三角函數(shù)性質(zhì)

關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)第一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【知識(shí)梳理】1.三個(gè)基本三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ+,k∈Z}第二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx值域[-1,1][-1,1]R函數(shù)的最值最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)____________最小值-1,當(dāng)且僅當(dāng)____________最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)______________最小值-1,當(dāng)且僅當(dāng)_______________無(wú)最大值和最小值x=2kπ,k∈Zx=2kπ-π,k∈Z第三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx單調(diào)性增區(qū)間__________________減區(qū)間__________________增區(qū)間___________________________減區(qū)間_________________________增區(qū)間________________

[k·2π-π,k·2π](k∈Z)[k·2π,k·2π+π](k∈Z)第四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性周期為2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期為_(kāi)___周期為2kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期為_(kāi)___周期為kπ,k≠0,k∈Z,最小正周期為_(kāi)__2π2ππ第五頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心_________________________________________對(duì)稱(chēng)軸______________________無(wú)對(duì)稱(chēng)軸零點(diǎn)kπ,k∈Zkπ+,k∈Zkπ,k∈Z(kπ,0),k∈Zx=kπ,k∈Zk∈Z第六頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.周期函數(shù)(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)__________,使得當(dāng)x取_______內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),__________叫做這個(gè)函數(shù)的周期.非零常數(shù)T定義域非零常數(shù)T第七頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)___________,那么這個(gè)_________就叫做f(x)的最小正周期.最小的正數(shù)最小正數(shù)第八頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【特別提醒】1.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期之間的幾個(gè)關(guān)系(1)正弦曲線和余弦曲線相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸之間距離的2倍是一個(gè)周期.(2)正弦曲線和余弦曲線相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間距離的2倍是一個(gè)周期.第九頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)正弦曲線和余弦曲線相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間距離的4倍是一個(gè)周期.(4)正切曲線相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間距離的2倍是一個(gè)周期.第十頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.正切函數(shù)的單調(diào)性

y=tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),應(yīng)在每個(gè)區(qū)間(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).第十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【小題快練】鏈接教材練一練1.(必修4P40練習(xí)T3(2)改編)函數(shù)f(x)=4-的最小值是

,取得最小值時(shí),x的取值集合為

.第十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】f(x)min=4-2=2,此時(shí),=2kπ(k∈Z),x=6kπ(k∈Z),所以x的取值集合為{x|x=6kπ,k∈Z}答案:2

{x|x=6kπ,k∈Z}第十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.(必修4P47習(xí)題1.4B組T2改編)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間為

.第十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】因?yàn)閥=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z),y=-tanx的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z),所以(k∈Z),解得

(k∈Z),所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).答案:(k∈Z)第十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六感悟考題試一試3.(2014·陜西高考)函數(shù)f(x)=的最小正周期是(

)A.B.πC.2πD.4π【解析】選B.由題意得:T==π.第十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六4.(2016·煙臺(tái)模擬)函數(shù)y=sin(-x)的圖象(

)A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)第十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】選B.因?yàn)閥=sin(-x)=cosx,又因?yàn)閏os(-x)=cosx,為偶函數(shù),所以根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).第十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.(2016·菏澤模擬)函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最小值是

.第十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】設(shè)sinx-cosx=t,因?yàn)閤∈[0,π],所以所以t∈[-1,],sinxcosx=所以當(dāng)t=-1時(shí),ymin=-1.答案:-1第二十頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六考向一三角函數(shù)的定義域及簡(jiǎn)單的三角方程或不等式【典例1】(1)(2016·青島模擬)定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)y=6cosx的圖象與y=5tanx的圖象的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1,直線PP1與y=sinx的圖象交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為

.第二十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)滿足cosx≥,且x∈[0,2π]的x的集合為

.(3)函數(shù)f(x)=+log2(2sinx-1)的定義域是

.第二十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)圖象的意義及同角關(guān)系,列出關(guān)于sinx的方程,求解.(2)根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得不等式的解集為x∈,k∈Z,結(jié)合函數(shù)的定義域即可得到答案.(3)根據(jù)表達(dá)式有意義,列出不等式組求解.第二十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)由題意得線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值,且其中的x滿足6cosx=5tanx,即6cosx=5,所以6cos2x=5sinx,即6sin2x+5sinx-6=0,解得sinx=,或sinx=-(舍).所以線段P1P2的長(zhǎng)為.答案:第二十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)因?yàn)閏osx≥,所以又因?yàn)閤∈[0,2π],所以x的集合為答案:

第二十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)由題意,得由①得-8≤x≤8,由②得sinx>,由正弦曲線得所以不等式組的解集為答案:

第二十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【母題變式】1.若本例題(3)中函數(shù)改為f(x)=,求其定義域.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=,所以cosx≠1,所以x≠2kπ,k∈Z,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ,k∈Z}.

第二十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.在本例題(3)中函數(shù)改為求其定義域.【解析】由由余弦曲線得所以函數(shù)的定義域?yàn)榈诙隧?yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)律方法】1.三角函數(shù)方程、不等式的求解策略(1)由同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx或cosx的方程、不等式.(2)用換元法求出sinx或cosx的值或范圍.第二十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)根據(jù)正弦曲線、余弦曲線求出相對(duì)應(yīng)的x的值或范圍.(4)解不等式時(shí)可以先求出區(qū)間長(zhǎng)度為一個(gè)周期上的范圍,再加上周期.第三十頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.第三十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六易錯(cuò)提醒:(1)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形時(shí),盡量等價(jià)變形,注意不要產(chǎn)生增解,也不要丟掉方程的解.(2)注意sinx或cosx的值域是[-1,1],換元后新變量的范圍為[-1,1].(3)解不等式時(shí)要注意周期,不可以忽略.第三十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【變式訓(xùn)練】(2016·濟(jì)南模擬)設(shè)條件p:

條件q:cos<0,則p是q的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件第三十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】選C.由??所以p是q的充分必要條件.第三十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【加固訓(xùn)練】

1.(2016·長(zhǎng)春模擬)已知集合E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tanθ<sinθ},那么E∩F為區(qū)間(

)第三十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】選A.由sinθ,cosθ,tanθ的圖象,得集合

第三十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.若sin2x>cos2x,則x的取值范圍是(

)第三十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】選D.由題意可知cos2x<0,

所以

所以

第三十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六3.在△ABC中,則A的大小為

.【解析】由已知得A為銳角.

兩邊平方,2sin2A=3cosA,

設(shè)t=cosA,則2t2+3t-2=0,

解得t=或t=-2(舍),所以cosA=,A=60°.

答案:60°第三十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六4.函數(shù)y=+lgcosx的定義域?yàn)?/p>

.【解析】由

得

所以函數(shù)的定義域?yàn)榇鸢?

第四十頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六考向二三角函數(shù)的值域和最值【典例2】(1)函數(shù)y=-2sinx-1,x∈的值域是(

)A.[-3,1]B.[-2,1]C.(-3,1]D.(-2,1]第四十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)(2016·聊城模擬)函數(shù)y=cos2x-2sinx的最大值與最小值分別為(

)A.3,-1B.3,-2C.2,-1D.2,-2【解題導(dǎo)引】(1)弄清角x的取值范圍,結(jié)合正弦曲線求解.(2)換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.第四十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)選D.由正弦曲線知y=sinx在上,-1≤sinx<,所以函數(shù)y=-2sinx-1,x∈的值域是(-2,1].第四十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)選D.y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,則t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=2,ymin=-2.第四十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)律方法】三角函數(shù)最值或值域的三種求法(1)直接法:利用sinx,cosx的值域.(2)化一法:化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,確定ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域.(3)換元法:把sinx或cosx看作一個(gè)整體,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求在給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題.第四十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為(

)A.2-B.0C.-1D.-1-第四十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】選A.因?yàn)?≤x≤9,所以所以所以所以ymax+ymin=第四十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【加固訓(xùn)練】

1.(2016·南昌模擬)函數(shù)y=sin2x+sinx-1的值域?yàn)?

)第四十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】選C.換元,設(shè)t=sinx,則y=t2+t-1(-1≤t≤1),所以值域?yàn)榈谒氖彭?yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.(2016·青島模擬)函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

.【解析】由y=,得cosx=

因?yàn)?1≤cosx≤1,所以-1≤≤1,

解得≤y≤6.因此,原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

答案:第五十頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【一題多解】本題還可如下求解:

因?yàn)?1≤cosx≤1,所以1≤2-cosx≤3.

即原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

答案:第五十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六考向三三角函數(shù)的性質(zhì)【考情快遞】

命題方向命題視角三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性問(wèn)題主要考查根據(jù)奇偶性、周期性的概念判斷函數(shù)奇偶性,求函數(shù)的周期或已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值,屬容易題三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題主要考查根據(jù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間,或知道單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍等問(wèn)題,屬中檔題第五十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【考題例析】命題方向1:三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性問(wèn)題【典例3】(1)(2016·淄博模擬)若函數(shù)y=sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù),則φ=

(

)第五十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)(2016·濰坊模擬)下列函數(shù)中,最小正周期為π,且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)的是(

)第五十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題導(dǎo)引】(1)利用偶函數(shù)的定義求解.(2)將x=代入各個(gè)關(guān)系式,看看能否取到最值即可.第五十五頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)選C.觀察選項(xiàng),當(dāng)φ=π時(shí),等式恒成立.(2)選B.因?yàn)閥=f(x)的最小正周期為π,可排除D;其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),所以A中,故A不滿足;第五十六頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)于B,滿足題意;對(duì)于C,故C不滿足.第五十七頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六命題方向2:三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題【典例4】(1)(2016·濟(jì)南模擬)若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則ω等于(

)第五十八頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)(2016·銀川模擬)函數(shù)f(x)=的單調(diào)減區(qū)間為

.第五十九頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式求解.(2)先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)正弦函數(shù)的減區(qū)間解不等式求解.第六十頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)選B.因?yàn)閒(x)=sinωx(ω>0)過(guò)原點(diǎn),所以當(dāng)y=sinωx是增函數(shù);當(dāng)y=sinωx是減函數(shù).由f(x)=sinωx(ω>0)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減知,第六十一頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)由已知函數(shù)為欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,只需求的單調(diào)增區(qū)間.由得故所給函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為答案:

第六十二頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六【技法感悟】1.三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期問(wèn)題的解題思路(1)奇偶性的判斷方法:由正、余弦函數(shù)的奇偶性可判斷出y=Asinωx和y=Acosωx分別為奇函數(shù)和偶函數(shù).第六十三頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)周期的計(jì)算方法:利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期為,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期為求解.(3)解決對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題的關(guān)鍵:熟練掌握三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心.第六十四頁(yè)，共七十四頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的解題方法(1)求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法①代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t),利用基