特選談高考中立體幾何題的解答

談高考中立體幾何解答題的解答 二〇〇九年五月談高考中立體幾何解答題的解答立體幾何解答題在高考中占１２分，一般考察立體幾何知識掌握情況及解答技巧。如線面垂直、面面垂直、線面平行，線面角、二面角等問題。解答題的難點在如何找線面垂直，如何找二面角及如何求解二面角。下面就解答立體幾何解答題談自己一點看法。一、如何求解線面平行和線面垂直１.線面平行和線面垂直一般在第一問考察，線面平行主要在平面內找與直線平行的直線。例1.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面變長為2a，側棱長為a，點D為棱A1C1中點,點E為棱AC中點。〔1〕求證：直線BC1∥平面AB1D分析：連A1B交AB1與E，連結DE，那么DE∥BC1例2.如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,,,為的中點，為的中點〔1〕證明：直線分析：做QD的中點E，連結ME,EC,那么四邊形MNCE為平行四邊形，所以MN∥EC點評：找平行線一般可以找在三角形的中位線或者找平行四邊形的對邊平行。２.線面平行的考察一般我們要在面內找兩條相交直線與直線平行，方法注意用三垂線定理，有時也用三角形相似。例3.ABCDEA1B1C1DABCDEA1B1C1D1〔Ⅰ〕證明：平面；解：依題設知，．〔Ⅰ〕連結交于點，那么．由三垂線定理知，．ABCDEA1B1CABCDEA1B1C1D1FHG由于，故，，與互余．于是．與平面內兩條相交直線都垂直，所以平面． 例4.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，，平面．．〔Ⅰ〕求證：平面；解：〔Ⅰ〕平面，平面．．又，．，，，即．又．平面．二、如何找二面角和求解二面角求解二面角是高考考察的重點，求二面角的方法主要有定義法，垂面法，三垂線法，射影面積法。下面介紹這四種方法：1、用定義法求二面角的平面角利用二面角的定義，在二面角棱上取一點，過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線，兩射線所成的角為二面角的平面角。例5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1,求平面A1BD和平面C1BD所成的角的大小.分析：做棱ＢＤ中點Ｅ，連結EA1，EC1那么角A1EC1為所求二面角，然后解三角形求得點評；定義法關鍵是在棱上找一個適宜的點，在兩個半平面內作棱的兩條垂線。2．三垂線法求二面角的平面角利用三垂線定理及逆定理通過證明線線垂直，找出二面角的平面角，關鍵在找平面的垂線。例6．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為１，P是AD中點，求二面角A-BD1-P的大小解：過P作PF⊥D1A于F,過P作PE⊥BD于E,連結EF∵AB⊥平面AA1D1D,∴AB⊥FP又FP⊥D1A∴FP⊥平面D1ABEF為PE在平面D1AB內的射影，PE⊥BD∴PE⊥EF∴∠FEP為二面角A-BD1-P的平面角∴二面角A-BD1-P的大小為30°點評：三垂線法一般步驟是：①找一個面的垂線〔即線面垂直〕②過其中一點作棱的垂線〔即作棱的垂線〕3．垂面法求二面角的平面角作于棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角。例7．如圖P為二面角α–l–β內一點，PA⊥α于點A,PB⊥β于點B,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。4．用射影面積法求二面角的平面角作二面角比較困難時，我們可以嘗試用射影法求二面角的平面角，公式，其中θ為所求二面角的平面角，S射為一個面積為S原的平面圖形在另一個平面內的射影面積。例8．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1,E為棱AA1的中點，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小分析：以上四種方法求解二面角高考題中常用的是三垂線法和面積法，三垂線法難點是第一步：找其中一個面得垂線。如果題設告訴兩個面垂直或者證明兩個面垂直，我們先找兩個面的棱，再在其中一個面內找棱的垂線，這樣找出來再證明就容易了。三、立體幾何題中體積和點到平面的距離的求解體積一般有柱體和椎體的體積，先找底面再找高線，有時還用等體積轉化來求所求體積。點到平面的距離，還是找線面垂直，上邊已經談過，注意還可以用借體求高告的方法。例9.如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.〔Ⅰ〕求證AE⊥平面BCE；〔Ⅱ〕求二面角B—AC—E的大??；〔Ⅲ〕求點D到平面ACE的距離.解：〔Ⅰ〕平面ACE.∵二面角D—AB—E為直二面角，且，平面ABE.〔Ⅱ〕連結BD交AC于C，連結FG，∵正方形ABCD邊長為2，∴BG⊥AC，BG=，平面ACE，由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC.是二面角B—AC—E的平面角.由〔Ⅰ〕AE⊥平面BCE，又，∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.又直角，∴二面角B—AC—E等于〔Ⅲ〕過點E作交AB于點O.OE=1.∵二面角