因式分解之公式法2

8因式分解之式法8一、學習指導1、代數(shù)中常用的乘法公式有：平方差公式(a+b)(a－＝－b完全平方公式：＝±2ab+b2、因式分解的公式：將上述乘法公式反過來得到的關于因式公解的公式來分解因式的方法，主要有以下三個公式：平方差公式a－＝－b)完全平方公式：a±2ab+b＝(a±b)3、用公式來分解因式的關鍵要弄清各個公式的形式和特點，也就是要從它們的項數(shù)系數(shù)，符號等方面掌握它們的特征。明確公式中字母可以表示任何數(shù)，單項式或多項式。③同時對相似的公式避免發(fā)生混淆，只有牢記公式，才能靈活運用公式。④運用公式法進行因式分解有一定的局限性，只符合其公式特點的多項式才能用公式法來分解。二、例題分析：例1：分解因式）－9b(2)25ay+16b解）－9b＝(2a)－(3b)＝(2a+3b)(2a－3b)解）－25ay+16b＝16b－y＝(4b)－(5ay)＝(4b+5ay)(4b－5ay)注：要先將原式寫成公式左邊的形式，寫4b)－(5ay例2:分解因式）36bx－y（）(x+2y)－－2y)（）－（）－(2a+3b)分析）二項式有公因式9應先提取公因式，再對剩余因式進行分解，符合平方差公式題兩項式符合平方差公式x+2y和x2y分別為公式中的a和題也是兩項式和y公式中的a和b）題也是兩項式3a+2b和2a+3b是平方差公式中的和b。解）x－y＝9(4bx－y)＝9[(2bx)－y)]＝9(2bx+cy)(2bx－y)注：解題的第二步寫成公式的左邊形式一定不要丟。（）(x+2y)－－＝[(x+2y)+(x－2y)][(x+2y)－(x2y)]＝(x+2y+x－2y)(x+2y－x+2y)＝(2x)(4y)＝注：此例可以用乘法公式展開，再經過合并同類項得到8xy由本例的分解過程可知，因式分解在某些情況下可以簡化乘法與加減法的混合運算。（）x＝(9x)－)＝(9x+y)(9x－)＝(9x+y)[(3x)－)]＝(9x+y)[(3x+y)(3x－)]＝(9x+y)(3x+y)(3x－)注第一次應用平方差公式后的二個因式9xy還以再用平方差公式分解②－內不能分解了，因為3不化成有理數(shù)平方的形式。（）(3a+2b)－(2a+3b)＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)(2a+3b)]＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b－2a－3b)＝(5a+5b)(a－＝5(a+b)(a－

在有理數(shù)范圍

1mmm注：(5a+5b)這個因式里還有5可再1mmm例3、分解因式：(2m－－121(m+n)－4(m+n)+25(m－2n)分析）的第二項應寫成11(m+n)]就以平方差公式分解2m－11(m+n)為公式中的和b，（）中將這二項先利用加法交換律后再將每一項寫成平方形式就找到公式中的a和b分別5(m2n)和2(m+n)，再應用平方差公式解。解）－n)－121(m+n)＝(2m－－[11(m+n)]＝[(2m－n)+11(m+n)][(2m－n)11(m+n)]＝(2m－n+11m+11n)(2m－－－11n)＝(13m+10n)(－－＝－3(13m+10n)(3m+4n)注：（－－12n）項應提取公因式3（）4(m+n)+25(m－＝－2n)－4(m+n)＝－2n)]－[2(m+n)]＝－2n)+2(m+n)][5(m－－2(m+n)]＝(5m－10n+2m+2n)(5m－－－2n)＝(7m－8n)(3m－12n)＝－8n)(m－注：利用平方差分解后的兩個因式要進行整式的四則運算，并要注意運算時去括號法則的應用例如－2(m+n)＝－2m≠2m+2n例4.分解因式(1)a(3)－16

b－ab(2)a(m+n)－(m+n)分析：這三道題都有公因式，應先提取公因式再應用平方差公式。注意要分解到不能分解為止解）b－＝ab(a－＝ab(a+1)(a－1)＝ab(a－1)注：a+1在理數(shù)范圍不能分解a－可以解。（）(m+n)－(m+n)＝(m+n)(a－)＝(m+n)(a+b)(a－)＝(m+n)(a+b－（）

mm＝－(a－16)＝－

m

(a+4)(a－4)注：提取分數(shù)公因式－便后面用公式法分解。例5、計算1.2222×9－1.3333×4分析:這是數(shù)字的計算問題，若運算順序一步步做很繁，我們認真觀察，尋求簡便算法，發(fā)現(xiàn)題中的兩項，每一項都可以寫成一個數(shù)的完全平方，再可以用平方差公式進行因式分解，這樣可以使計簡化。解：1.2222×9－1.3333×4－(1.3333×2)＝(1.2222×3+1.3333×2)(1.2222×3－1.3333×2)＝(3.6666+2.6666)(3.6666－＝6.3332×1＝6.3332例6、若2－1)可以被60和70之的兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)。分析：首先應分析2－的特殊式為平方差，由題意2－能被個數(shù)整除說明2－能解哪兩個數(shù)與其它因式的積，并將2－行因式分解。并注意這兩個整數(shù)的取值范圍是大于60且小70

解：2－＝)－＝+1)(2－＝+1)(2+1)(2－＝+1)(2+1)(2+1)(2－1)2+1＝為數(shù)2－＝為數(shù)2+1和+1都整數(shù)265

＝(2+1)(2+1)(2－為數(shù)

＝(2+1)(2+1)(2+1)也為整數(shù)。2－被60和70之的兩個數(shù)整除，這兩個數(shù)為65和63說明：此題雖然題目中沒有因式分解的要求，但是－1是式分解的平方差公式的基本形式。將其進行等價轉化，逐步地運用平方差公式，直到出現(xiàn)+1因式，+1＝，及出現(xiàn)2－＝。因為2+1＝，2－＝，兩個數(shù)已經不符合本題的要求了。例9、分解因式）+6ax+9a（）－－4y+4xy（）（－）+6（a－）（）的x＝x，＝3a，且這兩項的符號相同，可寫成平方和。這樣x和3a就為式中的a和b了另外正是2x）公式中的2ab，這樣這題就可用和的完全平方公式分解。解）+6ax+9a＝（）+2（x）（）＝（x+3a）注：再寫第一步的三個項的和時實際上先寫x和3a

項，再寫固定的“2”常數(shù)再將式中的b數(shù)即x和3a寫二個括號內；計算出來為6ax即原題中的中間項。分析題中的x－，兩項符號相同，提取負號后可寫成平方和，即－＝－[x（2y）

]4xy正是（）公中的2ab，此題可用完全平方公式。注意提取負號時4要變?yōu)椋?xy。解）－x－+4xy＝－（－4xy+4y）＝－[x－（）（）]＝－（－2y）分析）（－）+1可成平方[a]+1，就找到公式中的a和b項3（－）和1，6（－）好是2×3（－）×1為公中的2ab項，合完全平方公式。解）（－）+6（－）＝[3（－）+2×3（－）×1+1＝[3（－）+1]

＝（3a－3b+1）

例10、分解因式）ax－y+4xy（）－（x+y）z+36z（+4x+8x+4x+16（）

12

（－）－2（－）+2y分析）有公因式x

先提取出來，剩余因式a－y+4y）正好（a－2y解）x－xy+4xy＝（－y+4y）＝[（a）－2（）]＝（－）分析）中可將（）作個整體，那么這個多項式就相當于x+y）二次三項式，并且降冪排列，公式中的a和b分為x+y和6z間項為－（x+y好合完全平方公式。解）－12（x+y）z+36z＝（x+y）－（x+y）（）＝（x+y－6z）

注：此題中的多項式，切不可用乘法公式展開后再分解，而要注意觀察、分析，根據(jù)多項式本身形式特點，善于將多項式中的某一項（或一部分）作為整體與因式分解公式中的字母對應起來。此題中將（x+y）換完全平方公式中的a6z換公中的。

解+4x）+8（x+4x）＝（x+4x）+2（+4x＝(x+4x+4)＝（x+2）＝x+2）解：（－）－（－）+2y＝[（x－）－（－y+4y]＝[（x－）－（－）（]＝（－－2y）＝（－）＝[（x+2y－）＝（x+2y）（－2y）例11、分解因式）9（－）+12a－）（a+b（）－6a+3（３）+a－（4+n+1－n分析）中的9（a－）＝（a－）]，4（a+b）＝（a+b）

而中間項12（a－）12（a+b－）＝2×3a）×2（a+b正好是公式中的2ab項解）（－）+12（－）+4a+ｂ）＝（－）+12（a+b－）+[2a+b＝（－）+2×3（－）×2（a+b+[2a+b＝（－）（）

＝（－3b+2a+2b）＝（－）

解）－6a+3＝（－2a+1）＝（－）＝（－）＝（）（－）解）+a－2a＝－+a＝（－2a+1）＝（－）解+n－）－n＝（m+n－1+2mn+n－－）＝[(m+2mn+n）1][（－）－＝（m+n）－][（－）－]＝（m+n+1－－n+1－－1）例12：分解因式－－1）+4mn.解－－）+4mn＝（mn－－+1）＝（mn+1）－（+m）+4mn＝（mn+2mn+1）－（－2mn+n）＝（mn+1）－（－）＝（mn+1+m－mn+1－m+n）在線測試A組選擇題。1、下列各式從左到右的變形錯的是（

(A)(y－＝(x－(B)－－＝－(a+b)(C)(a－＝－(b－(D)－＝－(m+n)2、下列各式是完全平方式的是（）+2xy+4y（）25a（）p+pq+q（）2mn+3、(x+y)+6(x+y)+9的解結果

14

n（－（(x+y+3)2（－y+3)2（－－3)4、－1+0.09x分因的結果是（（1+0.3x）（）1)(C)不能進行（）(0.09x+1)(0.09x－1).5、49a－112ab+64b

因式分解為（）（）－8b)2（）(7a－8b（）－8b)（）(7a+8b)B．因式分解1.

)

2

a)2.

a

n

n3.

4

b3b5.

x

2

2

6.7.8、

x22)bc)xx9、

(

2)mna

)10、

a

4a2b211、12、

(x(xxx4)13、

(x

2xx2

x答案：、2、3、B．、B5、8.2運公式法考題例析1貴陽市）因式分解x－＝.考點：公式法因式分解評析要確使用公式注先多項式轉化為公式并分解x－＝－(2y)＝(x+2y)(x－2y)2.（1999福）－xy＝________.考點：提公因式法和運用公式法分解因式評析思路：先觀察多項式的特征，主要看它的項數(shù)、次數(shù)，然后嘗試選擇因式分解的方法，此根據(jù)題目的特點，首先要采用提公因式法，然后利用公式法進行最后分解。32000長市）分解因式：+2ma+m.

552222考點：提公因式，公式法分解因式。552222評析：對于三項式的因式分解，首先觀察有無公因式，提出公因式后，再觀察是否符合完全平方式或十字相乘法，直至不能再分解為止。4年河省）分解因：

xyy

3

＝_____________________。52001北市東城區(qū)）分解式2ab+8ab+8ab＝；6.(1998遼)方2x(x－＝5(x3)的根為（）Ax＝；Bx＝；Cx3，x＝；D＝－真題實戰(zhàn)

521蘇市）分解因式：－4ma+4m。2揚市）分解因式：

x

。3石莊市）等式a成的件是。4山省）下列各式中正確的是（）A．+2ab+4b＝(a+2b)

B．(0.1)+(0.1)

1110C．

ac

D．a+