不定積分的概念和性質(zhì)演示文稿

不定積分的概念和性質(zhì)演示文稿當(dāng)前1頁，總共29頁。（優(yōu)選）不定積分的概念和性質(zhì)當(dāng)前2頁，總共29頁。重點(diǎn)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式換元積分法分部積分法有理函數(shù)積分難點(diǎn)換元積分分部積分有理函數(shù)積分當(dāng)前3頁，總共29頁?；疽螈僬_理解原函數(shù)和不定積分概念②熟記基本積分公式③熟練地運(yùn)用換元積分法和分部積分法④會(huì)用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分⑤會(huì)用萬能代換和三角代換求三角有理式積分⑥會(huì)求簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分當(dāng)前4頁，總共29頁。例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念當(dāng)前5頁，總共29頁。對(duì)原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)問題(1)是否任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子若存在可導(dǎo)函數(shù)則由的定義關(guān)于原函數(shù)的說明：當(dāng)前6頁，總共29頁。（左、右極限存在且相等）而已知矛盾這說明沒有原函數(shù)既然不是每一個(gè)函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然要問：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對(duì)此我們給出如下的結(jié)論：原函數(shù)存在定理：當(dāng)前7頁，總共29頁。簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).（證明待下章給出）（2）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？①若，則對(duì)于任意常數(shù)，②若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）當(dāng)前8頁，總共29頁。任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可當(dāng)前9頁，總共29頁。例1求解解例2求當(dāng)前10頁，總共29頁。例3設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為當(dāng)前11頁，總共29頁。顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.當(dāng)前12頁，總共29頁。實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表當(dāng)前13頁，總共29頁?；痉e分表是常數(shù));說明：簡(jiǎn)寫為當(dāng)前14頁，總共29頁。當(dāng)前15頁，總共29頁。以上15個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握。當(dāng)前16頁，總共29頁。例4求積分解根據(jù)積分公式（2）當(dāng)前17頁，總共29頁。證等式成立.此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況三、不定積分的性質(zhì)當(dāng)前18頁，總共29頁。證明只須驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)（1）+（2）即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合這說明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì)注意到上式中有n個(gè)積分號(hào)，形式上含有n個(gè)任意常數(shù),但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故實(shí)際上只含有一個(gè)任意常數(shù)——分項(xiàng)積分法當(dāng)前19頁，總共29頁。例5求積分解注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)當(dāng)前20頁，總共29頁。例6求積分解例7求積分解當(dāng)前21頁，總共29頁。例8求積分解當(dāng)前22頁，總共29頁。例9解例10解當(dāng)前23頁，總共29頁。例11解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.當(dāng)前24頁，總共29頁。解所求曲線方程為當(dāng)前25頁，總共29頁。例13求解故當(dāng)前26頁，總共29頁。因被積函數(shù)連續(xù)，故原函數(shù)可導(dǎo)，進(jìn)而原函數(shù)連續(xù)于是有當(dāng)前27頁，總共29頁。說明①求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)，它表明一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，即要求的是全體原函數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一個(gè)原函數(shù)②寫成分項(xiàng)積分后，積分常數(shù)可以只寫一個(gè)③積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)