全等三角形判定二（ASAAAS）【核心知識精細梳理+鞏固提升訓(xùn)練】人教版八年級數(shù)學(xué) 上冊 核心考點精講精練 （含答案解析）

全等三角形判定二（ASA，AAS）全等三角形判定——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.注意：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.題型1：用ASA判定三角形全等1.已知：如圖，E，F(xiàn)在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求證：AE＝CF．【答案與解析】證明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF與△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【總結(jié)】利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個三角形；(2)證明這兩個三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．【變式1-1】如圖，已知AB=AC，∠B=∠C，求證：△ABE≌△ACD．【答案】證明：在△ABE和△ACD中，∵∠A=∠AAB=AC∴△ABE≌△ACD（ASA）．【解析】【分析】利用ASA證明△ABE和△ACD全等即可．【變式1-2】如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠AED．求證：△ABC≌△AED．【答案】證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠EAD,在△ABC與△AED中，∠BAC=∠EAD∴△ABC≌△AED(ASA)【解析】【分析】由∠1=∠2，證明∠BAC=∠EAD,再結(jié)合：AB=AE，∠B=∠AED，利用角邊角公理可得結(jié)論．全等三角形判定——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）注意：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.題型2：用AAS判定三角形全等2.已知：如圖，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求證：AD＝AC．【思路點撥】要證AC＝AD，就是證含有這兩個線段的三角形△BAC≌△EAD.【答案與解析】證明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【總結(jié)】我們要善于把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等．【變式2-1】如圖，在△ABC和△CDE中，點B、D、C在同一直線上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，AB∥DE，求證：△ABC≌△CDE．【答案】證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠EDC，在△ABC和△CDE中，∠B=∠EDC∠ACB=∠E∴△ABC≌△CDE(AAS)．【解析】【分析】利用“AAS”證明△ABC≌△CDE即可?！咀兪?-2】已知：如圖，AD，BE相交于點O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分別為B，D，OA=OE．求證：△ABO≌△EDO．【答案】證明：∵AB⊥BE，DE⊥AD，∴∠B=∠D=90°．在△ABO和△EDO中∠B=∠D，∴△ABO≌△EDO．【解析】【分析】先求出∠B=∠D=90°，再利用AAS證明求解即可?！咀兪?-3】如圖，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求證：△AOB≌△COD．【答案】證明：∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD，即∠DOC=∠BOA，又∵OA=OC，∠B=∠D，∴△AOB≌△COD．【解析】【分析】利用∠AOC=∠BOD，可證得∠DOC=∠BOA；再利用AAS可證得結(jié)論.題型3：添加條件判定三角形全等3.如圖，在ΔABC和ΔDEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使ΔABC?ΔDEC，添加的一組條件不正確的是()A．BC=DC，∠A=∠D B．BC=EC，AC=DCC．∠B=∠E，∠BCE=∠ACD D．BC=EC，∠B=∠E【答案】A【解析】【解答】解：A、若添加BC=CD，∠A=∠D，AB=DE，利用SSA不能證明△ABC≌△DEC，故A符合題意；B、在△ABC和△DEC中，AB=DE∴△ABC≌△DEC（SSS），故B不符合題意；C、∵∠BCE=∠ACD，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△DEC（AAS），故C不符合題意；D、在△ABC和△DEC中，BC=EC∴△ABC≌△DEC（SAS），故D不符合題意；故答案為：A.【分析】根據(jù)SSA不能證明兩三角形全等，可對A作出判斷；利用SSS，可對B作出判斷；利用∠BCE=∠ACD，可得到∠ACB=∠DCE；再利用AAS證明△ABC≌△DEC，可對C作出判斷；然后根據(jù)SAS證明△ABC≌△DEC，可對D作出判斷.【變式3-1】如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個條件使∠DAB=∠EAC，則添加的條件不能為（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD【答案】C【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，∴AB=AC，A、添加BD=CE，可以利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到∠DAB=∠EAC，故本選項不符合題意；B、添加AD=AE，根據(jù)等邊對等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠DAB=∠EAC，故本選項不符合題意；C、添加DA=DE無法求出∠DAB=∠EAC，故本選項符合題意；D、添加BE=CD可以利用“邊角邊”證明△ABE和△ACD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到∠DAB=∠EAC，故本選項不符合題意.故答案為：C.【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.【變式3-2】如圖，∠A=∠D=90°，AC=DE，要使△ABC≌△DFE，需添加一個條件，下列所給的條件及相應(yīng)的判定定理不正確的是（）A．AB=DF(SAS) B．∠B=∠F(AAS)C．BC=FE(SSA) D．∠ACB=∠DEF(ASA)【答案】C【解析】【解答】解：∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DFE都是直角三角形，A、添加條件AB=DF能用(SAS)判定△ABC≌△DFE，正確，不符合題意；B、添加條件∠B=∠F能用(AAS)判定△ABC≌△DFE，正確，不符合題意；C、添加條件BC=FE能用(HL)判定△ABC≌△DFE，故原題說法錯誤，符合題意；D、添加條件∠ACB=∠DEF能用(ASA)判定△ABC≌△DFE，正確，不符合題意.故答案為：C.【分析】直接根據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷.題型4：ASA，AAS判定三角形全等求度數(shù)4.如圖，在△ABC中，邊BC，AB上的高AD，CE相交于點F，且∠ACE＝45°，連接BF，求∠BFE的度數(shù)．【答案】解：∵AD，CE是邊BC，AB上的高，∴∠AEF＝∠BEC＝∠CDF＝90°，∵∠ACF＝45°，∴∠EAC＝∠ACF＝45°，∴AE＝CE，∵∠DFC＝∠EFA，∴∠EAF＝∠BCE，在△EAF和△ECB中，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠BCE，∴△EAF≌△ECB（ASA），∴EF＝BE，∵∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°．【解析】【分析】先求出∠AEF＝90°，再利用ASA證明△EAF≌△ECB，最后求解即可。【變式4-1】如圖，∠A=∠B，AE=BE，點D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點O.若∠1=40°，求∠BDE的度數(shù).【答案】解：∵∠1＝∠2，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A=∠BAE=BE∴△AEC≌△BED（ASA）.∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝40°，∴∠C＝∠EDC＝70°，∴∠BDE＝∠C＝70°.【解析】【分析】根據(jù)∠1＝∠2可推出∠AEC＝∠BED，然后證明△AEC≌△BED，得到EC＝ED，∠C＝∠BDE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠C＝∠EDC＝70°，據(jù)此解答.【變式4-2】如圖，已知∠A＝∠E，AB＝EB，點D在AC邊上，且∠ABE＝∠CBD．（1）求證：△EBD≌△ABC．（2）如果O為CD中點，∠BDE＝65°，求∠OBC的度數(shù)．【答案】（1）證明：∵∠ABE＝∠CBD，∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，即∠EBD＝∠ABC．在△EBD和△ABC中，∠E=∠AEB=AB∴△EBD≌△ABC（ASA）；（2）解：∵△EBD≌△ABC，∴BD＝BC，△BDC為等腰三角形，∴∠BDE＝∠C，∵∠BDE＝65°，∴∠BDC＝∠BDE＝∠C＝65°，∴∠CBD＝50°，∵O點為CD中點，∴∠OBC＝12【解析】【分析】（1）先求出∠EBD＝∠ABC．再利用ASA證明求解即可；（2）先求出∠BDE＝∠C，再求出∠CBD＝50°，最后計算求解即可。題型5：ASA，AAS判定三角形全等求長度5.如圖，已知AC與BF相交于點E，AB∥CF，點E為AC的中點，點D是AB上一點，如果CF=6，AD=4．求BD的長．【答案】解：∵AB∥CF，∴∠B=∠F，∵點E為AC的中點，∴AE=CE，又∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AB=CF，∵CF=6，AD=4，∴BD=AB﹣AD=CF﹣AD=6﹣4=2，【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理即可得出答案?！咀兪?-1】如圖，AB∥CF，E為DF的中點，AB=20，CF=15，求BD的長度.【答案】解：∵AB∥CF∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，又∵E為DF的中點，∴DE=FE，∴△ADE≌CFE(AAS)，∴AD=CF=15，∴BD=AB?AD=20?15=5.【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，由線段的中點可得DE=EF，根據(jù)AAS證明△ADE≌CFE，可得AD=CF=15，利用BD=AB-AD即可求解.【變式5-2】如圖，點D在△ABC的BC邊上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E.（1）求證：△ABC≌△DEB；（2）若BE=9，AC=4，求CD的長，【答案】（1）證明：∵AC∥BE，∴∠ACB=∠DBE，在△ABC和△DEB中，∠ACB=∠DBEBC=EB∴△ABC≌△DEB(ASA)；（2）解：∵△ABC≌△DEB，∴AC=DB=4，∴CD=BC?BD=9?4=5.【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠DBE，然后利用全等三角形的判定定理ASA進行證明；（2）由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得AC=DB=4，然后根據(jù)CD=BC-BD進行計算.【變式5-3】如圖，已知點B、E、C、F在一條直線上，AC∥DE，AC＝DE，∠A＝∠D.（1）求證：AB＝DE；（2）若BC＝9，EC＝5，求BF的長.【答案】（1）證明：∵AC//DE，∴∠ACB=∠DEF，在△ABC和△DFE中，∠A=∠DAC=DE∴△ABC≌△DFE（ASA），∴AB=DF；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=FE，∴BC-EC=FE-EC，∴EB=CF=BC-EC=9-5=4，∴BF=BC+CF=9+4=13.【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠DEF，根據(jù)ASA證明△ABC≌△DFE，可得AB=DF；（2）由△ABC≌△DFE可得BC=FE，根據(jù)等式的性質(zhì)可得EB=CF=BC-EC=4，根據(jù)BF=BC+CF即可求解.題型6：ASA，AAS三角形全等與實際應(yīng)用6.如圖，小明站在乙樓BE前方的點C處，恰好看到甲、乙兩樓樓頂上的點A和E重合為一點，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙樓高BE為20米，小明身高忽略不計，則甲樓的高AD是多少米？【答案】解：∵EF∥DC，AD⊥DC，EB⊥BC，∴∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC=90°，∵B、C相距30米，C、D相距60米，∴EF=DB=BC=30米，∴△AEF≌△ECB（ASA），∴AF=BE，∵DF=BE，∴AD=2BE=2×20=40（米）．答：甲樓的高AD是40米．【解析】【分析】利用已知易證∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC，EF=DB=BC，利用ASA證明△AEF≌△ECB，再利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，可證得AF=BE，然后求出AD的長?！咀兪?-1】公路上，A，B兩站相距25千米，C、D為兩所學(xué)校，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，如圖，已知DA=15千米，現(xiàn)在要在公路AB上建一報亭H，使得C、D兩所學(xué)校到H的距離相等，且∠DHC=90°，問：H應(yīng)建在距離A站多遠處？學(xué)校C到公路的距離是多少千米？【答案】解：由題意得：DH=HC，AB=25千米，∵DA⊥AB,CB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴∠D+∠AHD=90°，∵∠DHC=90°，∴∠BHC+∠AHD=180°?∠DHC=90°，∴∠D=∠BHC，在△ADH和△BHC中，∠A=∠B∠D=∠BHC∴△ADH?△BHC(AAS)，∴AH=BC,DA=HB，∵DA=15千米，AB=25千米，∴HB=15千米，∴BC=AH=AB?HB=10千米，答：H應(yīng)建在距離A站10千米處，學(xué)校C到公路的距離是10千米．【解析】【分析】先根據(jù)垂直的定義可得∠A=∠B=90°，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得∠D=∠BHC，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AH=BC,DA=HB=15千米，最后根據(jù)線段的和差可得．【變式6-2】如圖，海岸上有A，B兩個觀測點，點B在點A的正東方向，海島C在觀測點A的正北方向，海島D在觀測點B的正北方向，如果從觀測點A看海島C，D的視角∠CAD與從觀測點B看海島C，D的視角∠CBD相等，那么海島C到觀測點A與海島D到觀測點B所在海岸的距離相等，為什么？【答案】解：理由如下：依題意，得∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠DBA=90°，∴∠ABC=∠BAD，在△CBA和△DAB中，∠CAB=∠DBA=90°∴△CBA≌△DAB（ASA），∴CA=DB，∴海島C、D到觀測點A、B所在海岸的距離相等.【解析】【分析】依題意可得∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠DBA=90°，推出∠ABC=∠BAD，證明△CBA≌△DAB，則CA=DB，據(jù)此解答.題型7：ASA，AAS判定全等三角形與證明7.如圖，AC、BD相交于點O，AB=DC，∠B=∠C.E、F分別為OB、OC的中點.求證∠OEF=∠OFE.【答案】證明：在△AOB和△DOC中∠B=∠C∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OB=OC，∵點E，F(xiàn)分別是OB，OC的中點，∴OE=12OB，OF=1∴OE=OF，∴∠OEF=∠OFE.【解析】【分析】圖形中隱含了對頂角相等，利用AAS可證得△ABO≌△DCO，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得OB=OC，再利用線段中點的定義去證明OE=OF；然后根據(jù)等邊對等角可證得結(jié)論.【變式7-1】如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC上的點，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點O，求證：△OBC是等腰三角形.【答案】證明：方法一：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABE=∠ACD，∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠EBC=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形；方法二：在△ABE和△ACD中，∠ABE=∠ACDAB=AC∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD=AE，∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，在△OBD和△OCE中，∠OBD=∠OCE∠BOD=∠COE∴OBD≌△OCE（AAS），∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.【解析】【分析】方法一：由等邊對等角可得∠ABC=∠ACB，由等量減等量差相等得∠EBC=∠DCB，根據(jù)等腰三角形的判定定理即證；方法二：利用ASA證明△ABE≌△ACD，可得AD=AE，再永AAS證明OBD≌△OCE，可得OB=OC，根據(jù)等腰三角形的判定定理即證.【變式7-2】如圖，已知△ABC，∠C＝∠B＝∠EDF＝50°，DE＝DF，求證：BC＝BE＋CF.【答案】證明：∵∠C＝∠B＝∠EDF＝50°，∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF，∴∠BED=∠CDF，∴在△BDE和△CFD中，∠B=∠C∴△BDE≌△CFD(AAS)，∴BE=DC，BD=FC，又∵BC=BD+CD，∴BC＝BE＋CF.【解析】【分析】由外角的性質(zhì)及角的構(gòu)成得∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF，結(jié)合已知條件推出∠BED=∠CDF，然后用AAS證S△BDE≌△CFD，得到BE=DC，BD=FC，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系進行證明.如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD+AB.【答案】證明：如圖：過M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，在△MCD和△MED中∠CDM=∠EDM∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，同理：AE＝AB，∴AD＝AE+DE＝CD+AB.【解析】【分析】過M作ME⊥AD于E，則∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，證明△MCD≌△MED，得到CD＝DE，同理可得AE＝AB，據(jù)此證明.題型8：ASA，AAS判定全等三角形與探究8.探究與應(yīng)用（1）探究：如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經(jīng)過點C，且點A、B在直線l的同側(cè)，過點A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點D、E.求證：DE=AD+BE.（2）應(yīng)用.如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，【答案】（1）解：證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠ECB=180°-90°=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE.（2）解：線段AD、BE、DE之間的數(shù)量關(guān)系為AD=BE?DE，理由如下：證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°?∠ECB.在△ACD與△CBE中，∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，又∵CE=CD?DE，∴AD=BE?DE.【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS可證△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=BE，從而可得DE=DC+CE=BE+AD；（2）AD=BE-DE，理由如下:根據(jù)AAS可證△ACD≌△CBE,可得CD=BE，AD=CE，由CE=CD-DE，即得AD=BE-DE.【變式8-1】探究和應(yīng)用：（1）探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥m于點D，CE⊥m于點E，求證：△ABD≌△CAE．（2）應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：DE＝BD+CE．【答案】（1）解：證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA（AAS）；（2）解：設(shè)∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【解析】【分析】(1)根據(jù)BD⊥直線m,CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90o,而∠BAC=90o,根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA.則AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)利用∠BDA=∠BAC=α,則∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案.【變式8-2】綜合探究問題情境：我們在第十一章《三角形》中學(xué)習(xí)了三角形的邊與角的性質(zhì)，在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定.在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進而解決問題.（1）問題初探：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,點D為直線AB上的一個動點（D與A，B不重合），連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE，連接BE.當點D在線段AB上時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是；AB，BD，BE三條線段之間的關(guān)系是.（2）類比再探：如圖2，當點D運動到AB的延長線上時，AD與BE還存在(1)中的位置關(guān)系嗎?若存在，請說明理由.同時探索AB，BD，BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）能力提升：如圖3，當點D運動到BA的延長線上時，若AB=7，AD=2，則AE=.【答案】（1）相等；垂直；AB=BD+BE（2）解：成立，AB=BE－BD．理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．∵AD=BE，∴AB=AD－BD=BE－BD．故答案為：垂直，AB=BE－BD．（3）解：同理可證：△AEC≌△BDC，∴AE=BD，∴AE=AB+AD=7+2=9．故答案為：9．【解析】【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．∵AD=BE，∴AB=AD+BD=BD+BE．故答案為：相等，垂直，AB=BD+BE．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，即可證明△ADC≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）同理可得結(jié)論；（3）同理可證：△AEC≌△BDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=BD=AB+AD，即可得到結(jié)論．全等三角形判定二（ASA，AAS）練習(xí)一、單選題1．如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃塊打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①②去【答案】C【解析】【解答】解：第一塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，第二塊只保留了三角形的部分邊，根據(jù)三角形全等的判定定理，這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃，故應(yīng)帶③去.故答案為：C.【分析】觀察圖形可知利用ASA，可得答案.2．如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是ASA.故答案為：C.【分析】由圖形可知：三角形已知一個銳角和一個直角，以及兩角的夾邊，根據(jù)ASA證明三角形全等.3．如圖，點B，C，E在同一直線上，且AC=CE，∠B=∠D=90°，AC⊥CD，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠A=∠2 B．∠A+∠E=90°C．BC=DE D．∠BCD=∠ACE【答案】D【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中，∠A=∠2∠B=∠D∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE，∴選項A、選項B，選項C都正確；根據(jù)已知條件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以∠BCD=∠ACE不一定成立故D錯誤；故答案為：D.【分析】利用垂直的定義可證得∠ACD=90°，再利用余角的性質(zhì)可證得∠A=∠2，可對A作出判斷，同理可證∠1=∠E，可推出∠A+∠E=90°，可對B作出判斷；再利用AAS證△ABC≌△CDE，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得BC=DE，可對C作出判斷；不能推出∠1=∠2，由此不能證∠BCD=∠ACE，可對D作出判斷.4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，AD是經(jīng)過A點的一條直線，且B、C在AD的兩側(cè)，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于點F，CE=10，BD＝4，則DE的長為（）A．6 B．5 C．4 D．8【答案】A【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵CE⊥AD于E，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，在△ABD與△CAE中，∠D=∠AEC=90°∠BAD=∠ACE∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，∴DE＝AD﹣AE＝6．故答案為：A．【分析】先求出∠BAD＝∠ACE，再利用AAS證明△ABD≌△CAE，最后求出DE的值。5．如圖，點O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝8，OB＝3，則OC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB，即∠AOB=∠COD，∵∠A=∠C，CD=AB，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OA=OC，OB=OD，∵AD=8，OB＝3，∴OC=AO=AD-OD=AD-OB=5．故答案為：C．【分析】先利用“AAS”證明△AOB≌△COD，再利用全等三角形的性質(zhì)可得OA=OC，OB=OD，最后利用線段的和差可得OC=AO=AD-OD=AD-OB=5．6．已知，△ABC，△DEF，△MNP的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則下列選項正確的是（）A．△ABC≌△PNM B．△DEF≌△PNMC．PN=EF D．∠F=∠A【答案】D【解析】【解答】解：∠C=180°?30°?70°=80°，∠F=180°?30°?80°=70°，在△ABC與△FED中，∠C=∠D∠B=∠E∴△ABC?△FED，∴∠A=∠F，A、B、C三個選項均不能證明，故答案為：D．【分析】利用三角形內(nèi)角和先求出∠C=∠F=70°，再由AB=EF=12，∠B=∠E=30°，根據(jù)AAS證明△ABC?△FED，可得∠A=∠F，據(jù)此判斷即可.7．如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC，E為BC的中點，連接DE、AE，AE⊥DE，延長DE交AB的延長線于點F．若AB＝5，CD＝3，則AD的長為（）A．2 B．5 C．8 D．11【答案】C【解析】【解答】解：∵E為BC的中點，∴BE＝EC，∵AB∥CD，在△BEF與△CED中，∠F=∠CDE∠BEF=∠CED∴△BEF≌△CED（AAS）∴EF＝DE，BF＝CD＝3，∴AF＝AB+BF＝8，∵AE⊥DE，EF＝DE，∴AF＝AD＝8，故答案為：C．【分析】先利用“AAS”證明△BEF≌△CED，再利用全等的性質(zhì)可得EF＝DE，BF＝CD＝3，再利用線段的和差可得AF＝AB+BF＝8，最后根據(jù)AF＝AD可得答案。8．如圖，豎直放置一等腰直角三角板，直角頂點C緊靠在桌面，AD⊥DE，BE⊥DE．垂足分別為D，E．下列結(jié)論正確的是（）A．DE=AD+BE B．DE=AC+BE C．DE=BC+BE D．DE=AB?BE【答案】A【解析】【解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ACB是等腰直角三角形，直角頂點為C，∴AC=CB，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=DC+CE=AD+CD=CE+BE=AD+BE，故答案為：A．【分析】先利用“AAS”證明△DAC≌△ECB，再利用全等三角形的性質(zhì)逐項判斷即可。二、填空題9．如圖，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分別為B，E，AE、BC相交于點F，若AB＝BC＝8，CF＝2，連結(jié)DF，則圖中陰影部分面積為．【答案】6【解析】【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD，∴∠ABF=∠CEF=90°，又∵∠AFB=∠CFE，∴∠A=∠C，在△ABF和△CBD中，∠A=∠CAB=BC∴△ABF?△CBD(ASA)，∴BD=BF，∵AB=BC=8，CF=2，∴BD=BF=8?2=6，∴S故答案為：6．【分析】利用垂直的定義可證得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可證得∠A=∠C；再利用ASA證明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性質(zhì)可證得BD=BF，由此可求出BD，BF的長；然后根據(jù)陰影部分的面積=△ABD的面積-△BDF的面積，可求出結(jié)果.10．如圖，AC=DE，∠1=∠2，要使△ABC≌△DBE還需添加一個條件是．（只需寫出一種情況）【答案】∠A＝∠D【解析】【解答】解：添加條件為∠A＝∠D，理由是：∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE，在△ABC和△DBE中，∠A＝∠DAC=DE∴△ABC≌△DBE（AAS），故答案為：∠A＝∠D．【分析】先求出∠ABC=∠DBE，再利用AAS證明△ABC≌△DBE即可作答。11．王強同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩