2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-12.3.2.1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1課時作業(yè)：2.3.2.1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)含解析第二章2.32.3.2請同學(xué)們認(rèn)真完成練案[15]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(安徽安慶市2019－2020學(xué)年高二調(diào)研)“m＝1"是“雙曲線eq\f（x2，m)－eq\f（y2，3）＝1的離心率為2"的(C)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件［解析］∵雙曲線eq\f（x2，m）－eq\f(y2,3)＝1的離心率為2，∴a2＝m〉0，b2＝3?！遝＝eq\f（c，a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2）)＝eq\r（1＋\f（3,m））＝2,∴m＝1.∴“m＝1”是“雙曲線eq\f（x2，m）－eq\f（y2,3)＝1的離心率為2"的充要條件．故選C．2．(2018·全國卷Ⅱ理，5）雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0）的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為(A)A．y＝±eq\r(2）x B．y＝±eq\r(3）xC．y＝±eq\f（\r(2)，2）x D．y＝±eq\f（\r(3)，2）x[解析]雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，b2)＝1的漸近線方程為bx±ay＝0.又∵離心率eq\f（c，a)＝eq\f(\r（a2＋b2)，a）＝eq\r(3),∴a2＋b2＝3a2.∴b＝eq\r(2）a（a>0，b>0）．∴漸近線方程為eq\r(2）ax±ay＝0，即y＝±eq\r（2)x。故選A．3．已知雙曲線eq\f(x2,4）－eq\f（y2,b2）＝1（b〉0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點,四邊形的ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為（D)A．eq\f（x2，4)－eq\f（3y2,4）＝1 B．eq\f（x2,4）－eq\f（4y2，3）＝1C．eq\f（x2，4)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2，12)＝1[解析］根據(jù)圓和雙曲線的對稱性,可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b，2)x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設(shè)交點A在第一象限，由y＝eq\f（b，2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq\f（4,\r(4＋b2）），yA＝eq\f（2b，\r(4＋b2）)，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝eq\f（32b，4＋b2）＝2b，解得b2＝12,故所求的雙曲線方程為eq\f(x2，4）－eq\f（y2,12）＝1，故選D．4．過雙曲線x2－eq\f(y2，3）＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點，則｜AB|＝（D)A．eq\f(4\r（3）,3） B．2eq\r(3)C．6 D．4eq\r(3）［解析］雙曲線的右焦點為F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為x2－eq\f(y2，3)＝0，將x＝2代入x2－eq\f(y2,3）＝0得:y2＝12,y＝±2eq\r（3），∴｜AB|＝4eq\r（3)。選D．5．已知雙曲線以△ABC的頂點B,C為焦點，且經(jīng)過點A,若△ABC內(nèi)角的對邊分別為a，b，c.且a＝4,b＝5，c＝eq\r（21），則此雙曲線的離心率為（C)A．5－eq\r（21) B．eq\f（\r（21)＋5，2)C．5＋eq\r（21) D．eq\f（5－\r（21),2）［解析］由題意，2c′＝4，2a′＝5－eq\r（21），∴e＝eq\f（4,5－\r（21））＝5＋eq\r(21）。故選C．6．已知a〉b〉0，橢圓C1的方程為eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2），則C2的漸近線方程為（A)A．x±eq\r（2)y＝0 B．eq\r(2）x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0［解析]eeq\o\al（2，1)＝eq\f(c\o\al(2,1），a2）＝eq\f（a2－b2，a2），eeq\o\al（2，2)＝eq\f（c\o\al（2,2）,a2）＝eq\f(a2＋b2,a2)，∴eeq\o\al(2，1）·eeq\o\al（2,2)＝eq\f（a4－b4，a4）＝1－(eq\f(b,a））4＝eq\f（3，4）,∴eq\f(b,a）＝eq\f(\r(2)，2)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x。二、填空題7．已知雙曲線過點（4，eq\r(3）)，且漸近線方程為y＝±eq\f(1，2）x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__eq\f（x2,4)－y2＝1__.[解析］根據(jù)雙曲線漸近線方程為y＝±eq\f（1,2)x,可設(shè)雙曲線的方程eq\f（x2,4）－y2＝m,把（4，eq\r(3)）代入eq\f（x2,4)－y2＝m得m＝1。所以雙曲線的方程為eq\f（x2，4)－y2＝1.8．（2019－2020學(xué)年房山區(qū)期末檢測)以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題：①設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù),若|eq\o(PA，\s\up6（→））|－｜eq\o(PB,\s\up6（→）)｜＝k，則動點P的軌跡為雙曲線；②方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③雙曲線eq\f(x2，25）－eq\f(y2，9)＝1與橢圓eq\f(x2,35)＋y2＝1有相同的焦點．其中真命題的序號為__②③__（寫出所有真命題的序號)．［解析］①平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)k(k＜|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線,當(dāng)0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支,當(dāng)k＝｜AB｜時，表示射線，∴①②方程2x2－5x＋2＝0的兩根是2和eq\f（1，2），2可作為雙曲線的離心率，eq\f（1,2)可作為橢圓的離心率，②正確；③雙曲線eq\f（x2,25)－eq\f（y2,9）＝1與橢圓eq\f（x2，35)＋y2＝1的焦點都是（±eq\r（34），0)，有相同的焦點，③正確；故答案為②③.三、解答題9．雙曲線與圓x2＋y2＝17有公共點A(4，－1），圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．［解析]∵點A與圓心O連線的斜率為－eq\f（1,4)，∴過A的切線的斜率為4?！嚯p曲線的漸近線方程為y＝±4x.設(shè)雙曲線方程為x2－eq\f(y2,16）＝λ.∵點A（4，－1）在雙曲線上,∴16－eq\f（1，16)＝λ，λ＝eq\f(255，16)。∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f（255,16))－eq\f(y2，255）＝1.10．設(shè)雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(0〈a<b）的半焦距為c,直線l過(a,0）、（0,b）兩點，且原點到直線l的距離為eq\f（\r(3)，4)c，求雙曲線的離心率．［解析]由l過兩點（a，0）、(0，b），得l的方程為bx＋ay－ab＝0。由原點到l的距離為eq\f（\r（3），4）c得，eq\f(ab，\r（a2＋b2））＝eq\f（\r（3),4）c.將b＝eq\r(c2－a2)代入平方后整理得，16(eq\f(a2,c2）)2－16·eq\f（a2,c2)＋3＝0。解關(guān)于eq\f（a2,c2）的一元二次方程得eq\f（a2，c2）＝eq\f（3,4)或eq\f（1,4）.∵e＝eq\f（c,a）,∴e＝eq\f（2\r(3），3）或e＝2.因0<a〈b，故e＝eq\f（c，a)＝eq\f(\r（a2＋b2），a）＝eq\r（1＋\f(b2，a2））>eq\r(2）,所以應(yīng)舍去e＝eq\f(2\r（3）,3)，故所求離心率e＝2.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．（多選題)雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1，2）x，則離心率為(BC)A．eq\f(\r（6）,2） B．eq\f（\r(5)，2)C．eq\r（5） D．eq\r（3）［解析］當(dāng)焦點在x軸上時,eq\f(b，a）＝eq\f（1，2），∴e＝eq\f(c，a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2）)＝eq\f（\r(5）,2），當(dāng)焦點在y軸上時，eq\f（a,b)＝eq\f（1，2），∴e＝eq\f(c，a）＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r（5),故選BC．2．(2019－2020學(xué)年遼寧葫蘆島協(xié)作校考試）雙曲線eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F（4,0），點A的坐標(biāo)為（0,3）,點P為雙曲線左支上的動點,且|PA｜＋｜PF｜的最小值為9，則該雙曲線的離心率是（C)A．eq\r(2) B．eq\r(3）C．2 D．3[解析]設(shè)雙曲線左焦點為Q（－4，0)，則由雙曲線的定義有｜PA|＋｜PF｜＝｜PA|＋2a＋｜PQ｜≥|AQ｜＋2a＝9.當(dāng)且僅當(dāng)P，A，Q此時|AQ｜＝eq\r（32＋42）＝5.故5＋2a＝9?a＝2。又c＝4.故離心率e＝eq\f(4，2）＝2.故選C．3．（2020·河南洛陽市高二期末）已知雙曲線C：eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a〉0,b>0)，過左焦點F1的直線切圓x2＋y2＝a2于點P，交雙曲線C右支于點Q,若eq\o（F1P，\s\up6(→）)＝eq\o(PQ,\s\up6（→）)，則雙曲線C的漸近線方程為（B）A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\f（\r（3),2）x［解析]∵過雙曲線C：eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a〉0，b>0），左焦點F1引圓x2＋y2＝a2的切線，切點為P，∴|OP|＝a，設(shè)雙曲線的右焦點為F′,∵P為線段FQ的中點，∴｜QF′|＝2a,｜QF1｜＝2b由雙曲線的定義知：2b－2a＝2∴b＝2a∴雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a〉0,b>0）的漸近線方程為bx±ay＝0，即2ax±ay＝0,∴2x±y＝0.故選B．4．(多選題)雙曲線eq\f（x2，9)－eq\f（y2，16）＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是（BC）A．該雙曲線的離心率為eq\f（5，4）B．該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4，3)xC．點P到兩漸近線的距離的乘積為eq\f（144，25)D．若PF1⊥PF2，則△PF1F2［解析］∵eq\f（x2,9)－eq\f（y2,16）＝1，∴a＝3,b＝4，c＝5，∴e＝eq\f（c，a）＝eq\f（5,3），故A錯誤；雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0，故B正確；設(shè)雙曲線上一點P(x0，y0）,∴eq\f(x\o\al（2,0)，9）－eq\f(y\o\al(2，0)，16)＝1，即16xeq\o\al(2，0)－9yeq\o\al(2，0)＝144，則點P到兩漸近線的距離的乘積為eq\f(｜4x0＋3y0｜,5）·eq\f（|4x0－3y0|，5）＝eq\f(｜16x\o\al（2，0)－9y\o\al（2,0)｜,25)＝eq\f(144,25)，故C正確;若PF1⊥PF2,則∠F1PF2＝90°，由焦點三角形面積公式S△PF1F2＝eq\f(b2，tan\f（∠F1PF2，2）)＝eq\f(16，tan45°)＝16，故D錯誤．綜上，正確的有BC．二、填空題5．(2020·北京卷，12）已知雙曲線C：eq\f（x2,6)－eq\f（y2,3）＝1，則C的右焦點的坐標(biāo)為__y＝±eq\f(\r(3）,6)x__，C的焦點到其漸近線的距離是__eq\r(3)__.[解析]雙曲線C:eq\f（x2，6)－eq\f（y2，3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，則C的右焦點的坐標(biāo)為（3,0),C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),6）x,即y＝±eq\f(1,\r（2）)x，即x±eq\r(2)y＝0,則C的焦點到其漸近線的距離d＝eq\f（3，\r(3））＝eq\r（3）。6．從雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2，16)＝1的左焦點F引圓x2＋y2＝9的切線，切點為T,延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點,O為坐標(biāo)原點，則｜MO|－|MT|＝__1__.［解析]設(shè)F2為橢圓右焦點，則｜OM｜＝eq\f（1,2)｜PF2｜，|PF｜－|PF2｜＝6?！逨T是⊙O的切線，∴｜FT｜＝4，∴|MT|＝|MF|－|FT｜＝eq\f（1，2）｜PF|－4，∴｜MO｜－｜MT｜＝eq\f（1，2）｜PF2｜－eq\f（1,2)|PF|＋4＝4－eq\f（1，2)(|PF|－｜PF2|）＝1。三、解答題7．若F1、F2是雙曲線eq\f（x2，9)－eq\f（y2，16)＝1的左、右兩個焦點,點P在雙曲線上,且｜PF1|·｜PF2｜＝32，求∠F1PF2的大?。劢馕觯萦呻p曲線的方程,知a＝3，b＝4，所以c＝5.由雙曲線的定義得，｜|PF1|－|PF2||＝2a上式兩邊平方得，|PF1|2＋｜PF2|2＝36＋2｜PF1|·｜PF2｜＝100，由余弦定理得,cos∠F1PF2＝eq\f（｜PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2，2|PF1|·|PF2｜）＝eq\f（100－100,2｜PF1|·|PF2｜)＝0,所以∠F1PF2＝90°.8．已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點F(－2，0）(1）求雙曲線方程；(2）設(shè)Q是雙曲線上一點,且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若｜eq\o(MQ,\s\up6（→））｜＝2|eq\o(QF，\s\up6（→))｜，求直線l的方程．［解析］（1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b〉0)，則有e＝eq\f（c，a)＝2,c＝2，∴a＝1,則b＝eq\r(3），∴所求的