過渡過程也較大。Ke較大，相當(dāng)于縮小了誤差的基本論域，增大了誤差變化的控制作用，導(dǎo)致上升時(shí)間縮短，但由于出現(xiàn)超調(diào)，使得系統(tǒng)的過渡過程變長。第三十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^37Kc增大，超調(diào)量減小，但系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。

Ku過小，會(huì)使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)變長，Ku過大，會(huì)使系統(tǒng)出現(xiàn)震蕩。6.采樣時(shí)間的選擇香農(nóng)（Shannon）定理、誤差變化最大值、一次采樣過程中控制作用次數(shù)。第三十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^38

為了對論域U={u1,u2,…,un}中的元素進(jìn)行排序,由m個(gè)專家組成專家小組M,分別對U中的元素排序,得到m種意見：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i種意見序列,即U中的元素的某一個(gè)排序.

若uj在第i種意見vi中排第k位,則令Bi(uj)=n–k,稱為uj的Borda數(shù).此時(shí)論域U的所有元素可按Borda數(shù)的大小排序,此排序就是是比較合理的.模糊集中意見決策第三十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^39例1設(shè)U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋篴,c,b,d,e,f.第三十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^40例2設(shè)有6名運(yùn)動(dòng)員U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}參加五項(xiàng)全能比賽,已知他們每項(xiàng)比賽的成績?nèi)缦拢?00m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳遠(yuǎn)u1,u2,u4,u3,u5,u6；擲鐵餅u1,u2,u3,u4,u6,u5；擲標(biāo)槍u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋簎2,u1,u4,u3,u6,u5.第四十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^41

若uj在第i種意見vi中排第k位，設(shè)第k位的權(quán)重為ak，則令Bi(uj)=ak(n–k)，稱為uj的加權(quán)Borda數(shù)。名次一二三四五六權(quán)重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加權(quán)Borda數(shù)集中后的排序?yàn)椋簎1,u2,u3,u4,u6,u5第四十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^42

設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}為n個(gè)被選方案,在n個(gè)被選方案中建立一種模糊優(yōu)先關(guān)系,即先兩兩進(jìn)行比較,再將這種比較模糊化.然后用模糊數(shù)學(xué)方法給出總體排序,這就是模糊二元對比決策.

在xi與xj作對比時(shí),用rij表示xi比xj的優(yōu)先程度,并且要求rij滿足①rii=1(便于計(jì)算)；②0≤rij≤1；③當(dāng)i≠j時(shí),rij+rji=1.這樣的rij組成的矩陣R=(rij)n×n稱為模糊優(yōu)先矩陣,由此矩陣確定的關(guān)系稱為模糊優(yōu)先關(guān)系.模糊二元對比決策第四十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^43模糊二元對比決策的方法與步驟是：

⑴建立模糊優(yōu)先關(guān)系.

先兩兩進(jìn)行比較，建立模糊優(yōu)先矩陣：R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隸屬函數(shù)法即直接對模糊優(yōu)先矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)加工處理,得到X上模糊優(yōu)先集A的隸屬函數(shù),再根據(jù)各元素隸屬度的大小給全體對象排出一定的優(yōu)劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;

平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.第四十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^44②-

截矩陣法即取定閾值,確定優(yōu)先對象.

取定閾值∈[0,1]得-截矩陣R=(rij())n×n,

當(dāng)由1逐漸下降時(shí),若R中首次出現(xiàn)第k行的元素全等于1時(shí),則認(rèn)定xk是第一優(yōu)先對象(不一定唯一).再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個(gè)新的n-1階模糊優(yōu)先矩陣,用同樣的方法獲取的對象作為第二優(yōu)先對象；如此進(jìn)行下去,可將全體對象排出一定的優(yōu)劣次序.③下確界法先求R每一行的下確界,以最大下確界所在行對應(yīng)的xk是第一優(yōu)先對象(不一定唯一).再在R中劃去xk所在的行與列,得到一個(gè)新的n-1階模糊優(yōu)先矩陣,再以此類推.第四十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^45模糊綜合評判決策

在實(shí)際工作中,對一個(gè)事物的評價(jià)或評估,常常涉及多個(gè)因素或多個(gè)指標(biāo),這時(shí)就要求根據(jù)這多個(gè)因素對事物作出綜合評價(jià),而不能只從某一因素的情況去評價(jià)事物,這就是綜合評判.

模糊綜合評判決策是對受多種因素影響的事物作出全面評價(jià)的一種十分有效的多因素決策方法.經(jīng)典綜合評判決策評總分法加權(quán)評分法第四十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^46模糊綜合評判決策的數(shù)學(xué)模型

設(shè)U={u1,u2,…,un}為n種因素(或指標(biāo)),V={v1,v2,…,vm}為m種評判(或等級).

由于各種因素所處地位不同,作用也不一樣,可用權(quán)重A=(a1,a2,…,an)來描述,它是因素集U的一個(gè)模糊子集.對于每一個(gè)因素ui,單獨(dú)作出的一個(gè)評判f(ui),可看作是U到V的一個(gè)模糊映射f

,由f可誘導(dǎo)出U到V的一個(gè)模糊關(guān)系Rf,由Rf可誘導(dǎo)出U到V的一個(gè)模糊線性變換TR(A)=A°R=B,它是評判集V的一個(gè)模糊子集,即為綜合評判.(U,V,R

)構(gòu)成模糊綜合評判決策模型,U,V,R是此模型的三個(gè)要素.第四十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^47模糊綜合評判決策的方法與步驟是：⑴建立因素集U={u1,u2,…,un}與決斷集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立模糊綜合評判矩陣.

對于每一個(gè)因素ui,先建立單因素評判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj對因素ui所作的評判,這樣就得到單因素評判矩陣R=(rij)n×m.⑶綜合評判.

根據(jù)各因素權(quán)重A=(a1,a2,…,an)綜合評判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上的一個(gè)模糊子集,根據(jù)運(yùn)算⊕的不同定義,可得到不同的模型.第四十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^48模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素決定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

由于綜合評判的結(jié)果bj的值僅由ai與rij(i=1,2,…,n)中的某一個(gè)確定(先取小,后取大運(yùn)算),著眼點(diǎn)是考慮主要因素,其他因素對結(jié)果影響不大,這種運(yùn)算有時(shí)出現(xiàn)決策結(jié)果不易分辨的情況.模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

M(·,∨)與模型M(∧,∨)較接近,區(qū)別在于用airij代替了M(∧,∨)中的ai∧rij.

在模型M(·,∨)中,對rij乘以小于1的權(quán)重ai表明ai是在考慮多因素時(shí)rij的修正值,與主要因素有關(guān),忽略了次要因素.第四十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^49模型Ⅲ：M(∧,＋)——主因素突出型bj=∑(ai∧

rij)(j=1,2,…,m).

模型Ⅲ也突出了主要因素.

在實(shí)際應(yīng)用中,如果主因素在綜合評判中起主導(dǎo)作用,建議采納Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,當(dāng)模型Ⅰ失效時(shí)可采用Ⅱ,Ⅲ.模型Ⅳ：M(·,＋)——加權(quán)平均模型bj=∑(ai·rij)(j=1,2,…,m).

模型M(·,＋)對所有因素依權(quán)重大小均衡兼顧,適用于考慮各因素起作用的情況.第四十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^50例1.服裝評判

因素集U={u1(花色),u2(式樣),u3(耐穿程度),u4(價(jià)格)}；評判集V={v1(很歡迎),v2(較歡迎),v3(不太歡迎),v4(不歡迎)}.

對各因素所作的評判如下：u1

：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2

：(0.7,0.2,0.1,0)u3

：(0,0.4,0.5,0.1)u4

：(0.2,0.3,0.5,0)第五十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^51

對于給定各因素權(quán)重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分別用各種模型所作的評判如下：M(∧,∨)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(·,∨)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(∧,＋)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(·,＋)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)第五十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^52

對于給定各因素權(quán)重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分別用各種模型所作的評判如下：M(∧,∨)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(·,∨)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(∧,＋)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(·,＋)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055)第五十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^53例2.“晉升”的數(shù)學(xué)模型.

以高校老師晉升教授為例：因素集U={政治表現(xiàn)及工作態(tài)度,教學(xué)水平,科研水平,外語水平},評判集V={好,較好,一般,較差,差}.

因素好較好一般較差差政治表現(xiàn)及工作態(tài)度42100教學(xué)水平61000科研水平00511外語水平22111第五十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^54

給定以教學(xué)為主的權(quán)重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分別用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作的評判如下：

M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)

歸一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)

M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)第五十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^55

例3利用模糊綜合評判對20家制藥廠經(jīng)濟(jì)效益的好壞進(jìn)行排序(P209).

企業(yè)名稱

u1

u2

u3

u4

1東北制藥廠

1.611

10.59

0.69

1.672北京第二制藥廠

1.429

9.44

0.61

1.50……20四川制藥廠1.992

21.63

1.01

1.89

設(shè)cij(i=1,2,3,4；j=1,2,…,20)表示第j個(gè)制藥廠的第i個(gè)因素的值,令得到模糊綜合評判矩陣R=(rij)4×20

.第五十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^56§4.4權(quán)重的確定方法

在模糊綜合評判決策中,權(quán)重是至關(guān)重要的,它反映了各個(gè)因素在綜合決策過程中所占有的地位或所起的作用,它直接影響到綜合決策的結(jié)果.

憑經(jīng)驗(yàn)給出的權(quán)重,在一定的程度上能反映實(shí)際情況,評判的結(jié)果也比較符合實(shí)際,但它往往帶有主觀性,是不能客觀地反映實(shí)際情況,評判結(jié)果可能“失真”.

加權(quán)統(tǒng)計(jì)方法因素uj權(quán)重aij1第五十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^57頻數(shù)統(tǒng)計(jì)方法(1)對每一個(gè)因素uj,在k個(gè)專家所給的權(quán)重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=max{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n;mj=min{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n.(2)選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)p,將因素uj所對應(yīng)的權(quán)重aij從小到大分成p組,組距為(Mj-mj)/p.(3)計(jì)算落在每組內(nèi)權(quán)重的頻數(shù)與頻率

(4)取最大頻率所在分組的組中值(或鄰近的值)作為因素uj的權(quán)重.(5)將所得的結(jié)果歸一化.第五十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^58模糊關(guān)系方程法

在模糊綜合評判決策問題中,若已知綜合決策B=(b1,b2,…,bm),單因素評判矩陣

R=(rij)n×m

,試問各因素的權(quán)重分配A是什么？這就是要求解模糊關(guān)系方程X°R=B.

定理模糊關(guān)系方程X°R=B有解的充要條件是

°R=B,其中約定∧=1.且為X°R=B的最大解.證明：充分性是顯然的.第五十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^59必要性設(shè)X°R=B有解X=(x1,x2,…,xn),即(x1,x2,…,xn)°R=(b1,b2,…,bm).則j,∨(xk∧

rkj)=bjj,k,(xk∧

rkj)≤bj.k,xk≤(x1,x2,…,xn)≤B≤

°R.又j,k,有當(dāng)rkj＞bj時(shí),=∧{bj|rkj＞bj}≤bj

∧

rkj≤bj∧rkj=bj;當(dāng)rkj≤bj時(shí),由=1,

∧

rkj=rkj≤bj;即°R≤B.第五十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^60例下列模糊關(guān)系方程是否有解？解：由公式(1)=(0.2,1,0.4),是其最大解.(2)=(1,0.7),不是其最大解.第六十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^61模糊協(xié)調(diào)決策法

在模糊綜合評判決策問題中,若已知綜合決策B=(b1,b2,…,bm),單因素評判矩陣

R=(rij)n×m

,試問各因素的權(quán)重分配A是什么？這就是要求解模糊關(guān)系方程X°R=B.

這里介紹一個(gè)近似處理方法.設(shè)有一組可供選擇的權(quán)重分配方案J={A1,A2,…,As}.

我們從J中選擇一種最佳的權(quán)重分配Ak,使得由Ak所決定的綜合評判決策Bk=Ak°R與B最貼近.第六十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^62模糊綜合評判決策的方法與步驟是：⑴建立因素集U={u1,u2,…,un}與決斷集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立模糊綜合評判矩陣.

對于每一個(gè)因素ui,先建立單因素評判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj對因素ui所作的評判,這樣就得到單因素評判矩陣R=(rij)n×m.⑶綜合評判.

根據(jù)各因素權(quán)重A=(a1,a2,…,an)綜合評判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上的一個(gè)模糊子集,根據(jù)運(yùn)算⊕的不同定義,可得到不同的模型.第六十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^63模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素決定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

由于綜合評判的結(jié)果bj的值僅由ai與rij(i=1,2,…,n)中的某一個(gè)確定(先取小,后取大運(yùn)算),著眼點(diǎn)是考慮主要因素,其他因素對結(jié)果影響不大,這種運(yùn)算有時(shí)出現(xiàn)決策結(jié)果不易分辨的情況.模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

M(·,∨)與模型M(∧,∨)較接近,區(qū)別在于用airij代替了M(∧,∨)中的ai∧rij.

在模型M(·,∨)中,對rij乘以小于1的權(quán)重ai表明ai是在考慮多因素時(shí)rij的修正值,與主要因素有關(guān),忽略了次要因素.第六十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^64模型Ⅲ：M(∧,＋)——主因素突出型bj=∑(ai∧

rij)(j=1,2,…,m).

模型Ⅲ也突出了主要因素.

在實(shí)際應(yīng)用中,如果主因素在綜合評判中起主導(dǎo)作用,建議采納Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,當(dāng)模型Ⅰ失效時(shí)可采用Ⅱ,Ⅲ.模型Ⅳ：M(·,＋)——加權(quán)平均模型bj=∑(ai·rij)(j=1,2,…,m).

模型M(·,＋)對所有因素依權(quán)重大小均衡兼顧,適用于考慮各因素起作用的情況.第六十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^65例1.服裝評判

因素集U={u1(花色),u2(式樣),u3(耐穿程度),u4(價(jià)格)}；評判集V={v1(很歡迎),v2(較歡迎),v3(不太歡迎),v4(不歡迎)}.

對各因素所作的評判如下：u1

：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2

：(0.7,0.2,0.1,0)u3

：(0,0.4,0.5,0.1)u4

：(0.2,0.3,0.5,0)第六十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^66

對于給定各因素權(quán)重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分別用各種模型所作的評判如下：M(∧,∨)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(·,∨)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(∧,＋)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(·,＋)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)第六十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^67

對于給定各因素權(quán)重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分別用各種模型所作的評判如下：M(∧,∨)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(·,∨)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(∧,＋)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(·,＋)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055)第六十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^68例2.“晉升”的數(shù)學(xué)模型.

以高校老師晉升教授為例：因素集U={政治表現(xiàn)及工作態(tài)度,教學(xué)水平,科研水平,外語水平},評判集V={好,較好,一般,較差,差}.

因素好較好一般較差差政治表現(xiàn)及工作態(tài)度42100教學(xué)水平61000科研水平00511外語水平22111第六十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^69

給定以教學(xué)為主的權(quán)重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分別用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作的評判如下：

M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)

歸一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)

M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)第六十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^70

例3利用模糊綜合評判對20家制藥廠經(jīng)濟(jì)效益的好壞進(jìn)行排序(P209).

企業(yè)名稱

u1

u2

u3

u4

1東北制藥廠

1.611

10.59

0.69

1.672北京第二制藥廠

1.429

9.44

0.61

1.50……20四川制藥廠1.992

21.63

1.01

1.89

設(shè)cij(i=1,2,3,4；j=1,2,…,20)表示第j個(gè)制藥廠的第i個(gè)因素的值,令得到模糊綜合評判矩陣R=(rij)4×20

.第七十頁，共七十七頁，2022年，8月28日3/16/2023^_^71§4.4權(quán)重的確定方法

在模糊綜合評判決策中,權(quán)重是至關(guān)重要的,它反映了各個(gè)因素在綜合決策過程中所占有