工程電磁場(chǎng)課件 第三章-靜態(tài)電磁場(chǎng)2014

1第3章靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解2

本章內(nèi)容

3.1靜電場(chǎng)分析

3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析

3.3恒定磁場(chǎng)分析

3.4靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理

3.5鏡像法

靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括：

靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)

時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立

33.1靜電場(chǎng)分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容

3.1.1靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件

3.1.2電位函數(shù)42.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或若分界面上不存在面電荷，即ρS＝0，則或3.1.1靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件5介質(zhì)2介質(zhì)1

在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為

或

場(chǎng)矢量的折射關(guān)系

導(dǎo)體表面的邊界條件

介質(zhì)1導(dǎo)體6由即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)72.電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：83.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明

P、Q兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q點(diǎn)所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；電位差也稱為電壓，可用U表示；電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做的功9

靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)；同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4.電位參考點(diǎn)

為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即10在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程116.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離⊿l→0時(shí)

若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1常數(shù)，123.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析

由J＝E可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。

恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)重要區(qū)別：（1）恒定電場(chǎng)可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。

恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)都是有源無旋場(chǎng)，具有相同的性質(zhì)。133.2.1恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場(chǎng)的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度

線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷142.恒定電場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1

場(chǎng)矢量的邊界條件即即

導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場(chǎng)矢量的折射關(guān)系15

電位的邊界條件

恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；

說明：16媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1

如2>>σ1、且2≠90°，則1＝0，即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場(chǎng)與分界面平行。173.2.2恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬

如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方法稱為比擬法。18恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬基本方程靜電場(chǎng)（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)193.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位

3.3恒定磁場(chǎng)分析20微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件21

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即由即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。

磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。1.恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位,單位是T?m(特斯拉?米)

3.3.2恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位22

磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達(dá)式面電流體電流線電流

磁矢位的邊界條件

利用磁矢位計(jì)算磁通量：243.4靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理3.4.1邊值問題的類型 已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)值，即

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場(chǎng)域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

已知場(chǎng)域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）25

自然邊界條件（無界空間）

周期邊界條件

銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如26例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：27

在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述28

當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問題的提出幾個(gè)實(shí)例接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷

3.5鏡像法29接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？302.鏡像法的原理

用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。

在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法3.

鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理31

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”；4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場(chǎng)域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來確定。321.點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時(shí)，q有效區(qū)域q33上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為342.線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問題有效區(qū)域當(dāng)z=0時(shí)，353.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿足邊界條件。對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1363.5.2導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像

球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q'來等效。q'應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有

如圖所示，點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。

問題：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'37

令r＝a，由球面上電位為零，即＝0，得此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。條件：若像電荷的位置像電荷的電量qPaq'aR'Rdd'38可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為392.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像

先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則

導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：

導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面

球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零

采用疊加原理來確定鏡像電荷

點(diǎn)電荷q位于一個(gè)半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRd40

然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q"來替代，即球外任意點(diǎn)的電位為qPaq'rR'Rdd'q"413.