量子力學(xué)題庫

《量子力學(xué)》題庫1試寫了德布羅意公式或德布羅意關(guān)系式，簡述其物理意義答：微觀粒子的能量和動量分別表示為：其物理意義是把微觀粒子的波動性和粒子性聯(lián)系起來。等式左邊的能量和動量是描述粒子性的；而等式右邊的頻率和波長則是描述波的特性的量。2簡述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，按這種解釋，描寫粒子的波是什么波？答：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度(振幅絕對值的平方)和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。按這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。3根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，說明量子力學(xué)中的波函數(shù)與描述聲波、光波等其它波動過程的波函數(shù)的區(qū)別。答：根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，因為粒子必定要在空間某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對強(qiáng)度而不決定于強(qiáng)度的絕對大小；因而將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動過程所沒有的。11221212EE。試說明式子=cQ+cQ的含義，并指121122系的能量的可能值及其幾率。1122121處于Q態(tài)?；蛘哒f，當(dāng)Q和Q是體系可能的狀態(tài)時，它們的線性疊加態(tài)也是體系一個可212能的狀態(tài)；或者說，當(dāng)體系處在態(tài)時，體系部分地處于態(tài)Q、Q中。1212答：定態(tài)是指體系的能量有確定值的態(tài)。在定態(tài)中，所有不顯含時間的力學(xué)量的幾率密度及向率流密度都不隨時間變化。6什么是全同性原理和泡利不相容原理？兩者的關(guān)系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改泡利不相容原理是指不能有兩個或兩個以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。兩者的關(guān)系是由全同性原理出發(fā)，推論出全同粒子體系的波函數(shù)有確定的交換對稱性，將這一性質(zhì)應(yīng)用到費(fèi)米子組成的全同粒子體系，必然推出費(fèi)米不相容原理。答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個條件：有限性、連續(xù)性和單值性。答：因為所有力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)。而表示力學(xué)量的算符的本征值是這個力學(xué)量的可能值，所以表示力學(xué)量的算符的本征值必須是實數(shù)。厄米算符的本征值必定是實數(shù)。所以表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符。9請寫出微擾理論適用條件的表達(dá)式。nm答：復(fù)雜的體系的哈密頓量分成與兩部分。是可求出精確解的，而可看成對的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。ii答：由電子、質(zhì)子、中子這些自旋為的粒子以及自旋為的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對稱的，這類粒子服從費(fèi)米(Fermi)－狄拉克(Dirac)統(tǒng)計，稱為費(fèi)米子。dddd13簡述兩個算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說明(要求寫出本征函數(shù)系)。在這些態(tài)中，測量這兩個算符對應(yīng)的力學(xué)量時，兩個測量值是否可以同時確定？z!m14若兩個力學(xué)量的算符不對易，對這兩個力學(xué)量同時進(jìn)行測量時，一般地它們是否可以答：不可能同時具有確定值。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關(guān)系。15請寫出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。K=1dK=1ddx2dx2∴ex不是d2的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為1。dx2dx2dx∴可見，sinx是d2的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。dx2dx2dx∴3cosx是d2的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。dx2sinxcosxddx22xx1x21x2xxx12xx221x221x22xx1已知粒子在中心力場中運(yùn)動，試證明(角動量在x方向的分量)是守恒量。x證：因為粒子在勢函數(shù)為U的中心力場中運(yùn)動時，哈密頓算答是xxx121221122112213試證明：一維運(yùn)動的束縛態(tài)都是不簡并的。12122112211224試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況為厄密算符,為厄密算符,為實數(shù)為厄密算符為厄密算符5已知軌道角動量的兩個算符和共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為,取證。是的對應(yīng)本征值為的本征函數(shù)是的對應(yīng)本征值為的本征函數(shù)可見J與t無關(guān)。反演(x一x)而得其對方，由①經(jīng)xx反演，可得③，的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是式中e、e、er9小n!me2rrsin9n!mn!m小rrsin9n!m小可見，J=J=0ere9xyzxyyxzxyyxz=i2xyzzzxyzSSSA同理可證其它的正交歸一關(guān)系。12對于無限深勢阱中運(yùn)動的粒子(如圖所示)證明并證明當(dāng)n)的時上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。naapp2pp2pp2p3(5)=a2-a2()6在經(jīng)典力學(xué)的一維無限深勢阱問題中，因粒子局限在(0，a)范圍中運(yùn)動，各點(diǎn)的幾率a故當(dāng)n)w時二者相一致。(證明)根據(jù)題給的對易式及[q,f(q)]=0;(證明)同前一論題i[證明]根據(jù)題給對易式外，另外應(yīng)用對易式i(證明)論據(jù)同(4)：fipi(證明)論據(jù)同(4)：設(shè)算符A，B與它們的對易式[A，B]都對易。證明(甲法)遞推法，對第一公式左方，先將原來兩項設(shè)法分裂成四項，分解出一個因式，再次分裂成六項，依次類推，可得待證式右方，步驟如下：按題目假設(shè)15證明是厄密算符證明)本題的算符可以先行簡化，然后判定其性質(zhì)是厄密算符，因此原來算符也是厄密的。另一方法是根據(jù)厄密算符的定義：前式=說明題給的算符滿足厄密算符定義。+＝第一式等號左方2217證明力學(xué)量A?(不顯含t)的平均值對時間的二次微商為：(解)根據(jù)力學(xué)量平均值的時間導(dǎo)數(shù)公式，若力學(xué)量A?不顯含t，有dtiiiidt2iiiii2(2)此式遍乘i2即得待證式。18試證明：一維運(yùn)動的束縛態(tài)都是不簡并的。121221122112系=i。xyz.20試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。證明：考慮一維情況為厄密算符,為厄密算符,為實數(shù)為厄密算符為厄密算符21已知軌道角動量的兩個算符和共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為,取試證明:也是和共同本征函數(shù),對應(yīng)本征值分別為:證。是的對應(yīng)本征值為的本征函數(shù)是的對應(yīng)本征值為的本征函數(shù)函數(shù)的對稱性不隨時間改變證明：設(shè)t時刻波函數(shù)是對稱的，用表示，S因為H?是對稱的，所以H?在t時刻也是對稱的，S由+?Sdt也是對稱的S?t12解：J和J只有r分量12?1?1??1?1?QJ與r同向。表示向外傳播的球面波。1可見，J與r反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。2勢場mdx112mdx2333①②③dx2i22i2i221232a得由a0baa2mn0對應(yīng)于E的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為n111iea2x2iea2x2i22冗222111244prdr1230120p2可見，動量p的可能值為02kinkin量有確定值1，434dxdxdxdxAB么121212xxxxxxxxzyxxzy=0xxyyzzxxzyzy=013求在動量表象中角動量L的矩陣元和L2的矩陣元。xxxp,pxp,p2幾izy2n幾2n幾aaa==mm0aa2mna0aa2山22山?x22∴iiiiiiii?t寫成矩陣形式為得011102224e2O3A=smkrmk3ic3mk2故只需計算2p)1s的幾率而rxyzv,v,v2解：A記r2=x2mkmkmkx=1[k0+k+10]ka2k一12k+1解：基態(tài)波函數(shù)(零級近似)為xy4i1zxy2z1zxy21z2xyxyz41zz22xy16可見①式符合上式的要求。x∴的本征值為士i。x2i設(shè)對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為2-i)-i)(a) (a) X=iX，得即1∴=111=11112122i對應(yīng)于本征值-的本征函數(shù)為21=-2同理可求得的本征值為士i。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為y2zzzn其相應(yīng)的久期方程為44n2由歸一化條件，得22ii的可能值為z-可見，-22n的可能值為zi2i2 2i-2 211122000zz②求總磁矩M=-L②求總磁矩M=-L-S的z分量的平均值(用玻爾磁矩子表示)。zi的可能值為i的可能值為z-2i14i4z2pzpz2p4p4z2pzpz2p4p425一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？ij26設(shè)體系處于v=cY+cY態(tài)，求111220(1)l?的可能測值及其平均值。x(2)l?2的可能測值及相應(yīng)的幾率。(3)l?,l?，的可能測值。xyYplm的，(l?2,l?)的共同本imxxx12看出，當(dāng)體系處在Y態(tài)時，l的測值i，處在Y態(tài)時，l的測值為零。11x20xl?在v態(tài)中的平均值x(2)又從波函數(shù)v看出，l也可以有兩種值，體系處Y態(tài)中時l?2測值為當(dāng)體系處在Y態(tài)時l2的測值為221l2的并態(tài)v中的平均值(3)關(guān)于在v態(tài)中l(wèi)?，l?的可能測值可以從對稱性考慮來確定，當(dāng)使用直角坐標(biāo)表示算符xylxyxzx知道l的可能測值只能是xl=2i，i，0，-i，-2ixyl=2i，i，0，-i，-2iy27設(shè)粒子處在寬度為a的無限深勢阱中，求能量表象中粒子坐標(biāo)和動量的矩陣表示。一維無限深方勢阱的歸一化波函數(shù)是：此式不適用于對角矩陣元，后者另行推導(dǎo)。當(dāng)m=n時，得對角矩陣元：mma2動量矩陣元(非對角的)mma2i0aa態(tài)的能級；問第一激發(fā)態(tài)的能級是否簡度，若是簡并，是幾重簡并？解：(1)二維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，其能級為n1n22山a212121221(2)粒子的波函數(shù)為2129求一維諧振子的坐標(biāo)及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。提示：可利用公式：及對應(yīng)的能量本征函數(shù)，利用公式(2)描述。求(1)粒子能量的可能值及相應(yīng)的幾率；(2)粒子的平均能量E；(3)寫出狀態(tài)在表象中的波函數(shù)。(x)aaanaan2山a2則則又 n(3)由(1)得，31設(shè)在(無微擾時的哈密頓算符)表象中，的矩陣表示為其中,試用微擾論求能級二級修正。32求在狀態(tài)2z2z2z2zzzzzi所以，算符的本征值為-z2AB是二行二列矩陣，且，的本征值，(2)在A表象下求算符的矩陣表示。設(shè)的本征值為設(shè)的本征值為,本征函數(shù)為(2)在A表象，算符的矩陣為一對角矩陣,對角元素為本征值，即(1)求算符同理算符的本征值也為.設(shè)利用即又(1)粒子在二維無限深方勢阱U=〈，請寫出能級和能量本征(1)粒子在二維無限深方勢阱U=〈，請寫出能級和能量本征其他區(qū)域aa(2)最低能級為基態(tài)能級E?；鶓B(tài)非簡并，所以35試在為對角的表象中，(1)求的本征值和所屬的本征函數(shù)；(2)在的本征值為zxx–i的本征態(tài)中，求的平均值；(3)在的本征值為i的本征態(tài)中，測的可能值及相2yx2y2由當(dāng)當(dāng)(2)2_22(_1)2_22(_1)y1y1__22(3)將的本征值入=i的本征態(tài)展開為：x2兩邊相等，得y22y222是H=_+是H=_+x2的一個本征函數(shù)并求出相應(yīng)的本征值；即是的本征函數(shù)。本征值所描寫的態(tài)中式中，是諧振子的能量本征函)時系統(tǒng)的波函數(shù)。(2)(3)能量算符為,其中,為軌道的角動量算符。視的精確解為本征函數(shù)本征能量按微擾論利用了公式能量二級修正為在二級近似下21(x)22(x)2422222!mxyz!m!mxii!myzzy!mzxzxy+xy-xyx2+-y2i+-xyrdr子出現(xiàn)的幾率3．自由粒子體系，__________守恒；中心力場中運(yùn)動的粒子___________守恒。。_______________________________________________。xyzx8．如兩力學(xué)量算符有共同本征函數(shù)完全系，則___。9．坐標(biāo)和動量的測不準(zhǔn)關(guān)系是____________________________10．在定態(tài)條件下，守恒的力學(xué)量是_______________________。11．隧道效應(yīng)是指__________________________________________。12．量子力學(xué)中，原子的軌道半徑實際是指____________________。圍分別為