電動力學答桉chapter習題解答參考第三章靜磁場

試用A表示一個沿z方向的均勻恒定磁場 寫出A的兩種不同表示式證明兩者 解B0是沿z方向的均勻的恒定磁場即B0 且B0 Ay Az Ax在直角坐標系中A(yz)ex(zx)ey(xyAzAyx x

即zx_由此組方程可看出A有多組解

Ax解 Ay_

0,AxB0yf_ A[B0yf解 AxAz0,_

B0xg(_ A[B0xg( 12之差為AB0yf(x)]exB0xg則 _[(A)z(A)y

[(A)x(A)z

[(A)y(A)x 0

均勻無窮長直圓柱形螺線管每單位長度線圈匝數(shù)為n 電流強度為I 理求管內(nèi)外磁感應強度B_解根據(jù)題意得右圖取螺線管的中軸線為z__ 本題給定了空間中的電流分布故可由B 0J rdV求解磁場分布J_ _線上所以B

Jdlrr3 螺線管內(nèi)由于螺線管是無限長理想螺線管故由電磁學的有關(guān)知識知其內(nèi)部磁場是均勻強磁場故只須求出其中軸線上的磁感應強度即可知道管內(nèi)磁場由其無限長的特性不妨取場點為零點以柱坐標計算 racos'exasin'ey dlad'sin'exad'cos__ _ _ _ (ad'sin ad'cos'ey (acos asin' z'ex az'cos'd'exaz'sin'd'eyad取由z'z'dz'的以小段此段上分布有_流 _ nJdz'(az'cos' az'sin' aB

' 'ez[a2(z')2] a nI d(a 0d' 3nIez n03[(4 [a2(z')2] z'[(a

1]2)螺線管外部:由于是無限長螺線管不妨就在xoyP(,.0)(r

_(cosa(cosacos')2(sinasin')22a2z'22acos(__ rxx'(cosa (sinasin')ey dl_ad'sin'exad'cos _ _ _[a2a 'd' 'd )]d_ az'cos'd' az'sin'd'3B 0nI[d' exdz'd'3 a2acos('

eydz'd' r dz'ez _長故不會有磁力線穿出螺線管上述積分為 所以BIz軸流動以z<0的均勻介質(zhì)z>0區(qū)域為真空試用唯一性定理求磁感應強度B然后求出磁化電流分布解本題的定解問題為2

0J,1 2

J,(z-A1

0

1A(x)-A(x) 4- A2(x)

4

Idl

0I-2re,(z由此可推測本題的可能解是BI e,(z2 - 驗證邊界條件 A1A2z0,即n(B2B1)- -題中nez,且eze 滿

z00

A1z0,即nH2H1本題中介質(zhì)分界面上無自由電流密度- 1-

-

2r

H2H10,nH2H10I 綜上所述由唯一性定理可得本題有唯一解

I e,(z2B B

H

M H00 0即M 2r

2re2r(

介質(zhì)__ _ I( _

I( 2r_

_2

2r

2r 總的感應電 JMMdl (01)erdeI 2r 0z<0的空間中zx<0的均勻介質(zhì)x>0空間為真空今有線電流Iz軸流動求磁感應強度和磁化電流分布解假設本題中得磁場分布仍呈軸對稱則可寫作 IB2r_ n(B2B1)

_ n即可得在介質(zhì)中

(H2H1)__B _B_

I2r 而H2 0

e在x<0的介質(zhì)

I0e e2r 0_則IM 取積分路線為BCAB的半e:ABe

I(0I 0_0(IIM)B 由0(IIM)e_ I

B

0 _ I0B0

r00IM

z0

C(z212 2B0為常量試求該處的 提示用B0,并驗證所得結(jié)果滿足

解B具有軸對稱性BBeBz_:B1(B)B

其中BzB0 2即1(B)2cz Bcz2A(常數(shù) A

_

2Bcze[B0 2:_

_

代入 式可得 式成立B c為常a的同軸線圈形線圈位于zLLa提示用條件z2Bz解 由畢薩定律L處線圈在軸線上z處產(chǎn)生得磁感應強度_ Idl_

sin Ia B1B1zez

0 4 r

4[a2(zL)21Ia [([(Lz)2a2]3同 L處線圈在軸線上z處產(chǎn)生得磁感應強度 1Ia [(Lz)2a2]B2[(Lz)2a2] 2 BBzez 0Ia [(L[(Lz)2a2]3 [(Lz)2a2] _ :B (B)(B) B 2 又B B0,z2Bz0代入 式中 1

1 [(Lz)2a2

2(Lz)2[(Lz)2a2]2[(Lz)2a2]36(Lz)2[(Lz)2a2[(Lz)2a2 1 d[(Lz)2a2d0取

2(Lz)2[(Lz)2a2]2[(Lz)2a2]36(Lz)2[(Lz)2a2][(Lz)2a2 (L2a2)3[2(L2a2)2L22(L2a2)2]12(L2a2)2L25L2L2aL12raJ均勻分布于截面上試解矢勢A程設導體的磁導率為 解定解問題為 2AJ,(rA0,(rA內(nèi)0_A外

A內(nèi)_1 選取柱坐標系該問題具有軸對稱性且解與z無關(guān) AA內(nèi)

1(rA內(nèi)(r))r r 1 ) A(r)1Jr2Clnr A外(r)C3lnrA內(nèi)(rr0得C1 0A內(nèi)A外得C32 由A外aA內(nèi) 令A外aA內(nèi)a0得C2 0Ja,C4 Jaln _ A40J(ar

_ 假設存在磁單極子其磁荷為m

- 它的磁場強度為H 40rr 1r H 40r 40r2由___Qme_ 0 [

4r2(sinA)A]rsin 4r1[ Ar

)] r r

r[1(rA)Ar][ 令A

0, (sinA)Qm

sinAQmsin AQm1 r顯 A滿足 _Qm1cose r e討 當0

A Qm當2＿

A4r 當 A 故A的表達式在具有奇異 A不合 半徑為R0的球體放入均勻磁場H0內(nèi)求總磁感應強度B和誘r 解根據(jù)題意以球心為原點建立球坐標取H0的方向為 的影響下極化產(chǎn)生一個極化場并與外加均勻場相互作用最后達到平衡保持在一個靜止的狀態(tài)呈現(xiàn)球?qū)ΨQ

0,R0,R

m2,(RRmm,

1 1

mR0

RH0R11Rm2H0Rcosn1Pn(cosRaRnP(cos)HRcos

dnP(cos

n0

0 n0 (nanRn1P(cos)Hcos nP(cos得

0

R0Ra30H

dR0 dR0 0andn0,(n H0Rcos,R HRcos 0 0Hcos,R R 0_ 0

H

_

H

_ e0e0e0e0

H 2 2 0 0B1H12H0 0 0]Hcose[1 0 0]H

R

_ 0R3[3(H0R)RH0 _ 33(H0 H B20H20H0 _2H0,(RR0

0R0

R3B _ 3(H H 0 0],(RR _

0 R

R BR>R0 0 0Hcos可看作偶極子m產(chǎn)生的0 R 01即 1

_mR0_

Hcos0R0H3_ 3_ 0 0m40

R0r有一個內(nèi)外半徑為R1和R2的空心球位于均勻外磁場H0內(nèi)球的磁導率為 求r 解根據(jù)題意以球心為原點取球坐標選取H0的方向為 在外場H0的作用 v殼極化產(chǎn)生一個附加場并與外場相互作用最后達到平衡B mm

0,R0,R1R0,R m

RR,m 1

m3 0

, m3 0

R0HR 由于物理模型為軸對稱再有兩個自然邊界條件故三個泛定方程的解的形式為11nm2(bn

cn)P(cos

dn

(cosR3 0Rcosn1 R3vH0 在本題中源的表示H0RcosH0RP1(cos所以上面的解中anbncndn0,(n故解的形式簡化為 aR (bRc1)

RRcos R

代入銜接條件aRbR11 1 R1 b1R2R2H0R2R

2

21 R

2d1

2c1RR212 RR212a13(2)HR33()Ha1 2()2

0 0(2)(2 3(2)Hb12()2

0

23()HR3c12(

3

02

)

3(2)HR63()HR3d1 H 0 d1 H2()2R3(2)(2 0 i Bi0Hi0m,(ii B11(R1[1 (

)(2 ]0H 0(12(0) 0(20)(20)12(0)2_B1 BH0M0M0H無關(guān)的量今將一個 M0為常值浸入磁導率為'的無限介質(zhì)中求磁感 解根據(jù)題意取球心為原點做球坐標M0的方向為ez

0,R0,R mmRR11m

2

0202011

R0

RM00

R 11

anRnPn(cosm2

(bn)P(cos 代入銜接條件Pn(cos)對應項前的系數(shù)ab0,(n

a1

0M 2 b 0

2 1

0M0Rcos,(RR0)2 2m 0cos,(RR0)2R22 由此RRBHM20M 2 RR,B 0R0[3(M0R)RM0

2 20?0,(RRB B R33(M 00 0],(RR _ n0 (B2B1)R0(M 其 0_B的表達式 3

sin 2 rH0中結(jié)果如 解根據(jù)題意假設均勻外場H0M0z

0,R0,R 0mmRR0

1 0 R0m

M 0

RH0R1ma1Rcos,(RR012mH0Rcosd1cos,(RR02RaRH0

R1 R0H2d1aR R0

得 a1

0M030H0d0M0(0)H0 0M030H0Rcos,(RR0 0M()HmH0Rcos 0cos,(RR00 00 0M030H 0M030H 01H1m1

coser

sine0M030H20

2 B1H0M0

H0 2

M0,(RR0 M( H [(Hcos 0cos)e R M(

(Hsin 0sin)e]H3(mR)R0

_

R__R_

BH[H3(mR)R m 0M0R03

0有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為R0 總電荷為Q 角速度轉(zhuǎn)動求球內(nèi)外的磁場B0提示本題通過解A或m的方程都可以解決也可以比較本題與52的電流分布解根據(jù)題意取球體自轉(zhuǎn)軸為z軸建立坐標系

0,R0,R 1(m2m1)Q

m1

,(RR 0

R0

RQ其 1ma1Rcos,(RR012mb1cos,(RR02RaRb1

1 a2b1

R0 R0b 解 a QRb 0 011

Rcos,(RR02m 0cos,(RR0)2 H1m

coser

11

Q0B10H1

__ _ 3(mH 0cose 0sine R)Rm 其中 _QR2m 03