3年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義 第12講 等差數(shù)列應(yīng)用（教師版）

第12講等差數(shù)列應(yīng)用三年級(jí)秋季第12講等差數(shù)列應(yīng)用三年級(jí)秋季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)等差數(shù)列(進(jìn)階)應(yīng)用(三上)1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，由和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)可知，中間項(xiàng)=和÷項(xiàng)數(shù)．也就是說(shuō)，可以通過(guò)項(xiàng)數(shù)與和求出一個(gè)等差數(shù)列的中間數(shù)．2.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可以根據(jù)和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2，算出首項(xiàng)與末項(xiàng)的和．如果再能求出首項(xiàng)與末項(xiàng)的差，便能求出首相與末項(xiàng)的具體數(shù)值了．知識(shí)精講知識(shí)精講

我們來(lái)看一下幾個(gè)數(shù)列，(1)13,14,15,16,17,18,19；(2)7,10,13,16,19,22,25；(3)4,8,12,16,20,24,28；(4)10,12,14,16,18,20,22．這幾個(gè)數(shù)列有什么相同點(diǎn)呢？這幾個(gè)數(shù)列雖然都不一樣，但它們的項(xiàng)數(shù)、和與中間數(shù)都是相同的：項(xiàng)數(shù)都是7，和都是112，中間數(shù)都是16．其實(shí)只要項(xiàng)數(shù)與和相同，中間數(shù)就肯定相同了．課堂例題課堂例題項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)1、一個(gè)等差數(shù)列第1項(xiàng)為21，前7項(xiàng)和為105，這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)是多少？2121？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1項(xiàng)第2項(xiàng)第7項(xiàng)第10項(xiàng)和105【答案】

3【解析】

等差數(shù)列前7項(xiàng)和為105，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為．這個(gè)等差數(shù)列公差為，所以第10項(xiàng)為．2、11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為110，其中第6個(gè)數(shù)是__________．【答案】

10【解析】

11個(gè)數(shù)的中間項(xiàng)為第項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，所以第6個(gè)數(shù)為．3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前15項(xiàng)之和為450，前21項(xiàng)之和為819．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的公差是多少？首項(xiàng)是多少？2121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1項(xiàng)第2項(xiàng)第15項(xiàng)第21項(xiàng)和為450？和為819【答案】

3，9【解析】

等差數(shù)列前15項(xiàng)和為450，中間項(xiàng)為第8項(xiàng)，所以第8項(xiàng)為．前21項(xiàng)之和為819，中間項(xiàng)為第11項(xiàng)，所以第11項(xiàng)為．這個(gè)等差數(shù)列公差為，首項(xiàng)為．4、11個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1100，其中最大的數(shù)是多少？【答案】

110【解析】

11個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，中間項(xiàng)為第6項(xiàng)，所以第6項(xiàng)為，最大數(shù)為．項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)5、把248表示成8個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的偶數(shù)是__________．【答案】

38【解析】

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為8時(shí)，中間數(shù)是第4個(gè)數(shù)和第5個(gè)數(shù)之間的數(shù)．，所以第4個(gè)數(shù)為，所以最大偶數(shù)為．6、已知一個(gè)等差數(shù)列的前15項(xiàng)之和為450，前20項(xiàng)之和為750，請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的公差是______，首項(xiàng)是______．A．3，15B．5，15C．3，13D．3，9【答案】

D

【解析】

方法一：等差數(shù)列前15項(xiàng)的和是450，那么根據(jù)“”，得．同理，得．因此第20項(xiàng)與第15項(xiàng)的差是．顯而易見(jiàn)，第20項(xiàng)與第15項(xiàng)之間相差5個(gè)公差，所以1個(gè)公差就是．此時(shí)第15項(xiàng)與第1項(xiàng)的差是．根據(jù)和差問(wèn)題公式“”，得到數(shù)列的首項(xiàng)是．方法二：等差數(shù)列前15項(xiàng)的和是450，根據(jù)“”得中間項(xiàng)(第8項(xiàng))就是．又由于數(shù)列的前20項(xiàng)之和是750，因此數(shù)列中第16項(xiàng)至第20項(xiàng)這5個(gè)數(shù)的和就是，那么這5個(gè)數(shù)的中間項(xiàng)(原數(shù)列第18項(xiàng))是．它們之間相差個(gè)公差，因此數(shù)列的公差是．第8項(xiàng)與第1項(xiàng)相差個(gè)公差，所以數(shù)列的首項(xiàng)是．7、一個(gè)等差數(shù)列第8項(xiàng)為82，前7項(xiàng)和為490，這個(gè)數(shù)列的公差是多少？這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是多少？【答案】

3，118【解析】

等差數(shù)列前7項(xiàng)和為490，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為．公差為，第20項(xiàng)為．8、已知一個(gè)等差數(shù)列的前25項(xiàng)之和為325，前30項(xiàng)之和為465．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的公差是多少？首項(xiàng)是多少？【答案】

1，1【解析】

等差數(shù)列的前25項(xiàng)之和為325，中間項(xiàng)為第13項(xiàng)，所以第13項(xiàng)為．等差數(shù)列的前30項(xiàng)之和為465，則第26項(xiàng)至第30項(xiàng)的和為，所以第28項(xiàng)為．所以這個(gè)數(shù)列公差為，首項(xiàng)為．等差數(shù)列應(yīng)用9、在一次考試中，第一組同學(xué)的分?jǐn)?shù)恰好構(gòu)成了公差為3的等差數(shù)列，總分為609．卡莉婭發(fā)現(xiàn)自己的分?jǐn)?shù)算少了，找老師更正后，加了21分，這時(shí)他們的成績(jī)還是一個(gè)等差數(shù)列．請(qǐng)問(wèn)：卡莉婭正確的分?jǐn)?shù)是多少？【答案】

99分【解析】

一組同學(xué)的分?jǐn)?shù)構(gòu)成等差數(shù)列，把其中卡莉婭的分?jǐn)?shù)加上21分后，這組數(shù)仍構(gòu)成等差數(shù)列，那自然就知道卡莉婭的分?jǐn)?shù)在原數(shù)列中是最低的，也就是首項(xiàng)．同理，卡莉婭更正后的分?jǐn)?shù)是新數(shù)列的末項(xiàng)，而數(shù)列中其它各數(shù)都沒(méi)有變化．因此卡莉婭的分?jǐn)?shù)更正后，比原先分?jǐn)?shù)最高的同學(xué)還要高3分，因此原先卡莉婭的分?jǐn)?shù)比其他同學(xué)中最高分低分，即原數(shù)列的首項(xiàng)比末項(xiàng)少18．根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式，得，所以這組同學(xué)有7人．因，則成績(jī)位于中間位置的同學(xué)(第4名)得了87分．原先卡莉婭的分?jǐn)?shù)比他少分，更正后就比他多分．所以卡莉婭更正后的分?jǐn)?shù)為分．33差21？卡莉婭原來(lái)的分?jǐn)?shù)卡莉婭現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)和609

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、一個(gè)等差數(shù)列第1項(xiàng)為3，前11項(xiàng)和為198，這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)是多少？【答案】

60【解析】

等差數(shù)列前11項(xiàng)和為198，中間項(xiàng)為第6項(xiàng)，所以第6項(xiàng)為．這個(gè)等差數(shù)列公差為，所以第20項(xiàng)為．2、7個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和為91，其中最小的奇數(shù)是__________．【答案】

7【解析】

7個(gè)數(shù)的中間項(xiàng)為第項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，，所以第4個(gè)數(shù)為．相鄰兩個(gè)奇數(shù)差2，所以最小奇數(shù)為．3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前13項(xiàng)之和為533，前15項(xiàng)之和為690．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是多少？【答案】

11【解析】

等差數(shù)列前13項(xiàng)和為533，中間項(xiàng)為第7項(xiàng)，所以第7項(xiàng)為．前15項(xiàng)之和為690，中間項(xiàng)為第8項(xiàng)，所以第8項(xiàng)為．這個(gè)等差數(shù)列公差為，首項(xiàng)為．4、把115表示成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，其中最小的數(shù)是幾？【答案】

7【解析】

10個(gè)連續(xù)自然數(shù)成公差為1的等差數(shù)列，所以首項(xiàng)和末項(xiàng)和為，末項(xiàng)比首項(xiàng)大9，所以最小數(shù)為．課后作業(yè)課后作業(yè)1、5個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為15，那么最大的那個(gè)數(shù)是________．【答案】

5【解析】

5個(gè)連續(xù)自然數(shù)中間項(xiàng)為第3項(xiàng)，所以第3項(xiàng)為，那么最大數(shù)為．2、7個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和為112，其中最小的那個(gè)數(shù)是________．【答案】

10【解析】

7個(gè)連續(xù)偶數(shù)中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為，那么最小數(shù)為．3、8個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和為112，其中最小的那個(gè)數(shù)是________．【答案】

7【解析】

8個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和為112，則首項(xiàng)和末項(xiàng)和為，首項(xiàng)和末項(xiàng)相差，所以較小數(shù)為．4、已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是1，前3項(xiàng)之和為15，那么這個(gè)數(shù)列的公差是________．【答案】

4【解析】

等差數(shù)列前3項(xiàng)之和為15，中間項(xiàng)為第2項(xiàng)，所以第2項(xiàng)為，這個(gè)數(shù)列公差為．5、已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是17，前7項(xiàng)之和為161，那么這個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)是________．【答案】

37【解析】

等差數(shù)列前7項(xiàng)之和為161，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，所以第4項(xiàng)為，這個(gè)數(shù)列公差為，第11項(xiàng)為．6、一個(gè)等差數(shù)列的第10項(xiàng)是35，前9項(xiàng)之和為180，這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是_________．【答案】

8【解析】

等差數(shù)列前9項(xiàng)和為180，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，所以第5項(xiàng)為，公差為，首項(xiàng)為．7、一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)之和為15，前9項(xiàng)之和為180，這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是_________．【答案】

0【解析】

等差數(shù)列前3項(xiàng)之和為15，中間項(xiàng)為第2項(xiàng)，所以第2項(xiàng)為．同理，前9項(xiàng)之和為180，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，所以第5項(xiàng)為．公差為，首項(xiàng)為．8、把325表示成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，其中最小的數(shù)是_________．【答案】

28【解析】

10個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)與末項(xiàng)和為，首項(xiàng)和末項(xiàng)相差，所以最小數(shù)為．9、已知一個(gè)等差數(shù)列的前11項(xiàng)之和為451，前19項(xiàng)之和為1235，這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是_________．【答案】

11【解析】

等差數(shù)列前11項(xiàng)之和為451，中間項(xiàng)為第6項(xiàng)，所以第6項(xiàng)為．同理，前19項(xiàng)之和為1235，中間項(xiàng)為第10項(xiàng)，所以第10項(xiàng)為．公差為，首項(xiàng)為．10、魔術(shù)師表演魔術(shù)．剛開(kāi)始，桌上的盒子里放著3個(gè)乒乓球．第一次