數(shù)列通項公式和前n項和求解方法全

nn2數(shù)列通公式的求法解nn2一觀察（關(guān)鍵是找出各項與項數(shù)n的關(guān)系.）例：據(jù)數(shù)列的前4項寫出它的一個通項公式：1（22

4916,3,351017

23

,

12

,

21,4,52

3,4答1）

（）

an

nn2

;

（）

;

（）

an

n

nn

.二公式公法：殊數(shù)例：已數(shù){}是公差為d的差數(shù)列，數(shù)列}是公比為q的q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù))=n(x－，af(d－1)，=f(d+1)，=f(q+1)，f(q－1)，數(shù)列{a}和{}通項公n式。答案：a=a+(n－1)d=－1)；b=b·－1n1n

=4·(－2)

－1例3.

等差數(shù)列

n

列且

a，aa234

4

=12，則數(shù)列的通項公式是（）(A)

a2nn

(B)

2n4

(C)

an

(D)

an

答案：例4.

已知等比數(shù)列

n

a1

公

0q

設(shè)列

bann

求列

通項公式簡：由題意，

b

n

a

n

n

，又

，比為q∴n

bnn，數(shù)列b是等比bnn數(shù)列，易得

(n

n

(

.點：當(dāng)數(shù)列為等差或等比數(shù)時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求首項及公差公比.公法：知s利公式

s1,nn

.例：已下兩數(shù){}n

的前n項的公式，求{}n

的通項公式（）Snn

3

.（2）

snn

2

答案a=32

(n(n2)

點評先n=1和兩種情然驗證能否統(tǒng).三、

累法【如

a

n

af(n)n

的地退關(guān)系遞推關(guān)系】簡：已知

a

,

a

n

a(n)n

，其中f(n)可是關(guān)于n的次二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項

n

.①若f(n)是關(guān)于n的一函數(shù)累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求;②若f(n)是于的指數(shù)函數(shù)加可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和③若f(n)是于n的二函數(shù)累加后可分組求;④f(n)是于n的式數(shù)加后可裂項求和各式相加得例：知數(shù)列6，9，，，，求此數(shù)的一個通.

答案：(Nn例6.

若在數(shù)列

n

a1

，

a

，求通項

n

.

答案：

n

=

n例7.已數(shù)列

{}滿足a，an1n

n

1(n2)n(n

，求此數(shù)列的通項公.

答案：

1n3nnnnnnnn四累法【形如1n3nnnnnnnn

n

=

f

(n)·

型（）f(n)為數(shù)，即：

（其中是不的常時列為等比數(shù)列，

=an

n

.（）f(n)為n的數(shù),用乘.例：數(shù)列｛｝中，=1,(n+1)·=n例：已知列，項S與

，求a的關(guān)系是

的表達式.n(2an

n

，試求通項公式

n

..答案：

a

1(2n

思題：知

aan

,求列}的通項公式分：原化為

a

n

n(n

若令

n

,則問題進一步轉(zhuǎn)化為

bnbn

n

形式，累積得.五構(gòu)特數(shù)法構(gòu)【如

a

n

ca(c,其an1

)】（1）若c=1時，{a}等差數(shù)列2）若n時，數(shù){

n

}為等比數(shù)列（）

cd

時，數(shù){

n

}為性遞推數(shù)列，其通項可通待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求方法如下：設(shè)

a

n

(,得n

n

can

,與題設(shè)

a

n

d,n

比較系數(shù)得

dd,(c0)，所：a)cc

d,即c

構(gòu)成以

為首項以c為比的等比數(shù)列例10：已知數(shù)

{}n

的遞推關(guān)系為

a

n

an

，且

a

求通項

n

.

答案：

an構(gòu)2相項差特數(shù)列例11：數(shù)列

n

，a2a12

n

211aa.示變?yōu)?)333

.構(gòu)3倒為殊列形如an

nran

】例12：知數(shù)列｛

n

｝中

a

且

（

n

，求數(shù)列的通項公式.

答案

an

1bn六待系法例13：數(shù)列

{}

的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的和，若=2c=4，=7，c=12，求通項公c式n解：

cn

建立方程組，解.

點：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式一地，若數(shù){}n

為等差數(shù)列則

abn，sbnn

cn

（、為常數(shù)若數(shù)列

{}n

為等比數(shù)列，則

aAqn

n

，

sAqA(

.七迭法一是推系有項較】例141數(shù)列}滿足,an1

n

2(n

求數(shù)列a的通項公.

n1n解：題n1n

aaa1

n

2(nn

①

n時1

n

2(2)

②由、得a2,n

.（）列a}滿足,且n1nn

數(shù)列的通項公式（）知數(shù)列

{}n

中，

a2,a1

n

1a,2

求通項

n

.八討法了（）

a

n

n

（為數(shù)數(shù){a}“等和數(shù)列是個周期數(shù)列，周期n為2，其通項分為奇數(shù)項和偶數(shù)來討.（）如

a

n

f()n

型若

a

n

pn

(p為常數(shù)，數(shù){

n

}為“等積數(shù)列是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討;②若f(n)為n的數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得

an

n

f(n

，兩式相除后，分奇偶項來分求通.例15：列}滿足a,an1

n

2n

求數(shù){a}的通項公.專二數(shù)求方詳（種法一、公式法1、

等

差

數(shù)

列

求

和

公

式：Sn

)()n()n(12nd22na2、等比數(shù)列求和公式：S(1)a11

(q(q例1]已知

log3

log2

，求

x

2

3

n

的前項和

答案

n

(1n)1例2]設(shè)S＝1+2+3+…N,求

f(n(32)S

n

的最大值.

答案n＝時f(

max

150二錯相法方簡此是在推導(dǎo)等比數(shù)列的n項公式時所用的方法這種方法主要用于求數(shù){a·b}前n項和，其中a}、分別等差數(shù)列和等比數(shù).例3]求和

xx

………()解：題可知{

(2x

n

}的通項是等差數(shù)列2n－的通項與等比數(shù){

}的通項之積：設(shè)

xSx23x

…②①－②得

(1)S2x

2

nx

（錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：)Sn(2nxn)∴.S(1

n

x

.

200200試試：數(shù)列

24,,22232

前n項的和

答案：

S4n

n2三倒相法方簡：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序與原數(shù)列相加，就可以得到n個

1

，然后再除以2得.例4]求

sin

2

sin

2

2

sin

2

2

88

2

89

的值.

答案S＝44.5四分法和方簡：有一類數(shù)列，既不是等差列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確如何分組；例5]求列的前n項

114,aaa

n

答案

n

anna

.試試求

1n

之和.簡于與

個1

999k1

n

別求和.五裂法和方簡：是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng).項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通分解（裂項及分母有理化如：（）af(f)n

）

an

1n

=

nn

）

sin1cos(

tan(n

n

；4）

an

11n(nn

(2n)111（）()(22n2n

.例6]

求數(shù)列

11

12

,

1n

,

的前n項.例7]在數(shù){a}中，

an

12nnn

，又n

n

n

，求數(shù){}的前項和試試：知數(shù)列a}：

8(

，求前n項.

試試：

11

1

11

11

...六合法和方簡介針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并