二重積分及其計(jì)算

關(guān)于二重積分及其計(jì)算第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日8.1.1

二重積分的概念

1.曲頂柱體的體積

設(shè)有一立體，它的底是

面上的閉區(qū)域D，

它的側(cè)面是以

D的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)而母線(xiàn)平行于

z軸的柱面，它的頂是曲面

且在D上連續(xù).此立體稱(chēng)作曲頂柱體.

第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法.其步驟為用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日２．平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義8.1設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域1sD，L,2sD，nsD，其中isD表示第i個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)isD上任取一點(diǎn)),(iihx，作乘積

),(iifhxisD，),,2,1(niL=，并作和

將閉區(qū)域第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域D上的二重積分,記為即積分號(hào)被積函數(shù)積分區(qū)域積分和面積元素積分變量被積表達(dá)式第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日二重積分定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：(2)用平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，則面積元素為故二重積分可寫(xiě)為第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日二重積分的幾何意義如果被積函數(shù)是大于零的，二重積分是柱體的體積.如果被積函數(shù)是小于零的，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．如果被積函數(shù)是時(shí)正時(shí)負(fù)的,二重積分是所有柱體體積的代數(shù)和.曲頂柱體的體積平面薄片的質(zhì)量第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日性質(zhì)１性質(zhì)２（二重積分與定積分有類(lèi)似的性質(zhì)）當(dāng)為常數(shù)時(shí)，對(duì)積分區(qū)域具有可加性8.1.2

二重積分的基本性質(zhì)第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日性質(zhì)３性質(zhì)４若為D的面積，若在D上特殊地，因?yàn)閯t有于是第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日性質(zhì)５

設(shè)M、m分別是),(yxf在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，AD的面積，則為證明由性質(zhì)4及性質(zhì)1和性質(zhì)3，有第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域D上連續(xù)，A為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)),(hx使得性質(zhì)6證明由性質(zhì)5，有再根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

練習(xí)1判斷

練習(xí)2估計(jì)積分的值，其中的符號(hào).`是第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日8.1.3

二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).假定，積分區(qū)域?yàn)榈谑捻?yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法計(jì)算。表示以閉區(qū)域D為底，z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。過(guò)x作平行于yoz面的平面截曲頂柱體。得一個(gè)以區(qū)間曲線(xiàn)z=f(x,y)為曲邊的曲邊梯形。為底、ab第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日故其面積從而得曲頂柱體的體積為簡(jiǎn)記ab第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果積分區(qū)域?yàn)椋荷鲜綖橄壬鲜綖橄鹊亩畏e分，積分區(qū)間后的二次積分，積分區(qū)間后第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).記為

Y-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).記為若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.D3D2D1Oyx第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日如果積分區(qū)域既是X-型的，又是Y-型的，則特別則有公式第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日計(jì)算的一般步驟：的草圖，觀察是1先畫(huà)出積分區(qū)域或或是混合型區(qū)域，并確定其邊界函數(shù)表達(dá)式2.根據(jù)區(qū)域的類(lèi)型和被積函數(shù)的特點(diǎn)，選擇積分次序.不妨假設(shè)積分區(qū)域是先對(duì)積分，而后對(duì)積分.故的積分區(qū)間是為確定的積分限，自?xún)?nèi)任取一點(diǎn)作垂直于第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日軸的直線(xiàn)交區(qū)域的邊界于兩點(diǎn)（自下向上）.這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)（與有關(guān)）分別作為積分變量的積分下限和積分上限.如果是區(qū)域，可以類(lèi)似處理。計(jì)算二重積分的簡(jiǎn)算法（1）

若有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是關(guān)于（或者）的奇函數(shù)，而區(qū)域關(guān)于軸（或者軸）對(duì)稱(chēng)，則第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日.的上）半?yún)^(qū)域.

（2）若有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是關(guān)于（或者）的偶函數(shù)，而區(qū)域關(guān)于軸（或者軸）對(duì)稱(chēng)，則是區(qū)域（或的右（3）若有界閉區(qū)域關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，上的連續(xù)函數(shù)，則是第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日證明只對(duì)（1）來(lái)證明.設(shè)的奇函數(shù)，即是關(guān)于由題意不妨設(shè)對(duì)第一項(xiàng)積分：令變換，則代入原式，知

第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1計(jì)算二重積分.其中是由直線(xiàn)與

軸所圍成的區(qū)域：解積分區(qū)域如圖所示.看成X-型區(qū)域，即區(qū)域，于是

第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日看成Y-型區(qū)域，即也可將區(qū)域，于是

(2)按先的次序積分，后原式

也可按先后的次序，原式計(jì)算起來(lái)比較麻煩。第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例2計(jì)算解這個(gè)二次積分的次序是先后，但是的原函數(shù)不能用的初等函數(shù)表達(dá)，于是要先交換積分次序.此時(shí)積分區(qū)域?yàn)樗栽?/p>

第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日所圍成。

例3計(jì)算其中是由解積分區(qū)域如圖所示，按先后的次序，則原式

但若按先后的次序，原式

第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4計(jì)算.其中是由及

軸所圍成.解積分區(qū)域如圖所示，則

（1）

（2）選用（2）式計(jì)算，于是

考慮到的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)，應(yīng)D第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

顧被積函數(shù)的原函數(shù)是否易求，有時(shí)甚至需要交說(shuō)明：對(duì)區(qū)域選擇積分次序時(shí)，要同時(shí)兼換原來(lái)的積分次序。第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例5若區(qū)域

是由直線(xiàn)

及軸所圍成的區(qū)域，計(jì)算

解顯然區(qū)域關(guān)于軸是對(duì)稱(chēng)的，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，故第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日例6求以為曲頂，矩形區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積。解由二重積分幾何意義知曲頂柱體的體積

第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日練習(xí)5求橢圓拋物面與平面所圍立體體積。練習(xí)3

計(jì)算其中是由直和所圍成的閉區(qū)域。練習(xí)4

計(jì)算所圍成的閉區(qū)域。

其中是由拋物線(xiàn)線(xiàn)及直線(xiàn)第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解當(dāng)

練習(xí)1判斷故

又當(dāng)

時(shí),

于是

的符號(hào).時(shí)，第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

練習(xí)2估計(jì)積分的值，其中D是解在的最小值為最大值為而的面積為于是內(nèi)，第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解積分區(qū)域D

既是X-型，又是Y-

型的，化為先y后x

的積分.練習(xí)3

計(jì)算其中是由直和所圍成的閉區(qū)域。線(xiàn)第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日化為先可見(jiàn)關(guān)于的積分計(jì)算比較麻煩.的積分.后第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日解積分區(qū)域既是型，又是型的，化為先后的積分.練習(xí)4

計(jì)算所圍成的閉區(qū)域。

其中是由拋物線(xiàn)及直線(xiàn)第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日若化