三角形全等難題

在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B，C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)(2)小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．ABEDCFGABEDCFGFADABCEGB③如圖3,在正五邊形ABCDE中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正五邊形外角∠DCK的平分線(xiàn),若∠ANM=108°,則AN=NMAMBCKNBCKDADMBKCNBKCEDADMBKNCBK①如圖4,在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中,N為BC邊上任一點(diǎn),CM為正n邊形外角∠DCK的平分線(xiàn),問(wèn)當(dāng)∠ANM等于多少度時(shí),結(jié)論AN=NM成立(不要求證明).②如圖5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),CM為∠DCN的平分線(xiàn),若∠ANM=∠ABC,請(qǐng)問(wèn)AN=NM是否還成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.FEADBKNCBKMADBCNB(2)若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上或AB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)”，其余條件不變．試問(wèn)(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，邊上相遇？(在橫線(xiàn)上直接寫(xiě)出答案，不必書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程)(i)當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合)，如圖甲，線(xiàn)段BD，CE之間的位置關(guān)系為(ii)當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延ABCDBC(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊作菱形(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；CD；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量AEEHDCA(E)EA(E)QlBBFCBBFCPPlEFAPBClQQAFPBEC(2)若E為線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線(xiàn)DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫(huà)出圖形。在你所畫(huà)圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變．(本小題直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明)AGFDHEBCAGDBCECCADCEABFCDBBFDEBBEFDCABEACFDAED21CADEAAEEDBC(1)如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；(2)如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD；(3)如圖3，當(dāng)CE在△ABC的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：證明題；探究型．分析：(1)利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而根(2)根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED=BE-AD．DBEAD∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等)．∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，CCEBAAS(2)證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等)．∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，CCEBAASCBEADCE又∵ED=CD-CE，(3)ED=AD+BE．證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等)．∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，CCEBAASCBEADCE又∵ED=CE+DC，∴∴ED=AD+BE．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)量交換，證明線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握行等D(3)若△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎？還具有上問(wèn)中的位置關(guān)系考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：(1)根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答．(2)證明△DOB≌△COA，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行說(shuō)明．解答：解：(1)相等．AOBOCODCBOD(2)相等．COA∴BD=AC．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角．C已知∠QAP=∠BAC，那么這兩個(gè)等角同時(shí)減去同一個(gè)角(2題是加上同一個(gè)角)，來(lái)證得∠QAB=∠PAC；而根據(jù)旋轉(zhuǎn)∵∠QAP=∠BAC，AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC， ∵∠QAP=∠BAC，AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，∴BQ=CP．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：探究型．分析：(1)根據(jù)外角的性質(zhì)，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，從而得出∠AFD=∠DCA； (2)成立．由△ABC≌△DEF，可證明∠ABF=∠DEC．則△ABF≌△DEC，從而證出∠AFD=∠DCA； (2)∠AFD=∠DCA(或成立)，理由如下：∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，AD方法一△ABF≌△DEC，∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．(3)如圖，BO⊥AD．得∠BAC=∠BDF，BA=BD．且∠BAD=∠BDA．BODBO∴BO⊥AD．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性ADAFBECEFDFBEEBBGEGAEAE，F(xiàn)AEA則∠BCD=45°，∠等三角形的判定易得△DCE≌等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，MCFNADFSDCESADFDECFSACDABCDDAS∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，BEMBEMBFCN(圖3)DDFCN(圖3)DDCDFFNNEM(2)∵△DCE≌△ADF，(圖1)(圖2(圖1)(圖2)DDA兩側(cè).Q (I)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)=；L(II)如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；N(3)首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后證得∠CDN=∠MDN=60°，易證得△ABAMBM，(2)猜想：結(jié)論仍然成立．(3分)．BM例8．(2005年馬尾)用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).(1)當(dāng)三角尺的兩邊分別與與點(diǎn)將三菱形 明你(2)當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)(如圖—)，你在()中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：(1)利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；(2)根據(jù)已知可以得出∠BAE=∠CAF，進(jìn)而求出△ABE≌△ACF即可；(3)利用四邊形AECF的面積S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．解答：解：(1)得出結(jié)BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，(2)還成立，即∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，(3)證明：∵△ABE≌△ACF，∴S=12S菱形ABCD．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出A(2)BE=CF仍然成立.根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明△ABE和△ACF求證：①△BCG≌△DCE②BH⊥DEDAHGFBCE考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型．分析：(1)根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過(guò)SAS判定△BCG≌△DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到∠BGC=∠DEC；(2)連接BD，解題關(guān)鍵是利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出BD=BE，從而找到BD=2，CE=BE-BC=2解答：解：(1)證明：∵四邊形ABCD、GCEF都是正方形，(2)連接BD分線(xiàn)的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握．(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母)；(2)證明：DC⊥BE．DAEB(2)根據(jù)(1)的結(jié)論和已知條件可以證明DC⊥BE．解答：證明：(1)∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，∵AC∠AD(2)∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°．又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°．OADAODOADOAB邊三角形CBEDAO(2)如圖8，ΔOAB固定不動(dòng)，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(ΔOAB和ΔOCD不能B重疊)，求∠AEB的大小.BCEAOAD∴△ABD≌△AEC．∴BD=CE．(2)由△ABD≌△AEC知∠B=∠E．而∠AGB=∠EGF，∴∠EFG=∠EAB=90°，∴BD⊥CE．計(jì)算題．分析：由于△BOC和△ABO都是等邊三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA，進(jìn)而求出∠BDA與∠CAD的大小及關(guān)系，則可求解∠AEB．解答：解：∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，ODDC=OC=OB=OA，∴△ACD≌△DBA，∴∠BDA=∠CAD．又∵∠BDA+∠OBD=∠BOA=60°，而∠ODB=∠OBD，∵∠AEB=∠BDA+∠CAD，∴∠AEB=60°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線(xiàn)段相等，求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．5、如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。FEAMBCADAFBEC考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF(SAS)可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解題．解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，GAEFSSS∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°答：∠EAF的角度為45°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠BAECAMCAFNEAG=10、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDE的面積考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：應(yīng)用題．分析：可延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．解答：解：延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，在Rt△ABC與Rt△AEF中，∵AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴Rt△ABC≌Rt△AEF(SAS)，ACAF，在△ACD與△AFD中，∵AC=AFCD=DFAD=ADE三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)EAFGAEBAEGAB∠BAE+∠DAFAFADAFBEC(1)如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)、DC分別交于點(diǎn)(2)將三角尺沿對(duì)角線(xiàn)平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，PE、PF之間是否還具有(2)中的數(shù)量關(guān)系？如果有，請(qǐng)說(shuō)明理由．如果沒(méi)有，那么點(diǎn)理由．如果沒(méi)有，那么點(diǎn)P在AC的什么位置時(shí)，PE、PF才具有(2)中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：幾何綜合題．分析：(1)證明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．(2)本題要借助輔助線(xiàn)的幫助．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．關(guān)系．解答：解：(1)如圖1，AE=AF．理由：證明△ABE≌△ADF(ASA)(2)如圖2，PE=PF．PE=PF．(3)PE、PF不具有(2)中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：幾何綜合題．分析：(1)證明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．從而證得中的數(shù)量(2)本題要借助輔助線(xiàn)的幫助．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．(3)PE、PF不具有(2)中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才具有(2)中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：(1)如圖1，AE=AF．理由：證明△ABE≌△ADF(ASA)(2)如圖2，PE=PF．理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，則PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF(ASA)，從而證得PE=PF．(3)PE、PF不具有(2)中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有(2)中的數(shù)量關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)以及全等三角形的例8．(2005年馬尾)用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.