初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 第10關(guān) 以二次函數(shù)與相似三角形問題為背景的解答題（解析版）

第十關(guān)以二次函數(shù)與相似三角形問題為背景的解答題【總體點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)在全國(guó)中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國(guó)家級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。二次函數(shù)與相似三角形的存在性問題是中考考試的一個(gè)熱點(diǎn)。解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，互相滲透．存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問題．解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)．【解題思路】理解存在性問題的解題思路，根據(jù)已知角相等找出對(duì)應(yīng)邊成比例，存在性問題的知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的要求較高。一般思路是從存在的角度出發(fā)→推理論證→得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，若導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷.函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題途徑:①求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí),先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn),進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形,根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論;②利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角,在未知三角形中利用勾股定理/三角函數(shù)/對(duì)稱/旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大小;③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出,則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)關(guān)系式表示各邊的長(zhǎng)度,之后利用相似列方程求解.【典型例題】【例1】（2019·湖南中考真題）如圖1，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)A、O、B分別落在拋物線F1：的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2.(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，拋物線F2：經(jīng)過A'、B'兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M為拋物線F2的對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，且點(diǎn)A'恰好在以O(shè)M為直徑的圓上，連接OM、A'M，求△OA'M的面積；(3)如圖2，延長(zhǎng)OB'交拋物線F2于點(diǎn)C，連接A'C，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)；(2)S△OA'M＝8；(3)點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)時(shí)，以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.【解析】【分析】(1)把x＝﹣4代入解析式，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把y=-2代入解析式，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)A的位置關(guān)系即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B'作B'G⊥x軸于點(diǎn)G，先求出點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)，OA＝OA'＝，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線F2解析式為：，對(duì)稱軸為直線：，設(shè)M(6，m)，表示出OM2，A'M2，進(jìn)而根據(jù)OA'2+A'M2＝OM2，得到(4)2+m2+8m+20＝36+m2，求得m＝﹣2，繼而求得A'M＝，再根據(jù)S△OA'M＝OA'?A'M通過計(jì)算即可得；(3)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)D，使得以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似，先求得直線OA與x軸夾角為45°，再分點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸時(shí)，∠AOD＝45°，此時(shí)△AOD不可能與△OA'C相似，點(diǎn)D在x軸正半軸或y軸正半軸時(shí)，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如圖2、圖3)，此時(shí)再分△AOD∽△OA'C，△DOA∽△OA'C兩種情況分別討論即可得.【詳解】(1)當(dāng)x＝﹣4時(shí)，，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)，當(dāng)y＝﹣2時(shí)，，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)；(2)如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B'作B'G⊥x軸于點(diǎn)G，∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠B'OG＝∠OBE，在△B'OG與△OBE中，∴△B'OG≌△OBE(AAS)，∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，∵點(diǎn)B'在第四象限，∴B'(2，﹣1)，同理可求得：A'(4，﹣4)，∴OA＝OA'＝，∵拋物線F2：y＝ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A'、B'，∴，解得：，∴拋物線F2解析式為：，∴對(duì)稱軸為直線：，∵點(diǎn)M在直線x＝6上，設(shè)M(6，m)，∴OM2＝62+m2，A'M2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m2+8m+20，∵點(diǎn)A'在以O(shè)M為直徑的圓上，∴∠OA'M＝90°，∴OA'2+A'M2＝OM2，∴(4)2+m2+8m+20＝36+m2，解得：m＝﹣2，∴A'M＝，∴S△OA'M＝OA'?A'M＝；(3)在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)D，使得以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似，∵B'(2，﹣1)，∴直線OB'解析式為y＝﹣x，，解得：(即為點(diǎn)B')，，∴C(8，﹣4)，∵A'(4，﹣4)，∴A'C∥x軸，A'C＝4，∴∠OA'C＝135°，∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°，∵A(﹣4，﹣4)，即直線OA與x軸夾角為45°，∴當(dāng)點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸或y軸負(fù)半軸時(shí)，∠AOD＝45°，此時(shí)△AOD不可能與△OA'C相似，∴點(diǎn)D在x軸正半軸或y軸正半軸時(shí)，∠AOD＝∠OA'C＝135°(如圖2、圖3)，①若△AOD∽△OA'C，則，∴OD＝A'C＝4，∴D(4，0)或(0，4)；②若△DOA∽△OA'C，則，∴OD＝OA'＝8，∴D(8，0)或(0，8)，綜上所述，點(diǎn)D坐標(biāo)為(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)時(shí)，以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形與△OA'C相似.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與幾何的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運(yùn)用.【例2】（2019·江蘇中考真題）如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且與直線關(guān)于的對(duì)稱直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是______；（2）直線與直線交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過點(diǎn)作直線與線段、分別交于點(diǎn)，，使得與相似．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②若對(duì)于每一個(gè)確定的的值，有且只有一個(gè)與相似，請(qǐng)直接寫出的取值范圍______．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；（2）由對(duì)稱軸可知點(diǎn)C（2，），A（-，0），點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（，0），借助AD的直線解析式求得B（5，3）；①當(dāng)n=時(shí)，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△DPQ∽△DAB，DP=9；當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，DP=9；②當(dāng)PQ∥AB，DB=DP時(shí)，DB=3，DN=，所以N（2，），則有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似時(shí)，＜n＜.【詳解】（1）頂點(diǎn)為；故答案為；（2）對(duì)稱軸，，由已知可求，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，則關(guān)于對(duì)稱的直線為，，①當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，；當(dāng)與不平行時(shí)，，，，；綜上所述；②當(dāng)，時(shí)，，，，，∴有且只有一個(gè)與相似時(shí)，；故答案為；【名師點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【方法歸納】?jī)蓚€(gè)定三角形是否相似：（1）已知有一個(gè)角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。（2）不知道是否有一個(gè)角相等的情形：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個(gè)三角形各邊的長(zhǎng)，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。一個(gè)定三角形和動(dòng)三角形相似：（1）已知有一個(gè)角相等的情形：先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示出來（用字母表示），然后把兩個(gè)目標(biāo)三角形（題中要相似的那兩個(gè)三角形）中相等的那個(gè)已知角作為夾角，分別計(jì)算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對(duì)應(yīng)成比例（要注意是否有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(diǎn)。（2）不知道是否有一個(gè)角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出定三角形三邊的長(zhǎng)度，用觀察法得出某一個(gè)角可能是特殊角，再為該角尋找一個(gè)直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（用字母表示）后，分析在動(dòng)三角形中哪個(gè)角可以和定三角形中的那個(gè)特殊角相等，借助于特殊角，為動(dòng)點(diǎn)尋找一個(gè)直角三角形，求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個(gè)角相等的兩個(gè)定三角形是否相似的問題了，只需再驗(yàn)證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)符合題意，否則這樣的點(diǎn)不存在。簡(jiǎn)稱“找特角，求（動(dòng)）點(diǎn)標(biāo)，再驗(yàn)證”?；蚍Q為“一找角，二求標(biāo)，三驗(yàn)證”?！踞槍?duì)練習(xí)】1．（2019·陜西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，-6），L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為.（1）求拋物線L的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，且位于第一象限，過點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)y=－x2－5x－6；(2)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)?！窘馕觥俊痉治觥?1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；(2)由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L′的表達(dá)式為y＝x2－5x＋6，設(shè)P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根據(jù)PD⊥y軸，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD與Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽R(shí)t△AOB或Rt△ODP∽R(shí)t△AOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可得.【詳解】(1)由題意，得，解得：，∴L：y=－x2－5x－6；(2)∵拋物線L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為，∴點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′(3，0)、B′(0，6)，∴設(shè)拋物線L′的表達(dá)式y(tǒng)＝x2＋bx＋6，將A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，∴拋物線L′的表達(dá)式為y＝x2－5x＋6，∵A(－3，0)，B(0，－6)，∴AO＝3，OB＝6，設(shè)P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，∵PD⊥y軸，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m2－5m＋6)，∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，∵Rt△PDO與Rt△AOB相似，∴有Rt△PDO∽R(shí)t△AOB或Rt△ODP∽R(shí)t△AOB兩種情況，①當(dāng)Rt△PDO∽R(shí)t△AOB時(shí)，則，即，解得m1＝1，m2＝6，∴P1(1，2)，P2(6，12)；②當(dāng)Rt△ODP∽R(shí)t△AOB時(shí)，則，即，解得m3＝，m4＝4，∴P3(，)，P4(4，2)，∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的特點(diǎn)、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確把握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.2．（2019·遼寧中考模擬）如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．【解析】【分析】（1）將A（3，0），C（0，4）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．（2）先根據(jù)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到PM的長(zhǎng)．（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對(duì)應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定判斷出△PCM的形狀．【詳解】解：（1）∵拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），∴，解得．∴拋物線的解析式為．（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∵A（3，0），點(diǎn)C（0，4），∴，解得．∴直線AC的解析式為．∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）．∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）．∴PM=PE－ME=（）－（）=．∴PM=（0＜m＜3）．（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似．理由如下：由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM為直角三角形．②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．∴△PCM為等腰三角形．綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似．此時(shí)m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．3．（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面積的最大值．(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)點(diǎn)或．【解析】【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2），即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，兩種情況分別求解，通過角的關(guān)系，確定直線OQ傾斜角，進(jìn)而求解．【詳解】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：…①；(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：直線PD的表達(dá)式為：，則，，∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)∵，∴，∵，故與相似時(shí)，分為兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，，過點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H，，解得：，則，則，則直線OQ的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：(舍去負(fù)值)，故點(diǎn)②時(shí)，，則直線OQ的表達(dá)式為：…③，聯(lián)立①③并解得：，故點(diǎn)；綜上，點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．4．（2019·山東初三期末）如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在直線BC上有一點(diǎn)P，使PO+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P(,)；（3）當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．【解析】【分析】（1）先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程，從而可求得b、c的值；（2）作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，則O′（3，3），則OP+AP的最小值為AO′的長(zhǎng)，然后求得AO′的解析式，最后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求得CD、BC、BD的長(zhǎng)，依據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形，然后分為△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB兩種情況求解即可．【詳解】（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）.將C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，則O′（3，3）．∵O′與O關(guān)于BC對(duì)稱，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小值=O′A==5．O′A的方程為y=P點(diǎn)滿足解得：所以P(,)（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，△AQC∽△DCB．如圖所示：連接AC，過點(diǎn)C作CQ⊥AC，交x軸與點(diǎn)Q．∵△ACQ為直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴，即，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，分類討論的思想．5．（2019·湖南麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校慈利校區(qū)初三開學(xué)考試）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中,.該拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于另一點(diǎn).(1)求的值及該拋物線的解析式;(2)如圖2.若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形與△相似,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）當(dāng)，即時(shí)，最大，此時(shí),所以；（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或.【解析】分析：（1）把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出b與c的值即可；（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時(shí)P的坐標(biāo)即可；（3）存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出AQ的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出Q坐標(biāo)即可．詳解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)B，∴，解得：，則二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）如圖2，△APM與△DPN都為等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN為直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，設(shè)AP=m，則有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM?PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴當(dāng)m=2，即AP=2時(shí)，S△MPN最大，此時(shí)OP=3，即P（3，0）；（3）存在，易得直線CD解析式為y=x﹣5，設(shè)Q（x，x﹣5），由題意得：∠BAD=∠ADC=45°，分兩種情況討論：①當(dāng)△ABD∽△DAQ時(shí)，=，即=，解得：AQ=，由兩點(diǎn)間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此時(shí)Q（，﹣）；②當(dāng)△ABD∽△DQA時(shí)，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此時(shí)Q（2，﹣3）．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（，﹣）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2019·貴州初三）如圖，已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)（1）若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①M(fèi)(12,92)N(12【解析】【分析】（1）①如圖1，把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式可得到頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為(12，92)，然后計(jì)算自變量為1②易得MN=32，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m+4)，則D(m,-2m2+2m+4)，則PD=-2m2+4m，由于PD//MN，根據(jù)平行四邊形的判定方法，當(dāng)（2）如圖2，利用勾股定理計(jì)算出AB=25，再表示出P(1,2)，則可計(jì)算出PB=5，接著表示出拋物線解析式為y=ax2-2(a+1)x+4，則可用a表示出點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,2-a)，所以PD【詳解】（1）①如圖1，∵y∴頂點(diǎn)為M的坐標(biāo)為(12，當(dāng)x=12時(shí)，y=-2×12+4=3②不存在．理由如下：MN=設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m∴PD∵PD當(dāng)PD=MN時(shí)，四邊形MNPD為平行四邊形，即-2m2+4m=32，解得∵PN∴PN∴平行四邊形MNPD不為菱形，∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形；（2）存在．如圖2，OB=4，OA=2，則當(dāng)x=1時(shí)，y=-2x∴PB設(shè)拋物線的解析式為y=把A(2,0)代入得4∴拋物線的解析式為y=當(dāng)x=1時(shí)，y=a∴PD∵DC∴∠DPB∴當(dāng)PDBO=PBBA時(shí)，ΔPDB∽ΔBOA，即當(dāng)PDBA=PBBO時(shí)，ΔPDB∽ΔBAO，即綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的判定；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；靈活運(yùn)用相似比表示線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．7．（2019·遼寧中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與全等時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為：，；（3）若與全等，點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為，，，．【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法，直接將代入解析式即可求解．（2）由平分，平行即可求出，繼而得出點(diǎn)坐標(biāo)，由直線解析式即可求出與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即可．（3）由三點(diǎn)的坐標(biāo)可得三邊長(zhǎng)，由坐標(biāo)可得和中，則另兩組邊對(duì)應(yīng)相等即可，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為；利用兩點(diǎn)間距離公式即列方程求解．【詳解】（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為：．（2）如圖1，設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，平分，，又，，，．在中，，．，；．①當(dāng)時(shí)，直線解析式為：，依題意得：．解得：，，點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)縱坐標(biāo)．，②當(dāng)時(shí)，直線解析式為：，同理可求：，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，（3）由題意可知：，，，，，，直線經(jīng)過，，直線解析式為，拋物線對(duì)稱軸為，而直線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，坐標(biāo)為；，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，，若與全等，有兩種情況，Ⅰ．，，即．，解得：，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，．Ⅱ．，，即．，解得：，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，．故若與全等，點(diǎn)有四個(gè)，坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．（2019·杭州市行知中學(xué)初三開學(xué)考試）如圖，已知直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；（3）過點(diǎn)P作PE∥y軸，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QF∥y軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥PQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（4）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）．（4）．【解析】【詳解】試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=-x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）由直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可知：∠QAP=45°，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3-t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，-t+3），則EP=3-t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3-t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），則FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四邊形為平行線四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知EP=FQ，從而的到關(guān)于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后將t=1代入即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP=t，BQ=（3-t），然后由拋物線的解析式求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可求得MB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于t的方程，然后即可解得t的值．試題解析：（1）∵y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），將A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得，解得∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如圖①所示：∠PQA=90°時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3-t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；如圖②所示：∠QPA=90°時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則QA=t，PA=3-t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．綜上所述，當(dāng)t=1或t=時(shí)，△PQA是直角三角形；（3）如圖③所示：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，-t+3），則EP=3-t，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3-t，t），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），則FQ=3t-t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．將t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，3）．（4）如圖④所示：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP=t，BQ=（3-t）．∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．∴MB=．當(dāng)△BOP∽△QBM時(shí)，即：，整理得：t2-3t+3=0，△=32-4×1×3＜0，無解：當(dāng)△BOP∽△MBQ時(shí)，即：，解得t=．∴當(dāng)t=時(shí)，以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．9．（2019·遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，4），交x軸正半軸于點(diǎn)B，連接AC，點(diǎn)E是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，B重合），以O(shè)E為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線段FB繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FP，過點(diǎn)P作PH∥y軸，PH交拋物線于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E（a，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．（3）當(dāng)PH＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．【解析】【詳解】（1）點(diǎn)C（0，4），則c＝4，二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝＝，△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，則或，解得：a＝或；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點(diǎn)B（4，0）；分別延長(zhǎng)CF、HP交于點(diǎn)N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，F(xiàn)P＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴點(diǎn)P（2a，4），點(diǎn)H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或或或（舍去），故：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，其中（2）、（3），要注意分類求解，避免遺漏．10．（2019·遼寧初三期末）如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點(diǎn)，并與過A點(diǎn)的直線y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C．（1）求拋物線解析式及對(duì)稱軸；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點(diǎn)N，使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；（2）存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3）或（2，﹣1）【解析】分析：（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）將四邊形周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行分類討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，表示點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．詳解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx-1，得解得∴拋物線解析式為：y=x2?x?1∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=-＝1（2）存在使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最小，只需PC+PO最小∴取點(diǎn)C（0，-1）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′（2，-1），連C′O與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)C′、O直線解析式為：y=kx∴k=-∴y=-x則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-）（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時(shí)，如圖，延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵M(jìn)N⊥AC∴M、D關(guān)于AN對(duì)稱，則N為DM中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，-a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-a?1）∵N為DM中點(diǎn)∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2a，a?1）把M代入y=x2?x?1，解得a=4則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）當(dāng)△AOC∽△CNM時(shí)，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′即為點(diǎn)N由（2）N（2，-1）∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）或（2，-1）點(diǎn)睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點(diǎn)之間線段最短的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造、三角形相似．解答時(shí)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．11．（2019·湖北中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，對(duì)稱軸為的拋物線過兩點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn)，連接．（1）直接寫出點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)（點(diǎn)除外），使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【解析】【分析】（1）y=x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=6，故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（6，0）、（0，3），即可求解；（2）PH=PGcosα=,即可求解；（3）分點(diǎn)Q在x軸上方、點(diǎn)Q在x軸下方兩種情況，分別求解．【詳解】（1），令，則，令，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，拋物線的對(duì)稱軸為，則點(diǎn)，則拋物線的表達(dá)式為：，即，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：，則，，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則∵，故有最小值，此時(shí)，則點(diǎn)；（3）①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，則點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與全等，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則，當(dāng)時(shí)，直線BC表達(dá)式的值為，則直線表達(dá)式的值為，設(shè)直線表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并解得：或﹣8（舍去6），故點(diǎn)坐標(biāo)為（舍去）；當(dāng)時(shí)，同理可得：直線的表達(dá)式為：③，聯(lián)立①③并解得：或﹣10（舍去6），故點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)的對(duì)稱性，另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．12．（2019·廣東中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)在軸的正半軸上，交軸于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接.（1）求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形是平行四邊形；（3）如圖2，過頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，點(diǎn)為垂足，使得與相似（不含全等）.①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②直接回答這樣的點(diǎn)共有幾個(gè)？【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，，②點(diǎn)P共有3個(gè).【解析】【分析】(1)令y=0，可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)解析式配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如圖2，易得，由此可得，繼而證明為等邊三角形，推導(dǎo)可得，再由，，可得，問題得證；(3)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分三種情況：點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)在之間，分別討論即可得；②由①的結(jié)果即可得.【詳解】(1)令，解得或，故，，配方得，故；(2)∵，CO⊥AF，∴OF=OA=1，如圖，DD1⊥軸，∴DD1//CO，∴，∴，即，∴，∴CF==2，∴，即為等邊三角形，∴∠AFC=∠ACF=60°，∵∠ECF=∠ACF，∴，∴，∵CF：DF=OF：FD1=1：2，∴DF=4，∴CD=6，又∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形；(3)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，(ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，因?yàn)榕c相似，則1)，即，∴(舍)，x2=-11；2)，即，∴(舍)，；(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，因?yàn)榕c相似，則3)，即，∴(舍)，(舍)；4)，即，∴(舍)，(舍)；(ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，∵與相似，則5)，即，∴(舍)，(舍)；6)，即，∴(舍)，；綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，；②由①可得這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)與幾何綜合題，涉及了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確進(jìn)行分類討論并畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.13．（2019·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，又已知位于軸右側(cè)且垂直于軸的動(dòng)直線，沿軸正方向從運(yùn)動(dòng)到（不含點(diǎn)和點(diǎn)），且分別交拋物線，線段以及軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接，，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得和相似的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）作，垂足為，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）只有當(dāng)∠PEA=∠AOC時(shí)，PEA△∽AOC，可得：PE=4AE，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（4k-2，k），即可求解；（3）利用Rt△PFD∽R(shí)t△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解．【詳解】（1）由已知，將代入，∴.將點(diǎn)和代入，得，解得.∴拋物線的表達(dá)式為.（2）∵，，∴，.∵軸，∴，∵，∴只有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，∴.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入，得，解得（舍去），.當(dāng)時(shí)，.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）在中，，∵軸，∴，∴，∴，∴.由，知，又，∴，又.∴.∴當(dāng)最大時(shí)，最大.由，可解得所在直線的表達(dá)式為.設(shè)，則，∴.∴當(dāng)時(shí)，有最大值4.∴當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．14．（2019·廣西中考模擬）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，，，作直線BC．求拋物線的解析式；點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；條件同，若與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【解析】【分析】把，，代入，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，然后由點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到，接下來，依據(jù)三角形的面積公式求解即可；當(dāng)∽時(shí)，；當(dāng)∽，則，然后依據(jù)比例關(guān)系列出關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】把，，代入得：，解得：，，，拋物線的解析式為；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，；當(dāng)∽時(shí)，，即，整理得：，解得：或舍去，，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)∽，則，即，整理得，解得：或舍去，，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積公式等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15．（2019·湖北中考模擬）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（0、﹣4）與x軸交于另一點(diǎn)C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且S△PBO=S△PBC，求證：AP∥BC；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，直線BD交x軸于點(diǎn)E，使△ABE與以A，B，C，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似（不重合）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可（2）令y=0求拋物線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，作△POB和△PBC的高線，根據(jù)面積相等可得OE=CF，證明△OEG≌△CFG，則OG=CG=2，根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)AP和BC的解析式，k相等則兩直線平行；（3）先利用概率的知識(shí)分析A，B，C，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，有兩個(gè)三角形與△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，①當(dāng)△ABE與以A，B，C中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖2，根據(jù)存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BE的解析式，與拋物線列方程組可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)；②當(dāng)△ABE與以B，C、E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖3，同理可得結(jié)論．【詳解】（1）把點(diǎn)A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；（2）當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如圖1，過O作OE⊥BP于E，過C作CF⊥BP于F，設(shè)PB交x軸于G，∵S△PBO=S△PBC，∴PB?OE=PB?CF，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，設(shè)P（x，x2﹣x﹣4），過P作PM⊥y軸于M，tan∠PBM=，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式為：y=x+2，BC的解析式為：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四種，其中△ABE重合，不符合條件，△ACE不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)△ABE與以A，B，C，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩個(gè)三角形：△ABC和△BCE，①當(dāng)△ABE與以A，B，C中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，則x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D（，）；②當(dāng)△ABE與以B，C、E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，如圖3，∵∠BEA=∠BEC，∴當(dāng)∠ABE=∠BCE時(shí)，△ABE∽△BCE，∴，設(shè)BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是鈍角，此時(shí)△ABE與以B，C、E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不相似，如圖4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式為：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、一元二次方程、三角形面積以及勾股定理，第3問有難度，確定△BCE與△ABE相似并畫出圖形是關(guān)鍵．16．（2019·四川中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣），OA=1，OB=4，直線l過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，且滿足tan∠OAD=．（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸正方形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AE以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△ADC與△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②當(dāng)t=時(shí)，△APQ與△CAQ的面積之和最大.【解析】分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解析式（2）①分別用t表示△ADC、△PQA各邊，應(yīng)用分類討論相似三角形比例式，求t值；②分別用t表示△APQ與△CAQ的面積之和，討論最大值．詳解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A（1，0），B（﹣4，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），∵點(diǎn)C（0，﹣）在拋物線上，∴﹣，解得a=.∴拋物線的解析式為y=.（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，則tan∠ACO=，∵tan∠OAD=，∴∠OAD=∠ACO，∵直線l的解析式為y=，∴D（0，﹣），∵點(diǎn)C（0，﹣），∴CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，只需或，則有或，解得t1=，t2=，∵t1＜2.5，t2＜2.5，∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，理由：作PF⊥AQ于點(diǎn)F，CN⊥AQ于N，在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，在△AOD中，由AD2=