高數(shù)課件第三章、曲率圓與半徑

第六 曲 PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion MMNMMN N(正比

M3

(反比切線轉(zhuǎn)角

彎曲程度越大PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion yCNMyCNM0SSMox切線轉(zhuǎn)角為 是曲線上一弧設(shè)：M N切線轉(zhuǎn)角為弧段 N的平均曲率K

K KK若limK PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 例 在圓上任取一弧段MN,假設(shè)弧長(zhǎng)為從M到N的切線轉(zhuǎn)角為，則就是弧段對(duì)應(yīng)的圓心角，因此有：sR弧MN的平均曲率為： 在圓上任一點(diǎn)M處的曲率為：R PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 設(shè)yf(x)二階可導(dǎo) tan有 y, arctany

1ds 1y2dx.k

3(1y2) ，直線的曲率處處為零PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion y(t設(shè)y(tdy(t) (t

二階可導(dǎo)d2 (t)(t)(t)(t 3(t (t)(t)(t)k [2(t)2PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion k大3[1(2axb)2例2拋物線yax2bxc上哪一點(diǎn)的曲率最大k大3[1(2axb)2 顯然

x2a時(shí),k

(2a

拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 設(shè)曲yf(x在點(diǎn)M(x處曲率為K。(K DM1KMDM1Ko

DkM

yf(x稱為曲M處的曲率

D曲率中PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 注意:）

1曲率PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion ds (ds (dx)2(dy)2k3(1y2)曲率圓的定義PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 橢圓x2cos

y3sintPDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 思考題解33k |y 33[1(y)2

(4sin2t9cos2t3(45cos2t3要使k最大，必有(45cos2t)2 t

此時(shí)k PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 例3飛機(jī)沿y

(單位為米)俯沖飛行點(diǎn)O處速度為v400米/秒 體重70千克.求俯 到原點(diǎn)時(shí) 對(duì)座椅的壓 FQ 在點(diǎn)O作勻速圓周運(yùn)動(dòng),F PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion y

y

得曲率為

x

2000米F

70

5600(牛571.4(千克Q70(千克力571.4(千克力641.5(千克力即 PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 例3的曲率突然改變,容易發(fā)生事故，為了行駛平緩沖段(如圖),到1R為圓弧軌道的半徑PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion y

6Rl

x3，x[0,x0．作緩沖段OA，其中l(wèi)OAOA在始端OyRloyRloC(x0xR(l1RA的曲率近似為1RPDFcreatedwithpdfFactorytrialversion OA是緩沖段,AB是圓弧軌道

R C(x0 y x2 y1 在x0處y0y0,故緩沖始點(diǎn)的曲率k0實(shí)際要 lx0PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion

x

l ,yRlo,yRloC(x0xx 1

1

1x

1 A

(1y2

x

l

l 1

略去二次

得kARPDFcreatedwithpdfFactorytrialversion PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 例 設(shè)

2arctanxln11xc0,求p,cx ((

2arctanxln11x

2arctanxln(1x)ln(1

x

lim1

1 1

2lim1

1 px

p x4 px0(1x4)x

c

p c4PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 問方程lnx (a0)有幾個(gè)實(shí) f(x)lnx (x f(x)1x

令fx)0得xa當(dāng)x1a當(dāng)x1a

f(x)f(x) f(1)ln1

PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion f )

1

ae由于limf(x) limf(x) 方程有兩個(gè)實(shí)根，分別位于(01),(1 f(a)ln

1

a x③f(1)ln11③①② ①②

③PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 例 若函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可微,且f(0)f

f(

1,證明

f(

1 (x[0,1])證設(shè)x0[0,1],在x0處把f(x)展成一 ,f(x)f(x)f(x)(xx)1f()(xx 令x0,x1,則 f(0)f(x0)f(x0)x02

f(1)

f(1)f(x)f(x)(1x)1f()(1x

PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 21（1）–（2）注意到f(0f(1),211f(x0)1

f(1)

f()(1x f(x) f(x)1x21(1x

(x1)2

又由x[0,1]知

x

1

于是

f(x) 由x0的任意性,可知命題成立PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 設(shè)f(x)在(a,b內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，f(x)試證：對(duì)(0,1),x1,x2(a,b)f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2 x1 記x0x1(1) x1x0x0x1(1)(x2x1),x2x0(x2x1)f(x0)f(x1)f(1)(1)(x2x1) f(x2)f(x0) f(2)(x2x1) (x11x02x2)PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion f(x)0f(x) f(1)f(2(1(2)(1 f(x0)[f(x1)(1)f(x2[f(1)f(2)](1)(x2x1) f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2注Jensen不等式(n=2的情況)PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion f(x2)

f(x1

yxyf(x)

x2

(xx1 則弦AB上相應(yīng)于x0的縱坐標(biāo)

f(x0 f(x)f(x2)f(x1)(1)(xx x x f(x1)(1)f(x2)(1)f(x1)f(x1)(1)f(x2PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 例5設(shè)fx在[0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(00,f(11,試證對(duì)任意給定的正數(shù)a,b在(0,1)內(nèi)存在不同的,

f( f

a a與b均為

0 afx在[0,1,

a存在 使得f()

abfx在[0,],[,1上分別用拉氏中值定理PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion f()f(0)(0)f(f(1)f()(1)f

(0,(

注意 f(0)0,f(1)a

由（1）（2）b f()a

（3）11f()a

f(

f(

af fa（3）（4）,

1f()(ab)

f()(a af( fPDFcreatedwithpdfFactorytrialversion (0且f(0)0，在(0內(nèi)fx)。證明：對(duì)一切自然數(shù)n，在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使得nf(c)f(1c)。f(c) f(1c)用Rolle定理，F(xiàn)(x)f(x)]nf(1PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion 若f(00fx)在原點(diǎn)的

x2x2例fx)

1 xx xf(0)lim(12xsin1)1 f(x)14xsin1x

1 xx在x附近，fx)取值可正可負(fù)，fx)PDFcreatedwithpdfFactorytrialversion x0fx)的極小值點(diǎn)，那么必存在x0fx)x0的左側(cè)下降，而在x0的右側(cè)上升.PDFcreatedwith