激光原理與技術(shù)課件

激光原理與技術(shù)課件第一頁(yè)，共568頁(yè)。激光原理與技術(shù)第一部分激光原理部分第一章激光的基本原理第三章空心介質(zhì)波導(dǎo)與諧振腔第二章開(kāi)放式光腔與高斯光束第四章電磁場(chǎng)和物質(zhì)的共振相互作用第五章激光振蕩特性第六章激光放大特性第七章激光振蕩的半經(jīng)典理論第二部分激光技術(shù)部分第八章激光特性的控制與改善第九章激光器件第二頁(yè)，共568頁(yè)。第一章激光的基本原理1.1相干性的光子描述1.2光的受激輻射基本概念1.3光的受激輻射放大1.4光的自激振蕩1.5激光的特性第二章開(kāi)放式光腔與高斯光束2.1光腔理論的一般問(wèn)題2.2共軸球面的穩(wěn)定性條件2.3開(kāi)腔模式的物理概念和衍射理論分析方法2.4平行平面腔模的迭代解法2.5方形鏡共焦的自再現(xiàn)模2.6方形鏡共焦腔的行波場(chǎng)2.7圓形鏡共焦腔2.8一般穩(wěn)定球面腔模式特征2.9高斯光束的基本性質(zhì)及特征參數(shù)2.10高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律2.12高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔2.14非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型2.15非穩(wěn)腔的幾何放大率和自再現(xiàn)波型的能量損耗2.11高斯光束的聚焦和準(zhǔn)直2.13光束衍射倍率因子第三頁(yè)，共568頁(yè)。第三章空心介質(zhì)波導(dǎo)光諧振腔3.1空心波導(dǎo)光諧振腔的構(gòu)成和特征3.2空心圓柱波導(dǎo)管中的本征模3.3圓波導(dǎo)本征模的傳輸常數(shù)和損耗特性3.4空心矩形介質(zhì)波導(dǎo)管中的本征模3.5空心介質(zhì)波導(dǎo)光諧振腔的反饋耦合損耗第四章電磁場(chǎng)和物質(zhì)的共振相互作用4.1電介質(zhì)的極化4.2光和物質(zhì)相互作用的經(jīng)典理論簡(jiǎn)介4.3譜線加寬和線型函數(shù)4.4典型激光器的速率方程4.5均勻加寬工作物質(zhì)的增益系數(shù)4.6非均勻加寬工作物質(zhì)的增益系數(shù)4.7綜合均勻加寬工作物質(zhì)的增益系數(shù)第四頁(yè)，共568頁(yè)。第五章激光振蕩特性5.1激光器的振蕩閾值5.2激光器的振蕩模式5.3輸出功率和能量5.4弛豫振蕩5.5單模激光器的線寬極限第六章激光器的放大特性6.1激光放大器的分類 6.2均勻激勵(lì)連續(xù)激光放大器的增益特性6.3縱向光均勻激勵(lì)連續(xù)激光放大器的增益特性6.4脈沖激光放大器的增益特性5.6激光器的頻率牽引6.5放大的自發(fā)輻射（ASE）6.6光放大的噪聲第五頁(yè)，共568頁(yè)。第七章激光振蕩的半經(jīng)典理論7.1激光振蕩的自洽方程組7.2原子系統(tǒng)的電偶級(jí)距7.3密度距陣第八章激光器特性的控制和改善8.1模式選擇 8.2頻率穩(wěn)定8.3Q調(diào)制8.4注入鎖定8.5鎖模第六頁(yè)，共568頁(yè)。第九章激光器件9.1固體激光器9.2氣體激光器9.3半導(dǎo)體激光器9.4染料激光器第七頁(yè)，共568頁(yè)。

第一章激光的基本原理本章概激光器基本原理。討論的重點(diǎn)是光的相干性和光波模式的聯(lián)系、光的受激輻射以及光放大和振蕩的基本概念。1.1相干性的光子描述一、光子的基本性質(zhì)·光的量子學(xué)說(shuō)(光于說(shuō))認(rèn)為，光是一種以光速c運(yùn)動(dòng)的光子流。光子（電磁場(chǎng)量子）和其它基本粒子一樣，具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量等。它的粒子屬性(能量，動(dòng)量，質(zhì)量等)和波動(dòng)屬性(頻率、彼矢、偏振等)密切聯(lián)系，并可歸納如下：（1）光子的能量ε與光波頻率ν對(duì)應(yīng)

ε=hv（）式中h＝6.626×10-34J．s，稱為普朗克常數(shù)。（2）光子具有運(yùn)動(dòng)質(zhì)量m，并可表示為

光子的靜止質(zhì)量為零。（）第八頁(yè)，共568頁(yè)。（3）光子的動(dòng)量P與單色平面光波的波矢k對(duì)應(yīng)（）

n。為光子運(yùn)動(dòng)方向(平面光波傳播方向)上的單位矢量。4．光于具有兩種可能的獨(dú)立偏振狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于光波場(chǎng)的兩個(gè)獨(dú)立偏振方向。5．光于具有自旋，并且自旋量子數(shù)為整數(shù)。因此大量光于的集合，服從玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律。處于同一狀態(tài)的光子數(shù)目是沒(méi)有限制的，這是光子與其它服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布的粒子(電子、質(zhì)子、中子等)的重要區(qū)別。上述基本關(guān)系式(1.1.1)相(1.1.3)后來(lái)為康普頓(ArthurCompton)散射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)(1923年)，并在現(xiàn)代量子電動(dòng)力學(xué)中得到理論解釋。量子電動(dòng)力學(xué)從理論上把光的電磁(波動(dòng))理論和光子(微粒)理論在電磁場(chǎng)的量子化描述的基礎(chǔ)上統(tǒng)一起來(lái)，從而在理論上闡明了光的波粒二象性。在這種描述中，任意電磁場(chǎng)可看作是一系列單色平面電磁波(它們以波矢k為標(biāo)志)的線性疊加，

式中第九頁(yè)，共568頁(yè)。或一系列電磁被的本征模式(或本征狀態(tài))的疊加。但每個(gè)本征模式所具有的能量是量子化的，即可表為基元能量hv的整數(shù)倍。本征模式的動(dòng)量也可表為基元?jiǎng)恿縣k1的整數(shù)倍。這種具有基元能量hv1和基元?jiǎng)恿縣k1的物質(zhì)單元就稱為屬于第L個(gè)本征模式(或狀態(tài))的光子。具有相同能量和動(dòng)量的光子彼此間不可區(qū)分，因而處于同一模式(或狀態(tài))。每個(gè)模式內(nèi)的光子數(shù)目是沒(méi)有限制的。二、光波模式和光子狀態(tài)相格從上面的敘述已經(jīng)可以看出，按照量子電動(dòng)力學(xué)概念，光波的模式和光子的狀態(tài)是等效的概念。下面將對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行深入一步的討論。由于光的波粒二象性，我們可以用波動(dòng)和粒子兩種觀點(diǎn)來(lái)描述它。在激光理論中，光波模式是一個(gè)重要概念。按照經(jīng)典電磁理論，光電磁波的運(yùn)動(dòng)規(guī)律由麥克斯韋(C.Maxwell)方程決定。單色平面波是麥克斯韋方程的一種特解，它表示為式中E0為光波電場(chǎng)的振幅矢量，ν為單色平面波的頻率，r為空間位置坐標(biāo)矢量，k為波矢。而麥克斯韋方程的通解可表為一系列單色平面波的線性疊加。在自由空間，具有任意波矢k的單色平面波都可以存在。但在一個(gè)有邊界條件限制的空間V(例如諧振腔)內(nèi)，只能存在一系列獨(dú)立的具有特定波矢k的平面單色駐波。這種能夠存在于腔內(nèi)的駐波(以某一波矢k為標(biāo)志)稱為電磁被的模式或光波模。一種模式是電磁波運(yùn)動(dòng)的一種類型，不同模式以不同的k區(qū)分。同時(shí)，考慮到電磁波的兩種獨(dú)立的偏振，同一波矢k對(duì)應(yīng)著兩個(gè)具有不同偏振方向的模。（）第十頁(yè)，共568頁(yè)。下面求解空腔v內(nèi)的模式數(shù)目。設(shè)空腔為V=ΔxΔyΔz的立方體，則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向傳播的波分別應(yīng)滿足的駐波條件為Δx=mλ/2,Δy=nλ/2,Δz=qλ/2式中mλq為正整數(shù)。而波矢k的三個(gè)分量應(yīng)滿足條件kx=лm/Δx,ky=лn/Δy,kz=лq/Δz(1.1.5)每一組正整數(shù)m,n,q對(duì)應(yīng)腔內(nèi)一種模式(包含兩個(gè)偏振)。如果在以kxkykz為軸的直角坐標(biāo)系中，即在波矢空間中表示光波模,側(cè)每個(gè)模對(duì)應(yīng)波矢空間的一點(diǎn)(如圖所示)。每一模式在三個(gè)坐標(biāo)鈾方向與相鄰模的間隔為Δkx=л/Δx，Δky=л/Δy，Δkz=л/Δy(1.1.6)因此，每個(gè)模式在波矢空間占有一個(gè)體積元ΔkxΔkyΔkz=л3/（ΔxΔyΔz）=л3/V(1.1.7)第十一頁(yè)，共568頁(yè)。在k空間內(nèi)，波矢絕對(duì)值處于|k|～|k|+d|k|區(qū)間的體積為(1／8)4л|k|2d|k|，故在此體積內(nèi)的模式數(shù)為(1／8)4л|k|2d|k|V/л3。又因|k|＝2л/λ=2λv/c;d|k|=2лdv/c,代入上式則得頻率在v～v+dv區(qū)間內(nèi)的模式數(shù)。再考慮到對(duì)應(yīng)同一k有兩種不同的偏振，上述模式效應(yīng)乘2，于是，在體積為V的空腔內(nèi)，處在頻率v附近頻帶dv內(nèi)的模式數(shù)為P=(8лv2/c3)Vdv(1.1.8)現(xiàn)在再?gòu)牧Ｗ拥挠^點(diǎn)闡明光子狀態(tài)的概念，并且證明，光子態(tài)和光波橫是等效的概念。在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由其坐標(biāo)(x，y，z)和動(dòng)量(PxPyPz)確定。我們可以用廣義笛卡兒(Cartesian)坐標(biāo)x、y、z、PxPyPz所支撐的六維空間來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這種六維空間稱為相空間，相空間內(nèi)的一點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)宏觀質(zhì)點(diǎn)沿某一方向(例如：x軸)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的狀態(tài)變化對(duì)應(yīng)于二維相空間(x，Px)的一條連續(xù)曲線，如圖所示。但是，光子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和經(jīng)典宏觀質(zhì)點(diǎn)有著本質(zhì)的區(qū)別，它受量子力學(xué)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的制約。測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系表明：微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定，位置測(cè)得越準(zhǔn)確，動(dòng)量就越測(cè)不準(zhǔn)。對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)情況．則不準(zhǔn)關(guān)系表示為ΔxΔPx︾h(1.1.9)上式意味著處于二維相空間面積元ΔxΔPx︾h之內(nèi)的粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在物理上是不可區(qū)分的，因而它們應(yīng)屬于同一種狀態(tài)。第十二頁(yè)，共568頁(yè)。在三維運(yùn)動(dòng)情況下，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾h3故在六維相空間中，一個(gè)光子態(tài)對(duì)應(yīng)(或占有)的相空間體積元為ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾h3(1.1.10)上述相空間體積元稱為相格。相格是相空間中用任何實(shí)驗(yàn)所能分辨的最小尺度。光子的某一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只能定域在一個(gè)相格中，但不能確定它在相格內(nèi)部的對(duì)應(yīng)位置。于是我們看到，微觀粒子和宏觀質(zhì)點(diǎn)不同，它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在相空間中不是對(duì)應(yīng)一點(diǎn)而是對(duì)應(yīng)一個(gè)相格。這表明微觀粒子運(yùn)動(dòng)的不連續(xù)性。僅當(dāng)所考慮的運(yùn)動(dòng)物體的能量和動(dòng)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于由普朗克常數(shù)h所標(biāo)志的l量hv9和hk，以致量子化效應(yīng)可以忽略不計(jì)時(shí)，量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)才過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)。從式(1.1.10)還可得出，一個(gè)相格所占有的坐標(biāo)空間體積（或稱相格空間體積)為ΔxΔyΔz︾h3/（ΔPxΔPyΔPz）（）現(xiàn)在證明，光波模等效于光子態(tài)。為此將光波模的波矢空間體積元表示式(1.1.7)改寫為在相空間中的形式?？紤]到一個(gè)光波模是由兩列沿相反方向傳播的行波組成的駐波．因此一個(gè)光波模在相空間的Px，Py和Pz軸方向所占的線度為ΔPx=2hΔkx,ΔPy=2hΔky,ΔPz=2hΔkz(1.1.12)于是，式(1.1.7)在相空間中可改寫為ΔPxΔPyΔPzΔxΔyΔz=h3(1.I.13)可見(jiàn)，一個(gè)光波模在相空間也占有一個(gè)相格.因此，一個(gè)光波模等效于一個(gè)光子態(tài)。一個(gè)光波?；蛞粋€(gè)光子態(tài)在坐標(biāo)空間都占有由式(1.1.11)表示的空間體積。第十三頁(yè)，共568頁(yè)。三、光子的相干性為了把光子態(tài)和光子的相干性兩個(gè)概念聯(lián)系起來(lái)，下面對(duì)光源的相干性進(jìn)行討論。在一般情況下，光的相干性理解為：在不同的空間點(diǎn)上、在不同的時(shí)刻的光波場(chǎng)的某些特性(例如光波場(chǎng)的相位)的相關(guān)性。在相干性的經(jīng)典理論中引入光場(chǎng)的相干函數(shù)作為相干性的度量。但是，作為相干性的一種粗略描述，常常使用相干體積的概念。如果在空間體積Vc內(nèi)各點(diǎn)的光波場(chǎng)都具有明顯的相干性，則Vc稱為相干體積。Vc又可表示為垂直于光傳播方向的截面上的相干面積Ac和沿傳播方向的相干長(zhǎng)度Lc的乘積Vc=AcLc(1.1.14)式(1.1.14)也可表示為另一形式；Vc=Acτcc(1.1.15)式中c為光速，τc＝Lc／c是光沿傳播方向通過(guò)相干長(zhǎng)度Lc所需的時(shí)間，稱為相干時(shí)間。普通光源發(fā)光，是大量獨(dú)立振子(例如發(fā)光原子)的自發(fā)輻射。每個(gè)振子發(fā)出的光波是由持續(xù)一段時(shí)間Δt或在空間占有長(zhǎng)度cΔt的波列所組成．如圖圖所示。第十四頁(yè)，共568頁(yè)。不同振子發(fā)出的光波的相位是隨機(jī)變化的。對(duì)于原子譜線來(lái)說(shuō)，Δt即為原子的激發(fā)態(tài)壽命(Δt︾10-8s秒)。對(duì)波列進(jìn)行頗譜分析，就得到它的頻帶寬度Δv︾1/ΔtΔv是光源單色性的量度。物理光學(xué)中已經(jīng)闡明，光波的相干長(zhǎng)度就是光波的波列長(zhǎng)度Lc＝cΔt＝c/Δv(1.1.16)于是，相干時(shí)間τc與光源頻帶寬度Δv的關(guān)系為τc＝Δt=1/Δv(1.1.17)上式說(shuō)明，光源單色性越好，則相干時(shí)間越長(zhǎng)。物理光學(xué)中曾經(jīng)證明：在圖圖中，由線度為Δx的光源A照明的S1和S2兩點(diǎn)的光波場(chǎng)具有明顯空間相干性的條件為(ΔxLx/R)≤λ(1.1.18)式中λ為光源波長(zhǎng)。距離光源R處的相干面積Ac可表示為λ＝Lx2＝(Rλ/Δx)2(1.1.19)如果用Δθ表示兩縫間距對(duì)光源的張角，則(1.1.18)式可寫為(Δx)2≤(λ/Δθ)2(1.1.20)上式的物理意義是：如果要求傳播方向(或波矢k)限于張角Δθ之內(nèi)的光波是相干的，則光源的面積必須小于(λ/Δθ)2。因此，(λ/Δθ)2就是光源的相干面積，或者說(shuō)，只有從面積小于(λ/Δθ)2的光源面上發(fā)出的光波才能保證張角在Δθ之內(nèi)的雙縫具有相干性(見(jiàn)圖1.1.4)第十五頁(yè)，共568頁(yè)。根據(jù)相干體積定義，可得光源的相干體積為

(1.1.21)此式可同樣理解為：如要求傳播方向限于Δθ之內(nèi)并具有頻帶寬度Δv的光波相干，則光源應(yīng)局限在空間體積Vcs之內(nèi)。第十六頁(yè)，共568頁(yè)。現(xiàn)在再?gòu)墓庾佑^點(diǎn)分析圖。由面積為(Δx)2的光源發(fā)出動(dòng)量P限于立體角Δθ內(nèi)的光子，因此光子具有動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)量，在Δθ很小的情況下其各分量為

（）以為Δθ很小，故有Pz≈|P|ΔPz≈Δ|P|=(h/c)Δv（）如果具有上述動(dòng)量測(cè)不準(zhǔn)量的光子處于同一相格之內(nèi)，即處于一個(gè)光子態(tài)，則光子占有的相格空間體積(即光子的坐標(biāo)測(cè)不準(zhǔn)量)可根據(jù)(1.1.11)、(1.1.22)、（）以及（）式求得

（1.124）上式表明，相格的空間體積和相干體積相等。如果光子屬于同一光子態(tài)，則他們因該包含在相干體積之內(nèi)。也就是說(shuō)屬于同一光子態(tài)的光子是相干的第十七頁(yè)，共568頁(yè)。綜上所述可得下述關(guān)于相干性的重要結(jié)論：1．相格空間體積以及一個(gè)光波?；蚬庾討B(tài)占有的空間體積都等于相干體積。2．屬于同一狀態(tài)助光子或同一模式的光波是相干的。不同狀態(tài)的光子或不同模式的光波是不相干的。四光子簡(jiǎn)并度具有相干性的光波場(chǎng)的強(qiáng)度(相干光強(qiáng))在相干光的技術(shù)應(yīng)用中，也是一個(gè)重要的參量。一個(gè)好的相干光源應(yīng)具有盡可能高的相干光強(qiáng)、足夠大的相干面積和足夠長(zhǎng)的相干時(shí)間．對(duì)普通光源來(lái)說(shuō)增大相干面積、相干時(shí)間和增大相干光強(qiáng)是矛盾的。由(1.1.17)和(1.1.19)式可訊知，為了增大相干面積和相干時(shí)間，可以采用光學(xué)濾波來(lái)減小Δv，縮小光源線度或加光闌以減小Δx以及遠(yuǎn)離光源等辦法。但這一切都將導(dǎo)致相干光強(qiáng)的減少。這正是普通光源給相干光學(xué)技術(shù)的發(fā)展帶來(lái)的限制。例如光全息技術(shù)，它的原理早在1948年就被提出，但在激光出現(xiàn)之前一直沒(méi)有實(shí)際應(yīng)用，其原因就在于此。而激光器卻是一種把光強(qiáng)和相干性兩者統(tǒng)一起來(lái)的強(qiáng)相干光源。我們?cè)诤竺鎸?duì)此加以說(shuō)明。相干光強(qiáng)是描述光的相干性的參量之一。從相干性的光子描述出發(fā)，相干光強(qiáng)決定于具有相干性的光子的數(shù)目或同態(tài)光子的數(shù)目。這種處于同一光子態(tài)的光子數(shù)稱為光子簡(jiǎn)并度n。顯然，光子簡(jiǎn)并度具有以下幾種相同的含義，同態(tài)光子數(shù)、同一模式內(nèi)的光子數(shù)、處于相干體積內(nèi)的光子數(shù)、處于同一相格內(nèi)的光子數(shù)。第十八頁(yè)，共568頁(yè)。1．2光的受激輻射基本概念光與物質(zhì)的共振相互作用，特別是這種相互作用中的受激輻射過(guò)程是激光器的物理基礎(chǔ)。我們將在第四章和第八章中較詳細(xì)地討論這種相互作用的理論處理方法。本節(jié)先給出基本物理概念。受激輻射概念是愛(ài)因斯坦首先提出的(1917年)。在普朗克(MaxPlanck)于1900年用輻射量子化假設(shè)成功地解釋了黑體輻射分布規(guī)律，以及波爾(NieleBohr)在1913年提出原子中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子化假設(shè)的基礎(chǔ)上，愛(ài)因斯坦從光量子概念出發(fā)，重新推導(dǎo)了黑體輻射的普朗克公式，并在推導(dǎo)中提出了兩個(gè)極為重要的概念：受激輻射和自發(fā)輻射。四十年后，受激輻射概念在激光技術(shù)中得到了應(yīng)用。一：黑體輻射的普朗克公式我們知道，處于某一溫度T的物體能夠發(fā)出和吸收電磁輻射。如果某一物體能夠完全吸收任伺波長(zhǎng)的電磁輻射，則稱此物體為絕對(duì)黑體簡(jiǎn)稱黑體。如因所示的空腔輻射體就是一個(gè)比較理想的絕對(duì)黑體，因?yàn)閺耐饨缟淙胄】椎娜魏尾ㄩL(zhǎng)的電磁輻射都將在腔內(nèi)來(lái)回反射而不再逸出腔外。物體除吸收電磁輻射外，還會(huì)發(fā)出電磁輻射，這種電磁輻射稱為熱輻射或溫度輻射。1.1節(jié)中提到的普通光源就可以是一種熱輻射光源第十九頁(yè)，共568頁(yè)。如果圖圖I.2.所示的黑體處予某一溫度T的熱平衡情況下，則它所吸收的輻射能量應(yīng)等于發(fā)出的輻射能量，即黑體與輻射場(chǎng)之間應(yīng)處于能量(熱)平衡狀態(tài)。顯然，這種平衡必然導(dǎo)致空腔內(nèi)存在完全確定的輻射場(chǎng)。這種輻射場(chǎng)稱為黑體輻射或平衡輻射。黑體輻射是黑體溫度T和輻射場(chǎng)頻率v的函數(shù)。并用單色能量密度ρv描述。ρv定義為：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)，頻率處于v附近的單位頻率間隔中的電磁輻射能量，其綱量為J*m-3*s.為了從理論上解釋實(shí)驗(yàn)所得的黑體輻射ρv隨(T,v)的分布規(guī)律，人們從經(jīng)典物理學(xué)出發(fā)所作的一切努力都?xì)w于失敗第二十頁(yè)，共568頁(yè)。后來(lái)，普朗克提出了與經(jīng)典概念完全不相容的輻射能量量子化假設(shè)，并在此基礎(chǔ)上成功地得到了與實(shí)驗(yàn)相符的黑體輻射普朗克公式。這一公式可表述為：在溫度T的熱平衡情況下，黑體輻射分配到腔內(nèi)每個(gè)模式上的平均能量為（）為了求得腔內(nèi)模式數(shù)目，可利用(1.1.8)。顯然，腔內(nèi)單位體積中頻率處于v附近單位頻率間隔內(nèi)光波模式數(shù)nv為：

于是，黑體輻射普朗克公式為(1.2.2)式中K為玻爾茲曼常數(shù)，其數(shù)值為K＝1.38062×10-23J／oC第二十一頁(yè)，共568頁(yè)。二受激輻射和自發(fā)輻射概念(1.2.2)式表示的黑體輻射，實(shí)質(zhì)上是輻射場(chǎng)ρv和構(gòu)成黑體的物質(zhì)原子相互作用的結(jié)果。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們只考慮原子的兩個(gè)能級(jí)E2和E1并有E2—E1=hv(1.2.3)單位體積內(nèi)處于兩能級(jí)的原子數(shù)分別用n2和n1，表示，如圖(1.2.2)所示。

愛(ài)因斯坦從輻射與原于相互作用的量子論觀點(diǎn)出發(fā)提出，相互作用應(yīng)包含原子的自發(fā)輻射躍遷、受激輻射躍遷和受激吸收躍遷三種過(guò)程。第二十二頁(yè)，共568頁(yè)。自發(fā)輻射[圖圖1.2.3(a)]。處于高能級(jí)E2的一個(gè)原子自發(fā)地向E1躍遷，并發(fā)射一個(gè)能量為hv的光子。這種過(guò)程稱為自發(fā)躍遷。由原于自發(fā)躍遷發(fā)出的光子稱為自發(fā)輻射。自發(fā)躍遷過(guò)程用自發(fā)躍遷幾率A21描述。A21定義為單位時(shí)間內(nèi)n2個(gè)高能態(tài)原子中發(fā)生自發(fā)躍遷的原子數(shù)與n2的比值：

（）式中(dn21)sp表示由于自發(fā)躍遷引起的由E2向E1躍遷的原子數(shù)。應(yīng)該指出，自發(fā)躍遷是一種只與原于本身性質(zhì)有關(guān)而與輻射場(chǎng)Pv無(wú)關(guān)的自發(fā)過(guò)程。第二十三頁(yè)，共568頁(yè)。因此A21只決定于原子本身的性質(zhì)。由(1.2.4)式容易證明，A21就是原子在能級(jí)E21的平均壽命τs的倒數(shù)，因?yàn)樵趩挝粫r(shí)間內(nèi)能級(jí)E2所減少的粒子數(shù)為

將(1.2.4)式代入則得

由此式可得

式中A21=1/τs(1.2.5)A21也稱為自發(fā)躍遷愛(ài)因斯坦系數(shù)。第二十四頁(yè)，共568頁(yè)。2．受激吸收[圖1.2.3(b)]。如果黑體物質(zhì)原子和輻射場(chǎng)相互作用只包含上述自發(fā)躍遼過(guò)程，是不能維持由(1.2.2)式所表示的腔內(nèi)輻射場(chǎng)的穩(wěn)定值的。因此．愛(ài)因斯坦認(rèn)為必然還存在一種原子在輻射場(chǎng)作用下的受激躍遷過(guò)程，從而第一次從理論上預(yù)測(cè)了受激輻射的存在。處于低能態(tài)E1的一個(gè)原于在頻率為v的輻射場(chǎng)作用(激勵(lì))下，吸收一個(gè)能量為hv的光子，并向E2能態(tài)躍遷，這種過(guò)程稱為受激吸收躍遷，并用受激躍遷幾率W12描述：（）式中，(dn12)st表示由于受激躍遷引起的由E1向E2躍遷的原子數(shù)。第二十五頁(yè)，共568頁(yè)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，受激躍遷和自發(fā)躍遷是本質(zhì)不同的物理過(guò)程，反映在躍遷幾率上就是A21只與原子本身性質(zhì)有關(guān)；而W12不僅與原子性質(zhì)有關(guān)還與輻射場(chǎng)的ρv成正比。我們可將這種關(guān)系唯象地表示為W12=B12ρv(1.2.7)式中，比例系數(shù)B12稱為受激吸收躍遷愛(ài)因斯坦系數(shù)，它只與原子性質(zhì)有關(guān)。3.受激輻射〔圖I.2.3(c)〕。受激吸收躍遷的反過(guò)程就是受激輻射躍。處于能級(jí)E2d原子在頻率為v的輻射場(chǎng)作用下，躍遷至低能級(jí)E1并輻射一個(gè)能量為hv的光子。受激輻射躍遷發(fā)出的光波稱為受激輻射。第二十六頁(yè)，共568頁(yè)。受激輻射躍遷幾率為

（）（）式中B21為受激輻射躍遷愛(ài)因斯坦系數(shù)。由原子受激輻射躍遷發(fā)出的光于稱為受激輻射。第二十七頁(yè)，共568頁(yè)。三A12B21B12的相互關(guān)系現(xiàn)在根據(jù)上述相互作用物理模型分析空腔黑體的熱平衡過(guò)程，從而導(dǎo)出愛(ài)因斯坦三系數(shù)之間的關(guān)系。如前所述，正是由于腔內(nèi)黑體輻射場(chǎng)ρv與物質(zhì)原子相互作用的結(jié)果應(yīng)該維持黑體處于溫度為T的熱平衡狀態(tài)。這種熱平衡狀態(tài)的標(biāo)志是：（1）腔內(nèi)存在著由式(1.2.2)式表示的熱平衡黑體輻射。（2）腔內(nèi)物質(zhì)原子數(shù)按能級(jí)分布應(yīng)服從熱平衡狀態(tài)下的波爾茲曼(LudwingBoltzman)分布（）式中，f2和f1分別為能級(jí)E1和E2的統(tǒng)計(jì)權(quán)重。（3）在熱平衡狀態(tài)下，n2(或nl)應(yīng)保持不變，于是有

（1.2.11）第二十八頁(yè)，共568頁(yè)。第二十九頁(yè)，共568頁(yè)。四受激輻射的相干性最后我們要強(qiáng)調(diào)指出受激輻射與自發(fā)輻射的極為重要的區(qū)別——相干性。如前所述，自發(fā)輻射是原子在不受外界輻射場(chǎng)控制情況下的自發(fā)過(guò)程。因此，大量原子的自發(fā)輻射場(chǎng)的相位是無(wú)規(guī)則分布的，因而是不相干的。此外，自發(fā)輻射場(chǎng)的傳播方向和偏振方向也是無(wú)規(guī)則分布的，或者如式(1.2.1)和(1.2.2)所表述的那樣，自發(fā)輻射平均地分配到腔內(nèi)所有模式上。受激輻射是在外界輻射場(chǎng)的控制下的發(fā)光過(guò)程，因而容易設(shè)想各原子的受激輻射的相位不再是無(wú)規(guī)則分布，而應(yīng)具有和外界輻射場(chǎng)相同的相位。在量子電動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上可以證明：受激輻射光子與入射(激勵(lì))光子屬于同一光子態(tài)；或者說(shuō)，受激輻射場(chǎng)與入射輻射場(chǎng)具有相同的頻率、相位、波矢(傳播方向)和偏振，因而，受激輻射場(chǎng)與入射輻射場(chǎng)屬于同一模式圖圖示意地表示這一特點(diǎn)。第三十頁(yè)，共568頁(yè)。特別是，大量原子在同一輻射場(chǎng)激發(fā)下產(chǎn)生的受激輻射處于同一光波?；蛲还庾討B(tài)，因而是相干的。受激輻射的這一重要特性就是現(xiàn)代量子電子學(xué)(包括激光與微波激勵(lì))的出發(fā)點(diǎn)。以后將說(shuō)明，激光就是一種受激輻射相干光。受激輻射的這一特性在上述愛(ài)因斯坦理論中是得不到證明的，因?yàn)槟抢锸褂玫氖俏ㄏ蠓椒ǎ疀](méi)有涉及原子發(fā)光的具體物理過(guò)程。嚴(yán)格的證明只有依靠量子電動(dòng)力學(xué)。但是，原子發(fā)光的經(jīng)典電子論模型可以幫助我們得到一個(gè)定性的粗略理解。按經(jīng)典電子論模型，原子的自發(fā)躍遷是原子中電子的自發(fā)阻尼振蕩，沒(méi)有任何外加光電場(chǎng)來(lái)同步各個(gè)原子的自發(fā)阻尼振蕩，因而電子振蕩發(fā)出的自發(fā)輻射是相位無(wú)關(guān)的。而受激輻射對(duì)應(yīng)于電子在外加光電場(chǎng)作用下作強(qiáng)迫振蕩時(shí)的輻射，電子強(qiáng)迫振蕩的頻率、相位、振動(dòng)方向顯然應(yīng)與外加光電場(chǎng)一致。因而強(qiáng)迫振動(dòng)電子發(fā)出的受激輻射應(yīng)與外加光輻射場(chǎng)具有相同的頻率、相位、傳播方向和偏振狀態(tài)。1．3光的受激輻射放大一光放大概念的產(chǎn)生在激光出現(xiàn)之前，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對(duì)強(qiáng)相干光源提出了迫切的要求，例如，光全息技術(shù)和相干光學(xué)計(jì)量技術(shù)要求在盡可能大的相干體積或相干長(zhǎng)度內(nèi)有盡量強(qiáng)的相干光。但是．正如1．1中所指出的，對(duì)普通熱光源來(lái)說(shuō)上述要求是矛盾的。又如相干電磁波源(各種無(wú)線電振蕩器、微波電子管等)曾大大推動(dòng)了無(wú)線電技術(shù)的發(fā)展，而無(wú)線電技術(shù)的發(fā)展又要求進(jìn)一步縮短相干電磁波的波長(zhǎng)，即要求強(qiáng)相干光源。但是普通熱光源的自發(fā)輻射光實(shí)質(zhì)上是一種光頻“噪聲”，所以在激光出現(xiàn)以前，無(wú)線電技術(shù)很難向光頻波段發(fā)展。第三十一頁(yè)，共568頁(yè)。為進(jìn)一步說(shuō)明普通光源的相干性限制。我們來(lái)分析黑體輻射源的光子簡(jiǎn)并度，它可由式(1.2.1)求出：

（）按此式可計(jì)算與波長(zhǎng)及溫度的關(guān)系。例如，在室溫T＝300K的情況下，對(duì)λ＝30cm的微波輻射，≈103，這時(shí)可以認(rèn)為黑體基本上是相干光源；對(duì)λ＝60um的遠(yuǎn)紅外輻執(zhí),≈103，而對(duì)λ＝0.6um的可見(jiàn)光,≈10-35，即在一個(gè)光波模內(nèi)的光子數(shù)是10-35個(gè)，這時(shí)黑體就是完全非相干光源。即使提高黑體溫度也不可能對(duì)其相干性有根本的改善。例如為在λ＝l微米處得到≈1，要求黑體溫度高達(dá)50000K?？梢?jiàn)，普通光源在紅外和可見(jiàn)光波段實(shí)際上是非相干光源。為了理解構(gòu)成激光器的基本思想我們進(jìn)一步分折(1.3.1)式,它可改寫為（）第三十二頁(yè)，共568頁(yè)。上式在物理上是容易理解的，因?yàn)槭芗ぽ椛洚a(chǎn)生相干光子，而自發(fā)輻射產(chǎn)生非相干光子。這個(gè)關(guān)系對(duì)腔內(nèi)每一特定光子態(tài)或光波模均成立。從(1.3.2)式出發(fā)，如果我們能創(chuàng)造一種情況，使腔內(nèi)某一特定模式(或少數(shù)幾個(gè)模式)的ρv大大增加，而其它所有模式的ρv很小，就能在這一特定(或少數(shù)幾個(gè))模式內(nèi)形成很高的光子簡(jiǎn)并度。也就是說(shuō)，使相干的受激輻射光子集中在某一特定(或幾個(gè))模式內(nèi)，而不是均勻分配在所有模式內(nèi)。這種情況可用下述方法實(shí)現(xiàn)：如圖圖所示，將一個(gè)充滿物質(zhì)原子的長(zhǎng)方體空腔(黑體)去掉側(cè)壁，只保留兩個(gè)端面.如果端面壁。如果端面壁對(duì)光有很高的反射系系數(shù)．則沿垂直端面的腔軸方向傳播的光(相當(dāng)于少數(shù)幾個(gè)模式)在腔內(nèi)多次反射而不逸出腔外，而所有其它方向的光則很容易逸出腔外。此外，如果沿腔軸傳播的光在每次通過(guò)腔內(nèi)物質(zhì)時(shí)不是被光子吸收(受激吸收)，而是由于原子的受激輻射而得到放大．那么腔內(nèi)軸向模式的ρv就能不斷增強(qiáng)，從而在鈾向模內(nèi)獲得極高的光子簡(jiǎn)并度。這就是構(gòu)成激光器的基本思想。第三十三頁(yè)，共568頁(yè)。可以看出，上述思想包含兩個(gè)重要部分：第一是是光波模式的選擇，它由兩塊平行平面反射鏡完成，這實(shí)際上就是光學(xué)技術(shù)中熟知的法布里—泊羅(Fabry—Perot)干涉儀，在激光技術(shù)中稱為光諧振腔。第二是受激輻射放大，激光的英文縮寫名稱LASER(LightAmplificationbyStimulatedEmissionofRadiation)正反映了這一物理本質(zhì)。順便指出，激光器的上述基本思想，對(duì)于產(chǎn)生相干電磁波的傳統(tǒng)電子器件(如微波電子管)來(lái)說(shuō)也是一種技術(shù)思想的突破。在傳統(tǒng)的微波電子器件中，使用尺寸可與波長(zhǎng)相比擬的封閉諧振腔選擇模式，利用自由電子和電磁波相互作用對(duì)單摸電磁場(chǎng)進(jìn)行放大。但是在力圖縮短微波器件波長(zhǎng)(例如小于1毫米)的過(guò)程中，繼續(xù)沿用傳統(tǒng)方法就遇到了極大的困難。首先是封閉諧振腔的尺寸必須小到不能實(shí)現(xiàn)的程度，其次是使用普通自由電子束對(duì)光波進(jìn)行有效的放大也是極其困難的。激光器正是在這兩方面突破了傳統(tǒng)方法，即用開(kāi)式諧振腔代替封閉諧振腔，用原子中束縛電子的受激輻射光放大代替自由電子對(duì)電磁波的放大，從而為獲得光波段的相干電磁播源開(kāi)辟了極其廣闊的道路。第三十四頁(yè)，共568頁(yè)。二實(shí)現(xiàn)光放大的條件——集居數(shù)反轉(zhuǎn)下面討論在由大量原于(或分子)組成的物質(zhì)中實(shí)現(xiàn)光的受激輻射放大的條件。在物質(zhì)處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，各能級(jí)上的原子數(shù)(或稱集居數(shù))服從玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布：

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，式中已令f2＝f1。因E2＞E1，所以n2＜n1，即在熱平衡狀態(tài)下，高能級(jí)集居數(shù)恒小于低能級(jí)集居數(shù)，如圖圖所示。當(dāng)頻率v＝(E2—E1)／h的光通過(guò)物質(zhì)時(shí)，受激吸收光子數(shù)n1W12.恒大于受激輻射光子數(shù)n2W21.。因此，處于熱平衡狀態(tài)下的物質(zhì)只能吸收光子。第三十五頁(yè)，共568頁(yè)。但是，在一定的條件下物質(zhì)的光吸收可以轉(zhuǎn)化為自己的對(duì)立面——光放大。顯然，這個(gè)條件就是n2>n1，稱為集居數(shù)反轉(zhuǎn)(也可稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn))。一船來(lái)說(shuō)當(dāng)物質(zhì)處于熱平衡狀態(tài)(B即它與外界處于能量平衡狀態(tài))時(shí)，集居數(shù)反轉(zhuǎn)是不可能的，只有當(dāng)外界向物質(zhì)供給能量(稱為激勵(lì)或泵浦過(guò)程)，從而使物質(zhì)處于非熱平衡狀態(tài)時(shí)，集居數(shù)反轉(zhuǎn)才可能實(shí)現(xiàn)。激勵(lì)(或泵浦)過(guò)程是光放大的必要條件。典型激光器的集體激烈過(guò)程在第九章中介紹。三光放大物質(zhì)的增益系數(shù)與增益曲線處于集居數(shù)反轉(zhuǎn)狀態(tài)的物質(zhì)稱為激活物質(zhì)(或激光介質(zhì))。一段激活物質(zhì)就是一個(gè)光放大器。放大作用的大通小常用放大(或增益)系數(shù)g來(lái)描述。如圖圖所示，第三十六頁(yè)，共568頁(yè)。設(shè)在光傳播方向上z處的光強(qiáng)I(z)(光強(qiáng)I正比于光的單色能量密度p)．則增益系數(shù)字義為（）所以g(z)表示光通過(guò)單位長(zhǎng)度激活物質(zhì)后光強(qiáng)增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)。顯然，dI(z)正比于單位體積激活物質(zhì)的凈受激發(fā)射光子數(shù)

由上式可寫為

（）所以

（）如果(n2一n1)不隨z而變化，則增益系數(shù)g(z)為一常數(shù)g0，(1.3.3)式為線性微分方程。積分式（）得：

第三十七頁(yè)，共568頁(yè)。（）式中，Is為z＝0處的初始光強(qiáng)。造就是如圖圖所示的線性增益或小信號(hào)增益情況。但是，實(shí)際上光強(qiáng)I的增加正是由于高能級(jí)原子向低能級(jí)受激躍遷的結(jié)果，或者說(shuō)光放大正是以單位體積內(nèi)集居數(shù)差值n2(z)一n1(z)的減小為代價(jià)的。并且，光強(qiáng)I越大．n2(z)一n1(z)減少得越多，所以實(shí)際上n2(z)一n1(z)隨z的增加而減少。因而增益系數(shù)g(z)也隨z的增加而減小，這稱為增益飽和效應(yīng)。與此相應(yīng)，我們可將單位體積內(nèi)集居數(shù)差值表示為光強(qiáng)I的函數(shù)(詳見(jiàn)4.5)：

（）式中，Is為飽和光強(qiáng)。在這里，可暫暫時(shí)Is理解為為描述增益飽和效應(yīng)而唯象引入的參量。n20一n10為光強(qiáng)I=0時(shí)單位體積內(nèi)的初始集居數(shù)差值。從(1.3.7)式出發(fā),我們可將式（）改寫為（）第三十八頁(yè)，共568頁(yè)?；颍ǎ┦街?，g0＝g(I＝0)即為小信號(hào)增益系數(shù)。如果在放大器中光強(qiáng)始終滿足條件I《Is。則增益系數(shù)g(I)＝g0.常級(jí)且不隨z變化.這就是(1.3.6)式表示的小信號(hào)情況。反之，在條件I《Is不能滿足時(shí)，(1.3.9)式表示的g(I)稱為大信號(hào)增益系數(shù)（或飽和增益系數(shù)）。最后指出，增益系數(shù)也是光波頻率v的函數(shù)，表示為g（v,I）。這是因?yàn)槟芗?jí)E1和E2由于各種原因(見(jiàn)第四章)總有一定的寬度，所以在中心頻率v＝(E2—E1)／h附近一個(gè)小范圍(±?Δv)內(nèi)都有受激躍遷發(fā)生。g(v，I)隨頻率v的變化曲線稱為增益曲線，Δv稱為增益曲線寬度．如圖圖所示。關(guān)于增益系數(shù)的詳細(xì)討論見(jiàn)第四章。第三十九頁(yè)，共568頁(yè)。1．4光的自激振蕩上節(jié)所述的激光放大器在許多大功率裝置中廣泛地用來(lái)把弱的激光束逐級(jí)放大。但是在更多的場(chǎng)合下須要使用激光自激振蕩器，通常所說(shuō)的激光器就是指激光自激振蕩器。一自激振蕩概念在光放大的同時(shí)，總是還存在著光的損耗，我們可以引入損耗系數(shù)α來(lái)描述。α定義為光通過(guò)單位距離后光強(qiáng)衰減的百分比，它表示為

（）同時(shí)考慮增益和損耗，則有（1.4.2）假設(shè)有微弱光（光強(qiáng)為I0）進(jìn)入一無(wú)限長(zhǎng)放大器。起初，光強(qiáng)I(z)將按小信號(hào)放大規(guī)律增長(zhǎng)，但是隨I(z)的增加．g(I)將由于飽和效應(yīng)而按(1.3.9)式減小，因而I(z)的增長(zhǎng)將逐漸變緩。第四十頁(yè)，共568頁(yè)。最后，當(dāng)g(I)＝α?xí)r，I(z)不再增加并達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的極限值Im(見(jiàn)圖1.4.1).根據(jù)條件g(I)＝α可求得Im為

即（）第四十一頁(yè)，共568頁(yè)?？梢?jiàn)，Im只與放大器本身的參數(shù)有關(guān)而與初始光強(qiáng)I。無(wú)關(guān)，特別是，不管初始I。多么微弱．只要放大器足夠長(zhǎng)，就總是形成確定大小的光強(qiáng)Im，這實(shí)際上就是自激振蕩的概念。這就表明，當(dāng)激光放大器的長(zhǎng)度足夠大時(shí)，它可能成為一個(gè)自激振蕩器。實(shí)際上，我們并不須要真正把激活物質(zhì)的長(zhǎng)度無(wú)限增加，而只要在具有大就有可能在軸向光波模上產(chǎn)生光的自激振蕩，這就是激光器。一定長(zhǎng)度的光放大器兩端放置如1.3節(jié)所述的光諧振腔。這樣，軸向光波模就能在反射鏡間往返傳播，就等效于增加放大器長(zhǎng)度。光諧振腔的這種作用也稱為光的反饋。由于在腔內(nèi)總是存在頻率在v。附近的微弱的自發(fā)輻射光(相當(dāng)于初始光強(qiáng)I。)，它經(jīng)過(guò)多次受激輻射放綜上所述，一個(gè)激光器應(yīng)包括光放大器和光諧振腔兩部分，這和1.3節(jié)所述構(gòu)成激光器的基本思想是一致的。但對(duì)光腔的作用則應(yīng)歸結(jié)為兩點(diǎn)：1．模式選擇，保證激光器單模(或少數(shù)鈾向模)震蕩，從而提高激光器的相干性。2．提供軸向光波模的反饋。應(yīng)該指出，光腔的上述作用雖然是重要的，但并不是原則上不可缺少的。對(duì)于某些增益系數(shù)很高的激活物質(zhì)，不需要很長(zhǎng)的放大器就可以達(dá)到(1.4.3)式所示的穩(wěn)定飽和狀態(tài)，因而往往不用光諧振腔(當(dāng)然在相干性上有所損失)。關(guān)于這一問(wèn)題將在6.5節(jié)詳細(xì)討論。第四十二頁(yè)，共568頁(yè)。二振蕩條件。一個(gè)激光器能夠產(chǎn)生自激振蕩的條件，即任意小的初始光強(qiáng)

I。都能形成確定大小的腔內(nèi)光強(qiáng)I。的條件可從(1.4.3)式求得：這就是激光器的振蕩條件。式中g(shù)0為小信號(hào)增益系數(shù)；α為包括放大器損耗和諧振腔損耗在內(nèi)的平均損耗系數(shù)。第四十三頁(yè)，共568頁(yè)。當(dāng)g0=α?xí)r，稱為閾值振蕩情況，這時(shí)腔內(nèi)光強(qiáng)維持在初始光強(qiáng)I。的極其微弱的水平上。當(dāng)g0>α?xí)r，腔內(nèi)光強(qiáng)Im就增加，并且Im正比于(g0—α)?？梢?jiàn)增益和損耗這對(duì)矛盾就成為激光器是否振蕩的決定因素。特別應(yīng)該指出，激光器的幾乎一切特性(例如輸出功率、單色性、方向性等)以及對(duì)激光器采取的技術(shù)措施(例如穩(wěn)頻、選模、鎖模等)都與增益和損耗特性有關(guān)。因此工作曲物質(zhì)的增益特性和光腔的損耗特性是掌握激光基本原理的線索。振蕩條件式（）有時(shí)也表示為另一種形式。設(shè)工作物質(zhì)長(zhǎng)度為l，光腔長(zhǎng)度為L(zhǎng),令αL＝δ稱為光腔的單程損耗．．振蕩條件可寫為g0l≥δ(1.4.5)g0l稱為單程小信號(hào)增益。1.5激光的特性從前幾節(jié)所述的概念中可以預(yù)見(jiàn)到．激光器一定具有和普通光源根不相同的特性。第一臺(tái)紅寶石激光器從實(shí)驗(yàn)上很典型地顯示了這一點(diǎn)。圖圖給出第一臺(tái)紅寶石激光器在疝燈光強(qiáng)低于振蕩閾值和高于振蕩閾值時(shí)的不同光束特性。顯然，前者是普通光，死后者是激光。這免冠燈光強(qiáng)的量壹在一定的關(guān)節(jié)點(diǎn)(閡值)上引起光束特性的質(zhì)變。第四十四頁(yè)，共568頁(yè)。圖1.5.1(a)表示光譜儀觀察到的激光譜線變窄，或光的頻帶寬度Δv的減小，這就是激光的單色性。第四十五頁(yè)，共568頁(yè)。圖圖1.5.1(b)表示在激光器輸出反射鏡面上放置雙縫光闌時(shí)，激光可以形成清晰的干涉圖象，而自發(fā)輻射光卻不能形成干涉，這就是激光的空間相干性。圖圖（c)表示激光沿光腔軸向傳播，并具有很好的方向性，而普通光向各個(gè)方向傳播。第四十六頁(yè)，共568頁(yè)。固1.5.1(d)表示從熒光(自發(fā)輻射)向激光轉(zhuǎn)變時(shí)，光強(qiáng)急劇增加，這就是激光的高強(qiáng)度。所有這些現(xiàn)象都可以在本章前幾節(jié)所述概念的基礎(chǔ)上得到定性的解釋。第四十七頁(yè)，共568頁(yè)。以上所述，一般通稱為激光的四性：?jiǎn)紊?、相干性、方向性和高亮度。?shí)際上，這四性本質(zhì)上可歸結(jié)為一性，即激光具有很高的光子簡(jiǎn)并度。也就是說(shuō)，激光可以在很大的相干體積內(nèi)有很高的相干光強(qiáng)。激光的這一特性正是由于受激輻射的本性和光腔的選模作用才得以實(shí)現(xiàn)的。以下我們將激光的相干性分為空間相干性、時(shí)間相干性和相干光強(qiáng)3方面討論。一，激光的空間相干性和方向性光束的空間相干性和它的方向性(用光束發(fā)散角描述)是緊密聯(lián)系的。對(duì)于普通光源，從(1.1.20)式可以看出，只有當(dāng)光束發(fā)散角小于某一限度，即Δθ≤λ／Δx時(shí)．光束才具有明顯的空間相干性。例如，一個(gè)理想的平面光波是完全空間相干光，同時(shí)它的發(fā)散角為零。對(duì)于激光器也有類似的關(guān)系。通常把光波場(chǎng)的空間分布分解為沿傳播方向(腔軸方向)的分布E(z)和在垂直于傳播方向的橫截面上的分布E(x，y)。因而光腔模式可以分解為縱模和橫模。它們分別代表光腔模式的縱向(腔鈾方向)光場(chǎng)分布和橫向光場(chǎng)分布，用符號(hào)TEMmn標(biāo)志不同橫摸的光場(chǎng)分布。TEM代表光波是橫電磁，m、n分別表示在x和y方向(軸對(duì)稱情況)光場(chǎng)通過(guò)零值的次數(shù)。TEM。。模稱為基模，其他稱為高次模。激光束的空間相干性和方向性都與激光的橫模結(jié)構(gòu)相聯(lián)系。第四十八頁(yè)，共568頁(yè)。如果激光是TEM。。單橫模結(jié)構(gòu)，則如1.1所述，同一模式內(nèi)的光波場(chǎng)是空間相干的，而另一方面．單橫模結(jié)構(gòu)又具有最好的方向性。反之，如果激光是多橫模結(jié)構(gòu)，由于不同模式的光波場(chǎng)是非相干的，所以激光的空間相干性程度減小，而另一方面多橫模就意味著方向性變差(高次模發(fā)散角加大)。這表明，激光的方向性越好，它的空間相干性程度就越高。激光的高度空間相干性在物理上是容易理解的。以平行平面腔TEM。。單橫模激光器為例，工作物質(zhì)內(nèi)所有激發(fā)態(tài)原于在同一TEM。。模光波場(chǎng)激發(fā)(控制)下受激輻射，并且受激輻射光與激發(fā)光波場(chǎng)同相位、同頻率、同偏振和同方向．即所有原子的受激輻射都在TEM。。模內(nèi)，因而激光器發(fā)出的TEM。。模激光束接近于沿腔鈾傳播的平面波即接近于完全空間相干光并具有很小的光束發(fā)散角。 由此可見(jiàn)，為了提高激光器的空間相干性，首先應(yīng)限制激光器工作在TEM。。單橫模；其次，合理選擇光腔的類型以及增加腔長(zhǎng)以利于提高光束的方向性。另外，許多實(shí)際因素，如工作物質(zhì)的不均勻姓、光腔的加工和調(diào)整誤差等都會(huì)導(dǎo)致方向性變差。激光所能達(dá)到的最小光束發(fā)散角還要受到衍射效應(yīng)的限制，它不能小于激光通過(guò)輸出孔徑時(shí)的衍射角θm。θm稱為衍射極限。設(shè)光腔輸出孔徑為2α，則衍射極限θm為θm≈λ/2α[rad]（）例如對(duì)氨氖氣體激光器，λ＝0.63微米，取2α＝3毫米，則θm≈2*10-4弧度。第四十九頁(yè)，共568頁(yè)。不同類型激光器的方向性差別很大，它與工作物質(zhì)的類型和均勻性、光腔類型和腔長(zhǎng)、激勵(lì)方式以及激光器的工作狀態(tài)有關(guān)，氣體激光器由于工作物質(zhì)有良好的均勻性．并且腔長(zhǎng)一般較大，所以有最好的方向性，可達(dá)到θm≈10-3弧度，He—Ne激光器甚至可達(dá)3x10-4弧度，這已十分接近其衍射極限θm。固體激光器方向性較差．一般在10-2弧度量級(jí)。其主要原因是，有許多因素造成固體材料的光學(xué)非均勻性，以及一般固體激光器使用的腔長(zhǎng)較短和激勵(lì)的非均勻性等，半導(dǎo)體激光器的方向性最差，一般在(5～10)xI0-2?；《攘考?jí)。激光束的空間相干性和方向性對(duì)它的聚焦性能有重要影響?？梢宰C明，當(dāng)一束發(fā)散角為θ的單色光被焦距為F的透鏡聚焦時(shí)，焦面光斑直徑D為D=Fθ(1.5.2)在θ等于衍射極限θm。的情況下，則有Dm≈Fλ/2α(1.5.3)這表示在理想情況下，有可能將激光的巨大能量聚焦到直徑為光波波長(zhǎng)量級(jí)的光斑上，形成極高的能量密度。三時(shí)間相干性和單色性激光的相干時(shí)間τc和單色性Δv存在簡(jiǎn)單的關(guān)系：τc=1/Δv即單色性越高，相干時(shí)間越長(zhǎng)。第五十頁(yè)，共568頁(yè)。對(duì)于單橫模(TEM。。)激光器，其單色性取決于它的縱模結(jié)構(gòu)和模式的頻帶寬度。如果激光在多個(gè)縱模上振蕩，則由第二章可知，激光由多個(gè)相隔Δvq(縱模間隔)的不同頻率的光所組成，故單色性較差，如圖圖所示。理論分析證明，單程激光器的譜線寬度Δvs極窄(見(jiàn)第五章)。例如。對(duì)單模輸出功率P。＝1mM的He—Ne激光器．取δ＝0．01，L＝1m，則Δvs≈5Xl0-4Hz，這顯然是極高的單色性。但實(shí)際上很難達(dá)到達(dá)一理論極限。在實(shí)際的激光器中，有一系列不穩(wěn)定因素(如溫度、振動(dòng)、氣流、激勵(lì)等)導(dǎo)致光腔諧振頻率的不穩(wěn)定，因此單縱模激光器的單色性主要由其頻率穩(wěn)定性決定。第五十一頁(yè)，共568頁(yè)。單模穩(wěn)頻氣體激光器的單色性最好，一般可達(dá)106一103，在采用最嚴(yán)格穩(wěn)頻措施的條件下，曾在He—Ne激光器中觀察到約2Hz的帶寬。固體激光器的單色性較差，主要是因?yàn)楣ぷ魑镔|(zhì)的增益曲線很寬，故很難保證單縱模工作。半導(dǎo)體激光器的單色性最差。練上所述，激光器的單模工作(選模技術(shù))和穩(wěn)頻對(duì)于提高相干性十分重要，一個(gè)穩(wěn)頻的TEM。。單縱模激光器發(fā)出的激光接近于理想的單色平面光波，即完全相干光。三激光的高亮度(強(qiáng)相干光)提高輸出功率和效率是發(fā)展激光器的重要課題。目前，氣體激光器(如CO2)能產(chǎn)生最大的連續(xù)功率，固體激光器能產(chǎn)生最高的脈沖功率，尤其是采用光腔Q調(diào)制技術(shù)和激光放大器后，可使激光振蕩時(shí)間壓縮到極小的數(shù)值(例如10-9s量級(jí))，從而獲得極高的脈沖功率。進(jìn)一步壓縮激光脈寬，還可采用鎖模技術(shù)，可使脈寬達(dá)到10-15秒。尤其重要的是激光功率（能量）可以集中在單一（或少數(shù)）模式中，因而具有極高的光子簡(jiǎn)并度。這是區(qū)別普通光的重要特征。充分利用本節(jié)所描述激光器的所有特性，即高單模功率，高單色性和方向性，可獲得極高的功率密度。例如，將一個(gè)千兆瓦級(jí)（109W）的調(diào)Q激光脈沖聚焦到直徑為5um的光斑上，則所獲得的功率密度可達(dá)1015W/cm2。這是普通光源根本無(wú)法達(dá)到的第五十二頁(yè)，共568頁(yè)。第二章開(kāi)放式光腔與高斯光束本章將討論光腔模式問(wèn)題。模式問(wèn)題在激光技術(shù)中具有重要的理論和實(shí)踐意義。它是理解激光的相干性、方向性、單色性等一系列重要特性，進(jìn)行激光器件的設(shè)計(jì)和裝調(diào)的基礎(chǔ)，也是研究和掌握激光本技術(shù)和應(yīng)用的基礎(chǔ)?！鶕?jù)幾何偏折損耗的高低．開(kāi)放式光腔可以分為穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔。穩(wěn)定腔的幾何偏折損耗很低，絕大多數(shù)中、小功率器件都采用穩(wěn)定腔。穩(wěn)定腔的模式理論是腔模理論中比較成熟的部分。由于穩(wěn)定腔應(yīng)用廣泛，其模式理論具有最廣泛、最重要的實(shí)踐意義穩(wěn)定腔模式理論是以共焦腔模的解析理論為基礎(chǔ)的。由解析理論得出，對(duì)方形鏡共焦腔，鏡面上的場(chǎng)分布可用厄米—高斯函數(shù)表示．而對(duì)圓形鏡共焦腔，鏡面上的場(chǎng)由拉蓋爾—高斯函數(shù)描述。并且整個(gè)腔內(nèi)(以及腔外)空間中的場(chǎng)都可以表示為厄米—高斯光束或拉蓋子爾---高斯光束的形式。據(jù)此，共焦腔振蕩模的一系列基本持征都可以解析地表示出來(lái)。在高斯光束傳輸規(guī)律的基礎(chǔ)上，可以建立一般(非共焦的)穩(wěn)定球面腔與共焦腔之間的等價(jià)性從而進(jìn)一步將共焦腔模式解析理論的結(jié)果推廣到一般穩(wěn)定球面腔，解決應(yīng)用最廣的這一大類諧振腔的模式問(wèn)題。采用穩(wěn)定腔的激光器所發(fā)出的激光，將以高斯光束的形式在空間傳輸。因此，研究高斯光束在空間的傳輸規(guī)律．以及光學(xué)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換規(guī)律，就成為激光的理論和實(shí)際應(yīng)用中的重要問(wèn)題。本章將討論最簡(jiǎn)單和最基本的情形，即高斯光束在自由空間(以及均勻各向同性介質(zhì))中的傳輸和簡(jiǎn)單透鏡(或球面反射鏡)系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換。第五十三頁(yè)，共568頁(yè)。穩(wěn)定腔雖有損耗低的優(yōu)點(diǎn)，但它不適用于某些高功率激光器。這些激光器要實(shí)現(xiàn)高功率基橫模運(yùn)轉(zhuǎn)，以便有盡可能高的輸出功率和盡可能好的光束質(zhì)量。穩(wěn)定腔內(nèi)基橫模的模體積太小，且與反射鏡鏡面尺寸無(wú)關(guān)。這意味著增大激活介質(zhì)的橫向尺寸無(wú)助于激光器輸出功率的提高．反而容易導(dǎo)致激光器的多橫模運(yùn)轉(zhuǎn)，降低輸出光束的質(zhì)量。所以穩(wěn)定腔無(wú)法運(yùn)用于上述情形。非穩(wěn)腔卻能同時(shí)滿足這兩個(gè)要求——高輸出功率和良好光束質(zhì)量。非穩(wěn)腔的損耗主要是傍軸光線的發(fā)散損耗，單程損耗很高，可達(dá)百分之幾十。為獲得高功率輸出，工作物質(zhì)的橫向尺寸拄往較大，因此衍射損耗可以忽略，可以采用幾何光學(xué)的分析方法。幾何光學(xué)分析方法表明非穩(wěn)腔曲線上僅存在一對(duì)共扼象點(diǎn)，非穩(wěn)腔中的基模就是從這一對(duì)共扼象點(diǎn)發(fā)出的自再現(xiàn)球面被。運(yùn)用幾何光學(xué)分析方法還可給非穩(wěn)腔的損耗特征及輸出光束特征。2．1光腔理論的一般問(wèn)題一光腔的構(gòu)成和分類在激活物質(zhì)的兩端恰當(dāng)?shù)胤胖脙蓚€(gè)反射鏡片，就構(gòu)成一個(gè)最簡(jiǎn)單的光學(xué)諧振腔。第五十四頁(yè)，共568頁(yè)。在激光技術(shù)發(fā)展歷史上最早提出的是所謂平行平面腔，它由兩塊平行平面反射鏡組成。這種裝置在光學(xué)上稱為法布里—珀羅干涉儀，簡(jiǎn)記為F—P腔。隨著激光技術(shù)的發(fā)展，以后又廣泛采用由兩塊具有公共軸線的球面鏡構(gòu)成的諧振腔，稱為共鈾球面腔，其中有一個(gè)反射鏡為(或兩個(gè)都為)平面的腔是這類腔的特例。從理論上分析這類腔時(shí)，通常認(rèn)為其側(cè)面沒(méi)有光學(xué)邊界(這是一種理想化的處理方法)．因此將這類諧振腔稱為開(kāi)放式光學(xué)諧振腔，或簡(jiǎn)稱開(kāi)腔。根據(jù)光學(xué)幾何逸出損耗的高低，開(kāi)腔通常又可分為穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔和臨界腔三類。氣體激光器是采用開(kāi)腔的典型例子。固體激光器的情形與此有所不同。由于固體激光材料通常都具有比較高的折射率(例如，紅寶石的折射率為1．76)，在側(cè)壁磨光的情況下．那些與軸線交角不太大的光線將在側(cè)壁上發(fā)生全內(nèi)反射。因此，如果腔的反射鏡緊貼著激光棒的兩端，則將形成類似于微波技術(shù)中所采用的“封閉腔。從理論上分析這類腔時(shí)，應(yīng)將它們作為介質(zhì)腔來(lái)處理。但是，通常的固體激光器的激光棒與腔反射鏡往往是分離的，這時(shí)，如果棒的直徑遠(yuǎn)比激射波長(zhǎng)大，而棒的長(zhǎng)度又遠(yuǎn)比兩腔鏡之間的距離短，則這種腔的特性基本上與開(kāi)腔類似。半導(dǎo)體激光器是使用介質(zhì)腔的典型例子，而且腔的橫向尺寸往往與波長(zhǎng)可以比較，因此．這是一種真正的介質(zhì)波導(dǎo)腔。另一種光腔是所謂氣體波導(dǎo)激光諧振腔，其典型結(jié)構(gòu)是在一段空心介質(zhì)波導(dǎo)管兩端適當(dāng)位置處放置兩塊適當(dāng)曲率的反射鏡片。這樣，在空心介質(zhì)波導(dǎo)管內(nèi)，場(chǎng)服從波導(dǎo)管中的傳輸規(guī)律，而在波導(dǎo)管與腔境之間的空間中，場(chǎng)按與開(kāi)腔中類似的規(guī)律傳播。這種腔與開(kāi)腔的差別在于：波導(dǎo)管的孔徑往往較小(雖然通常仍遠(yuǎn)比波長(zhǎng)為大)，以致不能忽略側(cè)面邊界的影響。第五十五頁(yè)，共568頁(yè)。幾種類型的光腔的典型結(jié)構(gòu)如圖圖所示，腔的大致分類如表表2.1。第五十六頁(yè)，共568頁(yè)。由兩個(gè)以上的反射鏡構(gòu)成諧振腔的情況也是常見(jiàn)的，折疊勝和環(huán)形腔就是這類諧振腔的例子。光學(xué)諧振腔的構(gòu)成方式還很多，在由兩個(gè)或多個(gè)反射鏡構(gòu)成的開(kāi)腔內(nèi)插入透鏡一類光學(xué)元件而構(gòu)成復(fù)合腔就是一例。除了前面講過(guò)的端面反饋的諧振腔外，近年來(lái)又發(fā)展了分布反饋式諧振腔，在半導(dǎo)體激光器及集成光學(xué)中已采用這類諧振腔。諧振腔可以按不同的方法分類，如分為端面反饋腔與分布反饋腔，球面腔與非球面腔．高損耗腔與低損耗強(qiáng)，駐波腔與行波腔，兩鏡腔與多鏡腔，簡(jiǎn)單腔與復(fù)合腔等。在本書(shū)中，我們只討論由兩個(gè)球面鏡構(gòu)成的開(kāi)放式光學(xué)諧振降，因?yàn)樗鼈兪亲詈?jiǎn)單相最常用的。同時(shí)，折疊腔、環(huán)形腔、復(fù)合腔等比較復(fù)雜的開(kāi)腔往往可以化為等效的兩鏡腔來(lái)處理。近年來(lái)，由于半導(dǎo)體激光器及氣體波導(dǎo)激光器的迅速進(jìn)展與走向?qū)嵱?，介質(zhì)波導(dǎo)腔與氣體空心波導(dǎo)腔在理論上以及實(shí)踐上都變得日益重要。二模的概念腔與模的一般聯(lián)系無(wú)論是閉腔或是開(kāi)腔，都將對(duì)腔內(nèi)的電磁場(chǎng)施以一定的約束。一切被約束在空間有限范圍內(nèi)的電磁場(chǎng)都將只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場(chǎng)的每一個(gè)本征態(tài)將具有一定的振蕩頻率和一定的空間分布。在激光技術(shù)的術(shù)語(yǔ)中，通常將光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場(chǎng)的本征態(tài)稱為腔的模式。從光子的觀點(diǎn)來(lái)看，激光模式也就是腔內(nèi)可能區(qū)分的光子的狀態(tài)。第五十七頁(yè)，共568頁(yè)。腔內(nèi)電磁場(chǎng)的本征態(tài)應(yīng)由麥克斯韋方程組及腔的邊界條件決定。由于不同類型和結(jié)構(gòu)的諧振腔邊界條件各不相同，因此諧振腔的模式也將各不相同。對(duì)閉腔一般可以通過(guò)直接求解麥克斯韋方程組來(lái)決定其模式，而尋求開(kāi)膠模式的問(wèn)題通常歸結(jié)為求解一定類型的積分方程。但不管是閉腔還是開(kāi)腔．一旦給定了降的具體結(jié)構(gòu)，則其中振蕩模的特征也就隨之確定下來(lái)，這就是腔與模的一般聯(lián)系。實(shí)際上，光學(xué)諧振腔理論也就是激光模式理論。我們的目的是弄清楚激光模式的基本特征及其與腔的結(jié)構(gòu)之間的具體依賴關(guān)系。所謂模的基本特征，主要指的是：每一個(gè)摸的電磁場(chǎng)分布，特別是在腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布；模的諧振頻率；每一個(gè)模在腔內(nèi)往返一次經(jīng)受的相對(duì)功率損耗；與每一個(gè)模相對(duì)應(yīng)的激光束的發(fā)散角。只要知道了腔的參數(shù)，就可以唯一地確定模的上述特征。在進(jìn)入嚴(yán)格的模式理論以前，本節(jié)利用均勻平面波模型討論開(kāi)腔中傍軸傳播模式的諧振條件，建立關(guān)于縱模頻率間隔的普遍表示式。這一表示式對(duì)各種類型的開(kāi)腔甚至閉腔都基本上是正確的?？疾炀鶆蚱矫娌ㄔ贔—P腔中沿軸線方向往返傳播的情形。當(dāng)波在腔鏡上反射時(shí)，入射波和反射波將會(huì)發(fā)生干涉，多次往復(fù)反射時(shí)就會(huì)發(fā)生多光束干涉。為了能在腔內(nèi)形成穩(wěn)定振蕩，要求波能因干涉而得到加強(qiáng)。發(fā)生相長(zhǎng)干涉的條件是：波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來(lái)位置時(shí)，應(yīng)與初始出發(fā)波同相(即相差為2л的整數(shù)倍)。第五十八頁(yè)，共568頁(yè)。如果以ΔΦ表示均勻平面波在腔內(nèi)往返一周時(shí)的相位滯后，則相長(zhǎng)干涉條件可以表為（）式中λ0為光在真空中的波長(zhǎng)，L’為腔的光學(xué)長(zhǎng)度，q為整數(shù)。將滿足上式的波長(zhǎng)以λ0q來(lái)標(biāo)記，則有

（）上式也可以用頻率vq=c/λ0q來(lái)表示：

（）上述討論表明：L’一定的諧振腔只對(duì)頻率滿足式(2.1.3)的光波才能提供正反蝕，使之諧振。式(2.1.2)、式(2.1.3)就是F—P腔中沿抽向傳播的平面波的諧振條件。滿足(2.1.2)式的λ0q稱為腔的諧振波長(zhǎng)，而滿足式(2—1—3)的vq稱為腔的諧振頻率。該式表明．F—P腔中的諧振頻率是分立的。第五十九頁(yè)，共568頁(yè)。式(2—1—1)通常又稱為光腔的駐波條件，因?yàn)楫?dāng)光的波長(zhǎng)和腔的光學(xué)長(zhǎng)度滿足該關(guān)式時(shí)，將在腔內(nèi)形成駐被。式(2—1—2)表明，達(dá)到諧振時(shí)，腔的光學(xué)長(zhǎng)度應(yīng)為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍。這正是腔內(nèi)駐波的特征。當(dāng)整個(gè)光腔內(nèi)充滿折射率為η的均勻物質(zhì)時(shí)，有

（）式中L為腔的幾何長(zhǎng)度(簡(jiǎn)稱腔長(zhǎng))。此時(shí)，式(2—1—2)可以寫成L=qλq/2（）式中/λq＝λ0q／η為物質(zhì)中的諧振波長(zhǎng)(見(jiàn)圖圖2—1—2)。第六十頁(yè)，共568頁(yè)?？梢詫—P腔中滿足式(2—1—3)的平面駐波場(chǎng)稱為腔的本征模式。其特點(diǎn)是：在腔的橫截面內(nèi)場(chǎng)分布是均勻的，而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波，駐波的波節(jié)數(shù)由q決定。通常將由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向場(chǎng)分布稱為強(qiáng)的縱模。不同的q值相應(yīng)于不同的縱摸。在這里所討論的簡(jiǎn)化模型中，縱摸q單值地決定摸的諧振頻率。腔的相鄰兩個(gè)縱模的頻率之差Δvq稱為縱摸間隔。由式(2—1—3)得出

（）可以看出，Δvq與q無(wú)關(guān)，對(duì)一定的光腔為一常數(shù)，因而腔的縱摸在頻率尺度上是等距離排列的，如圖圖2—1—3所示。其形狀象一把梳子，常常稱為“頗率梳”．圖中每一個(gè)縱模均以具有一定寬度Δvc的譜線表示。

第六十一頁(yè)，共568頁(yè)。對(duì)L＝10cm的氣體激光器(設(shè)η=1)，由式(2—1—6)得出Δvq＝1.5×109Hz對(duì)L＝100cm的氣體激光器Δvq＝1.5×108Hz對(duì)L＝10cm、η=1.76的紅寶石激光器Δvq＝8.5×108Hz上述例子給出了縱模間隔的數(shù)量概念