新版【跨越一本線】高三數(shù)學問題3.4與向量、數(shù)列等相結合的三角問題

高三數(shù)學跨越一本線精品問四與量數(shù)等結的角題在知識點的交匯處命,是當前高考的熱,三角函數(shù)即是基本的函,也解決數(shù)學問題的有效工,在代數(shù)與幾何中有著廣泛的應.文擬從其中較為多見的與向量、數(shù)列等相結合的三角問題說起一三與量交現(xiàn)行高中數(shù)學教材中向量是繼函數(shù)之后的一條主貫穿整個高中數(shù)學教學也在各種問題的解決中起著廣泛的作用.而向與三角知識的交通常題目以三角函數(shù)為主體,但條件中涉及一些向量知,如向量的坐標中包含三角表達然后給出向量之間的平行、垂直關,或者用向量的數(shù)量積表示函數(shù)等,種情況在當前的試題中還很常.【例1遼盤錦市高三11月考】已知△的面積滿2

,且ACB

．（1）若m2,cos2A)

,

rrnB),求mn|

的取值范圍；（2）求函數(shù)sin())4【分析】）已知數(shù)量積可得cos,代absin

的最大值．,可得tan3,1,從而求出的圍再由向量模的公式可得m

,從而求得答案（2）化簡函數(shù)

f

3令t4

,然后利用配方法求得函數(shù)

f

的最大值．【解析）由

CA

,

ACB

,得cos

,

Ssin

tan

,所以∵m(sin2,cosA)

,而,以4r,2BB),

,∴

r|2A,n

,rm222sin2Bsin(2)

C)2C

,

xrxrrrr|nm2m||2

,因為,所以,46r54sin

．【點評】平面向量作為一種運算工經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結合．當平面向量給出的形式中含有未知數(shù),由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式．在此基礎可以求解有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題．(2)求與三角函數(shù)有關的最值常用方法有以下幾種：①化成

yasin

xx

的形式利用配方法求最值；②形如

sinxcsinx

的可化為sin

()

的形式性求最值；③axcosx

型可為

y

sin(

求最值；④形如xx設sinxcos,利用方法①的思路解答的.

換元后利用配方法求最值本是【小試牛刀湖北襄陽市四校高三上學期期中聯(lián)考】已知向量

,2

,nsin,cos22

,函

若

x

2

,

,求

f

的最小值及對應的

的值；

若

x0,

,

f

,求

sinx

的值.

【答案）min

）

3310

．【解析】

f

xsincoscos2

31xsincosx22

2

x35x

,即

時

fmin

1110

,即

1113,sin65x

,2

x6

,

x

6x66233352210rrr【例2△中角A,,C的邊分別是,,若最小角的正弦值等于)

20cAB

,則△ABCA.

3B.C.5

.

【分析】三角形中的向量問題,常先選基然后利用向量相等的充要條件轉化為相應的數(shù)量關系即可rr【解析】∵

20cAB

,∴

r20ACAB)bCAcABr

,∴

(20aca)AB

,∵

AC

與

不共線

bab∴12cc∴△ABC最小角為角A,

,所以

b

2

16a2a9164223

45

,∴sinA

,故.【答案】【點評】本題中,三角形三邊所的向量兩兩不共當化為兩個不共線向量之和為零向,則隱藏著他們的“系數(shù)同時為0”條,而可得到三邊的關.【小試牛刀山西學附中高三第二次模擬測試】在直角梯形,AD/1,AB2,E,F分別為AC中點點在A

為圓心

AD

為半徑的圓弧

DE

上變?nèi)缢?/p>

AP

,其中

,則

的取值___________．【答案】

【點評】本題主要考查向量運算的坐標.平面向量的數(shù)量積計算問,往往有兩種形式,一

是利用數(shù)量積的定義,二是利用數(shù)量積的坐標運算公,及幾何圖形的問,先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺?可起到化繁為簡的妙利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件可有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．二三與列交數(shù)列與三角函數(shù)的交匯問題也是一類常見問,主要題型有兩大類：一是在解三角形,一些條件用數(shù)列語言給出常見的如三角形三內(nèi)角AB,C成差數(shù)列；三邊,,成等比數(shù)列等二是數(shù)列通項種含有三角函數(shù),們可以借助三角函數(shù)的周期性求.【例3】設的角A,,C圍是()

的對邊分別為ab,c,且b,

成等比數(shù)列,則角B的取值范A．

(0,

]B．[C．(0,]．[633

,

【分析利bc

成等比數(shù)列得

,再利用余弦定,將邊與角聯(lián)系最后用基本不等式求出B

的范圍【解析】由bc

成等比數(shù)列得

2

,所以

cos

222a122

,由于B是的內(nèi)角所的值范圍是

(0,

3

]

．故C【點評“,

成等比數(shù)列”是為了給出“b

2

”這一條件所以,解題的重點是何利用這個條件將邊與角的關系聯(lián)系起.【小試牛刀】△ABC的內(nèi)角

C

所對的邊分別為c.(1)若

a

成等差數(shù)列證明：

sinC

；(2)若

a

成等比數(shù)列求

B

的最小值.【解析】(1)∵,成差數(shù)列∴＋＝2由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB∵sinB＝sin＝(＋)

nnnnxnnnnnnxnn∴sinA＋sinC＝2sin(＋)(2)∵,成比數(shù)列∴由余弦定理得

cos

2

2aa1ac22ac∵

≥2(當且僅當a＝時號成)22ac

(當且僅當a＝c時等號成立)111ac22

(當且僅當ac時等號成立即

12所以cosB的小值為

12

.【點評】邊的等差關,通常利用正弦定理轉,而邊的等比關,則用余弦定理找邊角關系【例4河八市重點高上學期第三次測評】設公比為正數(shù)的等比數(shù)

項和為,已知aS,數(shù)n3

bn2

n

.（1）求數(shù)列

式（2）若數(shù)列

sinnan

,

n

為數(shù)列

項和,求證：對任意n

*

,2

.【分析(1)用基本量法即用

a1

與

表示條件

aS32

,列出方程組,解

a,q1

即可求數(shù)列

式由

blogn2

n

可求數(shù)列

式(2)先求csinn

n

,從而寫出

34Ssinsinsin2

,由當

時

sinx

放縮可得

43S,令T2nn

,利用錯位相減法求出T即可.n

1nxTn1nxTn【解析）設

,則有

a2aq1

,解得則alogn2

.即數(shù)列

式2n2

n（2）證明：

csinn

n

,∴Sn4

n2

,易知當

時有

sinx

成立,∴Sn

42

,令Tn

4n

①3n則T2n

②①-②得

nn8

n

,從而Tn

n

S【點評】與求和有關數(shù)列不等式的證,常是把數(shù)列放縮成可以求和的數(shù),比如等差數(shù)列、等比數(shù)列、可以裂項求和的數(shù).【小試牛刀南中原名校高三上學期第一次聯(lián)考】已知a且．7

是等差數(shù)列

和,（1）求數(shù)列

；（2）設

cosan

n

,

是數(shù)列

求

的值．【答案）

a

n3

）

．【解析）由于數(shù)列

由

,

a

8,得3,da1

55a1n解得,6d3（2）數(shù)列

bn

n3

列

的期數(shù)列,前6項分別為b,b4

3,2T

2016

2016

3366

32

．三、三角與其他知識點的交匯【例5】在平面直角坐標系xOy

中以O為點,軸的正半軸為極軸建立極坐標,直線l的極坐標方程為數(shù)

,曲線C的數(shù)方程為)．

xysinα

(為參(1)寫出直線l的直角坐標方程；(2)求直線l與線的點的直角坐.【分析】利用ρcosθρsinθ＝y(tǒng)極坐標轉化為直角坐,同時將參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程本不難求.【點評】極坐標本身就是利用三角函數(shù)思想建,而圓和橢圓的參數(shù)方程也是利用三角函數(shù)中

CC的同角關系式進行代,所以這個知識點與三角函數(shù)的關系非常密.【小試牛刀】已知橢圓：

x

與x正半軸、正軸的交點分為,動P是橢圓上任一,求面的最大.【分析先頂點坐,再求直方,根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出點直線的距離表出面積然求值

P

的坐標然再求點到【解析】依題意

(4,0)

,

(0,3)

,

AB

,直

AB

：

xy43

,即

3y設點P坐標為

,3sin

,點P到線AB的離是

3

2)5

,當

4

時

d

12(5

,所以PAB面積的最大值是

S

6(2【點評】與橢圓上點有關的范圍或者最值問,用參數(shù)方程進行三角代換后,可以利用正余弦的有界性求范圍或者最值.【例6】已知：復數(shù)zcosi

,

z)cosi

,且

z

,其中

、

為△ABC的內(nèi)角

、

b

、

為角

、

、

所對的邊．(1)求角的??；(2)若

b

,求△的積【分析(1)先利用復數(shù)相等得出三角形的邊角關再利用正弦定理將邊轉化為,利用三角關系求角B;(2)利余弦定理求出有關a關系再用三角形的面積公式進行求解.

rr【點評】本題其實就是利用復數(shù)相等建立兩個邊角關而復數(shù)與三角函數(shù)也有密切關,只是現(xiàn)行教材的范圍限,對復數(shù)的三角形式暫不作要,應該注意與其相關的試題出.總體來看三角函數(shù)可能交匯的識點眾,相應的考點、解題思想方法也就千變?nèi)f,我們在解決這類問題時,既要考慮三角數(shù)方面的方,也要關注其他知識點的思,有時候兩者結合起來還可能出現(xiàn)一些巧妙的思如數(shù)形結合、參數(shù)思想,對于我們解決進一步問題都將會有很好的啟.遷移運用1.【20xx山西省孝義市高三上期二輪?？肌恳阎獅a}ncos(（）2

為等差數(shù)列,若

a19

,則A．

11B．C．2

．

32【答案】【解析】由

aa159

,得

a5

3

,所以cos(a)cos(2a)28

＝32

,故選A．2.【20xx河北省冀州中學高三學期第二次階段考試】已知向量ra6

,

b4cos

,若

rb

,則

sin()3

（）A．

34

．

14

C.

34

D．

14【答案】【解析】a?4sin（62sin

cos

34

3

)0,所以

sin(

1)．以))344

．π3.已知AB,C,D是函數(shù)＝sin(ωxφ＜＜期的圖象上的四個點,2π如圖所示A，06

,為軸的,為象上的最低為函數(shù)圖象的一個對稱中→π心與D于點對,CD在軸的投影為,則ω,的值為)12πA．＝2,＝31πC．＝φ＝23

πB．＝2,＝61πD．＝,φ＝26【答案】【解析】由為函數(shù)圖象的一個對稱中作點C的稱點為,作MF⊥x軸垂為,如→ππππ圖．B與D關點E對稱,在軸的投影為,知OF.A，0＝＝＝1212642ωπ4

,所以＝2.時函數(shù)＝sin()圖象可以看作是由y的圖象向左平移得

ABCrABCrφφππ到故知＝＝,即＝.ω263rr【20xx河北邑中學高三上學調量a25實rr數(shù)且uatb,則的最小值為（）A．2

B．

C．

22

D．

12【答案】5寧省沈陽市二中高三上學期中】在△中

,

分別為∠A,∠B,∠C的對邊且c

,若向量

和

,1)

3平行,且sinB＝,當△的面積為時則b＝（）A．

3

B．4D．2＋

【答案】【解析】

mn

,所以

,即

2b

,

123SsinBac25

,所以ac

154

,又因為

,以解B為角所有Bsin

B

由余弦定理得b

2

2

2

B

2

2

61615aca)2ac42455

2

,解之得,故選B．6南省長沙明德中學高三上三次月考】已知向量

(cos

r,向b,且r

,則

tan

的值是（）A．

3B．3

C．

D．

【答案】

nn【解析】因為

a

,所以由平面向量的數(shù)量積的坐運算可得：

3cos

,所以sin

cos

所

,故應選．7.

f(x)

部分圖象如圖,若

|2

,等()A．

B．．．6【答案】．

【解析】∵

2

,∴

ABABAB,BC|2

,∴

AB

12

,∴,ABD3

,∴

AD

,

T

,∴6

．【江省桐鄉(xiāng)第一中學等四校三上學期期中聯(lián)考知a}是比列其

8

是關于x

的方程

xxsin0

的兩根且

(a)2a,銳角的值為1()A.

B...612【答案】.【解析】∵等比數(shù)列

{},a8

,又∵

a是關于x的方程x8

2

x3sin

的兩根∴

2sin8

aa1

,∴

(aaa4sin236

,即

32

或

sin3

(舍去,又∵銳角,

3

.

eq\o\ac(△,S)ABC2→→eq\o\ac(△,S)ABC2→→9.【20xx山西臨汾一中等五校三第三聯(lián)考】如,

中

ADAB,AD

,則

AC

的值為（）A．1D．4【答案】x10.直線l：－y＝0與橢圓＋＝1交于A、兩點,點C橢圓上的動點則面積的2最大值是．【答案】2＝0，【解析】由＋＝1，

得3＝2,∴＝±

63

,6∴，

66，－33

43,|＝3

.|2cosθ－sin|3設點C(2cossinθ),則點C到的離＝＝·|sin(－22Φ)|≤

3,211433∴＝||·≤××＝2.22311.函數(shù)y＝sin(ωxφ在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,、分別是最高點、最低點O為坐標原點且·＝0,則函數(shù)f(x的小正周期是________．

()→→()→→1【答案】【解析】由圖象可知M，,所以O·ON，1,－1)x－1＝0,解得21x＝2,所以函數(shù)f()的最小正周期是2×

＝3.12.【20xx福建廈門一中上學期中】如,徑為扇形的圓心角為120°,CAB

上且COB

,若

,則

____________．【答案】

2014201420142220142014201422{a}13.【河北省正定中學高三上學期期中】等差數(shù)列

的前項為

n

,已知

f()

,且

f(a2)sin2

20143

,

f(a2014

20156

,則2015=__________．【答案】【解析】因為

．f(a2

320153,f2)cos

,所以f(2

aa

32a3,f(2)2

,解得2

2

2,23

,所以(a2)a2

2)

2

log

,所以2

,所

S

2015

20144030

,故應填．14省玉溪市一中高三上期期中列

{}n

的通項

(sin

),

其前

S項和為n則30=______．【答案】．【解析Q(cosn

n2n)cos330

24cos

2

cos30

2

2012228292

2

30

2[(122)2)22)][(122)2)2))2)22)][59)](4(5[2故答案應填-470．

,15京市朝陽區(qū)高三上學期期中統(tǒng)一考試】若函數(shù)f()

在區(qū)間(,)上調x3遞增,則實數(shù)

的取值范圍是．【答案】[2,【解析】因為函數(shù)(x

ππ在區(qū)間,)x3

上單調遞增所以f

ππ在區(qū)間,)恒立3f

xsinx))asincos2x2因為

,所以

ax

在區(qū)間

ππ,)3

恒成立所以

sin因為

x(

323),所以x3223所以a取值范圍是[

16西省山西大學附中高三10月考】ab,c．成等比數(shù)列且cos

ABC

中內(nèi)AB,C

的對邊分別是a,,

,已知（1）求的值；tanAtanB（2）設BA,值．【答案）

2或77

）

3

．【解析）因為b,c

成等比數(shù)列所2ac

,由余弦定理可知：

cos

222a2cac2又cosB

1ac1,所以sinB,且,解得或．2a4a2cosAcosCc2于是或7tanAtansinsin77（2）因為,所以,以ca,

．c1又或,于是c．【另解】由BA得ca

,由

3可,即24由余弦定理b2a2B

得2acB

ac

∴

a

．317.已知向量a＝4

,＝(cos,－1)(1)當∥時求

－sin2x的；(2)設函數(shù)fx＝2(b)·,已知在ABC內(nèi)角,,的邊分別為,c.若＝3,b＝2,sinB＝

63

ππ,求()＋4cos6

的取值范圍．33【解析】因為a∥,以cos＋sin＝0,所以x＝44cos－2sinxcos1－2tanx8cos－sin2x＝＝＝.sin＋cosx1＋tanx3(2)f()＝2(＋b＝2sin＋.2

11a2π3由正弦定理＝,得＝,以＝,A＝.sinsinB244π因為b＞所以＝.41f(x)＋4cos＝2sin－,642ππ11π因為x∈2x∈，41232

－1≤(＋4cos2－623∴所求范圍

1－1，2－218.【20xx浙江杭州地區(qū)重點中高三上學期期中】已知函數(shù)f

3sin（