數(shù)學(xué)競賽中的無理函數(shù)最值問題

22數(shù)學(xué)競賽中的無理函數(shù)最值問題無理函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，其最值或值域)的求法大多涉及到化歸思想，能較好的考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，因此受到數(shù)學(xué)競賽命題人的青睞，時(shí)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽中本文結(jié)合近幾年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一些試題總結(jié)這類問題的解法，并給出相應(yīng)練習(xí)供參考：一、利用函數(shù)單調(diào)性求無理函數(shù)的最值若無理函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較容易確定，常借助其單調(diào)性求最值。例12010全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）.數(shù)f()24x的值域是.解析：該題是一道基礎(chǔ)題，易知(x的定義域x增函數(shù)，x=5時(shí)(x)取到最小值-3，x=8(取到最大值3域[3].

，所以f(x)的練習(xí)1：函數(shù)f()x

最小值是.（）二、利用代數(shù)換元求無理函數(shù)的最值例（2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽數(shù)的最大值是．解析6

x36565則yt即x244448所以11x的最大值是.

取得等號，例3.（2011全國高中學(xué)聯(lián)賽四川賽）知m，若函f()x的最大值為g()，(m的最小值．2解析：tmx，則x，m∴y

mm(t)2，mm∴

m

時(shí)，有最大值

m100m，即gm)．m4∴g(m)

100mm，4等號當(dāng)且僅時(shí)成立，∴時(shí)，g()有最小值10．評析：對于形如“mx±ax”的無理函數(shù)，一般可通過令1N0.*

1cos2）（1cos2）（tax，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，通過配方求最值，本法同樣適用于形如“

2

±

2

的函數(shù)。練習(xí)2：函數(shù)xx的最小值是．(1).三、利用三角換元求無理函數(shù)的最值例（2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川初賽）函數(shù)()x24x最大值為（）A、

B、3C23

D3解析：本題顯然由1改編，一個(gè)運(yùn)算符號的差別，導(dǎo)致解法的不同，因?yàn)?/p>

2

8)

2

,所以可設(shè)x-5=

8-x=

(0)，2則x24x=3

3cos=323所以選評析對一些無理函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜菗Q元，可去掉根式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值般來說函數(shù)式中含有2、12、分別令、、從而脫去根式,再借助三角函數(shù)有界性求最值.例5（2011全國中學(xué)聯(lián)賽）.函數(shù)

f(x)

2

的值域?yàn)椋馕觯涸O(shè)x且，221則)=

1，2（4

224

得

2)[2,0)41所以]4

所以

f(x)

2

2的值域]2練習(xí)3:(2011全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽內(nèi)蒙古初賽f(x

的最大值為．(15)四、利用柯西不等式求無理函數(shù)最值我們以上面的例4為例，來分析柯西不等式的應(yīng)用：因?yàn)?x，由柯西不等式得x3.x2N0.*

評注：利用柯西不等式axby222y2能夠快速求得這類無理函數(shù)的最大值五、利用距離模型求無理函數(shù)最值例6.(2008全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽xR

C

P則函數(shù)f為.

最小值

ABAB

解析：如圖，取A數(shù)軸原點(diǎn)，再作垂線ACBD，使AC,數(shù)軸上取

DE點(diǎn)P使，則，P,D線時(shí)，f()值最小，此[f(x)]min

CD|12213.例7.求函數(shù)x

的最小值.解：yx

(x2(22，故幾何意義為：在直角坐標(biāo)系下，函數(shù)值為x軸上的,0)與A(1,1),的距離之和圖所示而可知y|10點(diǎn)共線時(shí)最小值為.練習(xí)4:函數(shù)x2的最大值是_______。六、利用斜率模型求無理函數(shù)最值例8.求函數(shù)

x

12x

的最小值。解:令

y,則f且y轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)P

x,y個(gè)單位圓

2

2

,求

x,y

的連線AP斜率的最(圖).顯然,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)線AP的率最,此

AB

.當(dāng)直線與上半個(gè)單位圓

2

2

線的斜率最大3N0.*

maxAPmaxAP設(shè)K

AP

K,則直線的方程為y直線與上半個(gè)單位2d

O