圓周運(yùn)動(dòng)講解

讓孩子接受最好的教育讓孩子接受最好的教育PAGEPAGE1圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件：圓心。描述圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量有線速度、向心加速度a等。它們之間的關(guān)系rr60

2rT

v2 2r 2rr T2

。要注意轉(zhuǎn)速n的單位為r/min，它與周期的關(guān)系為T 。nv2

2rv ，r42r公式中的線速度v和角速度ω均為瞬時(shí)值。只適用于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的公式有：a ，因?yàn)橹芷赥和T2轉(zhuǎn)速n沒有瞬時(shí)值。二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的描述線速度、角速度、周期和頻率的概念線速度v是描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量，其大小為 vs

2r;其方向沿軌跡切線，國際單位制中單位符號(hào)是m/s；（2）角速度ω是描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量，其大小為t

t T；T在國際單位制中單位符號(hào)是rad／s；(3）周期T是質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用時(shí)間，在國際單位制中單位符號(hào)是s；頻率f是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)完整圓運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，在國際單位制中單位符號(hào)是Hz；nr／sr／min．2、速度、角速度、周期和頻率之間的關(guān)系1f線速度、角速度、周期和頻率各量從不同角度描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢，它們之間有關(guān)系v＝1frω．T

，v

T，2f。由上可知，在角速度一定時(shí)，線速度大小與半徑成正比；在線速度一定時(shí)，角速度大小與半徑成反比．三、向心力和向心加速度向心力向心力是改變物體運(yùn)動(dòng)方向，產(chǎn)生向心加速度的原因．向心力的方向指向圓心，總與物體運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以向心力只改變速度的方向．向心加速度向心加速度由向心力產(chǎn)生，描述線速度方向變化的快慢，是矢量．向心加速度方向與向心力方向恒一致，總沿半徑指向圓心；向心加速度的大小為v2a 2r2rn r T2公式：公式：V＝s/t＝2πr/Tω＝Φ/t＝2π/T＝2πfa＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r向心力F ＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F周期與頻率：T＝1/f角速度與線速度的關(guān)系：V＝ωr心 合ω＝2πn()s:米(m)（radf（HT（nr/；半徑：米mV（m/sω（rad/（m/s。二、向心力和加速度v21、大小F＝mω2r Fmr向心加速度（1）大小：a

v2 4 22rr T2

r2f2r （2）方向：總指向圓心，時(shí)刻變化（3）物理意義：描述線速度方向改變的快慢。c2rbrar4rd1．3－1r，a是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r2rbc2rbrar4rd中，皮帶不打滑。則（ ）A．a(chǎn)點(diǎn)與b點(diǎn)的線速度大小相等B．a(chǎn)點(diǎn)與b點(diǎn)的角速度大小相等C．a(chǎn)c點(diǎn)的線速度大小相等D．a(chǎn)d點(diǎn)的向心加速度大小相等

圖3－1d四點(diǎn)之間的等量關(guān)系。因?yàn)閏v、dω相等。所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)AB錯(cuò)誤。Cvv=ωra=v2/r點(diǎn)的向心加速度大小為v2 2r)2 v2a 點(diǎn)的向心加速度大小為：a A r D

4r

r 。所以選項(xiàng)D正確。選項(xiàng)CD正確。說明：速度與半徑成正比；通過皮帶傳動(dòng)（不考慮皮帶打滑的前提下）或是齒輪傳動(dòng)，皮帶上或與皮帶連接的兩輪邊緣的各點(diǎn)及齒輪上的各點(diǎn)線速度大小相等、角速度與半徑成反比。練習(xí)1如圖－4所示的皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)裝置左邊是主動(dòng)輪右邊是一個(gè)輪軸R :R 1:2，A cR R 23。假設(shè)在傳動(dòng)過程中皮帶不打滑，則皮帶輪邊緣上的C三點(diǎn)A B圖3－42．圖示為某一皮帶傳動(dòng)裝置。主動(dòng)輪的半徑為r，從動(dòng)輪的半徑為r。已知主12動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是（圖3－42．圖示為某一皮帶傳動(dòng)裝置。主動(dòng)輪的半徑為r，從動(dòng)輪的半徑為r。已知主12動(dòng)輪做順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是（。r

從動(dòng)輪做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)r從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為1r2

從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為2nr1圖3-7中圓弧軌道AB是在豎直平面內(nèi)的1/4圓周，在B點(diǎn)，軌道的切線是水平的。一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)從靜止開始下滑，不計(jì)滑塊與軌道間的摩擦和空氣阻力，則在質(zhì)剛要到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的加速度大小，剛滑過B點(diǎn)時(shí)的加速度大小。3．描述圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)物理向心力

AAB圖3-7（1）的，不是一種特殊的性質(zhì)力。向心力可以是某一個(gè)性質(zhì)力，也可以是某一個(gè)性質(zhì)力的分力或某幾個(gè)性質(zhì)力的合力。例如水平轉(zhuǎn)盤上跟著勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的物體由靜摩擦力提供向心力；帶電粒子垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力；電子繞原子核旋轉(zhuǎn)由庫侖力提供向心力；圓錐擺由重力和彈力的合力提供向心力。做非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其向心力為沿半徑方向的外力的合力，而不是物體所受合外力。向心力大?。焊鶕?jù)牛頓第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小為：v2 2rFm

m2rmr T

其中r為圓運(yùn)動(dòng)半徑。向心力的方向：總是沿半徑指向圓心，與速度方向永遠(yuǎn)垂直。向心力的作用效果：只改變線速度的方向，不改變線速度的大小。幾種常見的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例圖表圖形 受力分析 利用向心力公式mgtanm2lsinmgtanm2(lsind)mgtanm2rmgtanm2rMgm2r例題2.如圖所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三個(gè)物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺(tái)上，動(dòng)摩擦因數(shù)均為，Ａ的質(zhì)量為2m，Ｂ、Ｃ質(zhì)量讓孩子接受最好的教育讓孩子接受最好的教育Ｃ物的向心加速度最大；Ｂ物的靜摩擦力最??；C.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，Ｃ比Ａ先滑動(dòng)；D.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，Ｂ比Ａ先滑動(dòng)。均為m，Ａ、Ｂ離軸Ｒ，Ｃ離軸Ｃ物的向心加速度最大；Ｂ物的靜摩擦力最??；C.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，Ｃ比Ａ先滑動(dòng)；D.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，Ｂ比Ａ先滑動(dòng)。ω2Rω22R加速度最大，選項(xiàng)A正確。Ａ、mω2R、mω22R，Ｂ物體的靜摩擦力最小，選項(xiàng)B正確。要比較哪個(gè)物體最先打滑，就要比較哪個(gè)物體與圓臺(tái)間的最大靜摩擦力，三者為：μ2mg、μmg、μmg,可見C物體先滑動(dòng)，選項(xiàng)C正確，B錯(cuò)誤說明：圓轉(zhuǎn)速增加時(shí)，物體隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)需要的向心力（靜摩擦力提供）也要增加，當(dāng)提供不足時(shí)物體就做離心運(yùn)動(dòng)。練習(xí)4.3—12所示，一轉(zhuǎn)盤可繞其豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為RA，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為ω0AO連線中點(diǎn)再放一與A完全相同的物塊BAB均可視為質(zhì)點(diǎn)ω為多大時(shí)，兩物塊將開始滑動(dòng)？4．豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題：

OOBA圖3-12mgO由于物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的依托物（繩、輕桿、軌道、管道等）mgO如圖3－7所示，由于繩對(duì)球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力，所以小球通過最高點(diǎn)的臨界條件是：向心力只由重力提供，即

mgmvR

，則有臨界速度

v

。只有當(dāng)

v

時(shí)，小球才能通過

圖3-7最高點(diǎn)。NmgO如圖3－NmgO5圖3-8讓孩子接受最好的教育讓孩子接受最好的教育PAGEPAGE10gR以為零，即小球在最高點(diǎn)的最小速度可以為零。這樣vgR

就變成了小球所受彈力方向變化的臨界值，gR即當(dāng)v<gR

時(shí)，小球受向上的彈力；當(dāng)v

時(shí)，球和桿之間無相互作用力；當(dāng)v>

時(shí)，球受向gRgR下的彈力。gRgR同情況下的最小速度。例題如圖4-4O小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)，圖3ab分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì)（）A.a處為拉力B.a處為推力C.a處為拉力D.a處為推力

bObO圖4-4解析：由于小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到a、b兩點(diǎn)時(shí)，所受的合力都為指向O點(diǎn)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)時(shí)，受到豎直向下的重力，為使其所受合力指向O點(diǎn)，則要求桿必對(duì)小球施豎直向上的拉力。gl當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)時(shí)小球受到豎直向下的重力mg的作用當(dāng)球的速度較?。ㄐ∮?l為桿的長度，glglmg大于球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力時(shí)，桿將對(duì)球施豎直向上的推力；當(dāng)小球的速度較大時(shí)（大于 ，glmgbb點(diǎn)時(shí)桿對(duì)球的作用力是推力還是拉力，取決于小球在b點(diǎn)時(shí)的速度大小。綜上所述，本題的正確選項(xiàng)為A、B。練習(xí)如圖3－14處進(jìn)入管內(nèi)，并恰好能通過圓環(huán)的最高點(diǎn)。則下述說法正確的是（ ）A.球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管的作用力為零B.小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管的作用力為C.若增大小球的初速度，則在最高點(diǎn)時(shí)球?qū)艿牧σ欢ㄔ龃驞.若減小小球的初速度，則在最高點(diǎn)時(shí)球?qū)艿牧赡茉龃?/p>

vvAO圖3-143－13RA。今給它一個(gè)水平初速度gRv ，則物體將（ ）gRmvmv0RMM點(diǎn)沿球面下滑至某一點(diǎn)NC.立即離開半球面做平拋運(yùn)動(dòng)D.以上說法都不正確有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)問題的分析思路

圖3-13圓周運(yùn)動(dòng)常常和力、運(yùn)動(dòng)、能量問題結(jié)合在一起，綜合性強(qiáng)。解決有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路是：ⅰ．確定研究對(duì)象；ⅱ．確定做圓運(yùn)動(dòng)物體的軌道平面及圓心位置；ⅲ．對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析；交分解；ⅴ．依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心加速度的公式列方程；O′RAHH/2例（09廣東）如圖17O′RAHH/2壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為RHAm的小物塊。求①當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁A點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的大?。虎诋?dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其所受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。解析：物塊受力如圖所示①由平衡條件得 N-mgcosθ=0，f-mgsinθ=0

O圖10θNθR2H2其中sinR2H2maR2H2得摩擦力為 fmgsinR2H2

mg圖10R2H2支持力為NR2H2

mgR②這時(shí)物塊的受力如圖所示由牛頓第二定律得 mgtanmamR222gtanR2gH得筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為2gtanR2gHRωmRAhC例（ft東卷(16分,一水平圓盤繞過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)．圓盤邊緣有一質(zhì)量m=1.0kg,,ABCABμ=0.5ABωmRAhC滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中始終末脫離軌道不計(jì)在過渡圓管處和B點(diǎn)的機(jī)械能損失最大靜 53°37°摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6,cos37°=0.8。圖B(1)若圓盤半徑R=0.2m，當(dāng)圓盤的角速度多大時(shí)，滑塊從圓盤上滑落?(2)若取圓盤所在平面為零勢(shì)能面，求滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能。(3)從滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)起．經(jīng)0．6s正好通過C點(diǎn)，求BC之間的距離。解析：(1)滑塊在圓盤上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，靜摩擦力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律，可得①gR代入數(shù)據(jù)解:gR滑塊在A點(diǎn)時(shí)的速:vA=ωR=1m/s ③h 1 1AB1

mvsin53 2 S

mv2 ④2 A2在B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能:EB=2mvS2

mgh4J ⑤滑塊在B點(diǎn)時(shí)的速:vB=4m/s ⑥滑塊沿BC段向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大:a1=g(sin37°+μcos37°)=10m/s2 返回時(shí)的加速度大:a2=g(sin37°-μcos37°)=2m/s2 v2 1 vBC間的距離:s

= S

(s S)2=0.76m ⑨BC 2a 2 2 a1 1練習(xí)9（09安徽20分）過ft車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施。下圖是一種過ft車的簡易模型，它由水平軌道和在CD、CD半徑R=2.0、R2=1.4。一個(gè)質(zhì)量為=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)，從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以=12.0m/s的初BL1=6.0mμ=0.20，圓形軌道是光滑的。g=10m/s2試求小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大??；CL應(yīng)是多少；第一圈軌道第二圈軌道第三圈軌道Av0R1R2BCRD第一圈軌道第二圈軌道第三圈軌道Av0R1R2BCRD3L1LL10.（06重慶）(20分)(請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答)10.（06重慶）(20分)(請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答)25R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)。小球AB質(zhì)量分mβm(βABB球能達(dá)到的最大高度均為R，碰撞中無機(jī)械能損失。重力加速度為g。試求：4(1)待定系數(shù)β;1AB在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球Bn結(jié)束時(shí)各自的速度。人造衛(wèi)星的勻速圓周運(yùn)動(dòng)周運(yùn)動(dòng)，地球?qū)λ娜f有引力提供它圓運(yùn)動(dòng)所需向心力。Tr有關(guān)：r越大，v越小，ω越小，T越大（）當(dāng)衛(wèi)星貼地球表面繞行時(shí)，其周期最短，約為84分鐘。GMr運(yùn)行速度與發(fā)射速度：對(duì)于人造地球衛(wèi)星，由vGMr

算出的速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上的運(yùn)能，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道上，在地面所需要的發(fā)射速度卻越大。關(guān)于第一宇宙速度的兩種推導(dǎo)方法：GMRMm v2 vGMR由G R2

1vR 1

由mgm 1，RgRg為地表重力加速度為地球半徑，可得第一宇宙速度v 。gR1地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)：所謂同步衛(wèi)星是指衛(wèi)星與地球以同一角速度旋轉(zhuǎn)，則衛(wèi)星運(yùn)行周期等于地球自轉(zhuǎn)周期2436000km處。例6（05全國Ⅱ卷）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運(yùn)行的周期。僅利這三個(gè)數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有（ ）Ａ．月球的質(zhì)量 Ｂ．地球的質(zhì)量Ｃ．地球的半徑 Ｄ．月球繞地球運(yùn)行速度的大解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M，月球的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有GMm/r2=4π2mr/T2。從上述表達(dá)式可看出：m消掉了，因此不可能利用這些數(shù)據(jù)求得m（月球的質(zhì)量。此式中的r軌道半徑。因此不可能用此式求出地球的半徑。42r3由上式可推導(dǎo)出M= ，因此可計(jì)算出地球的質(zhì)量。即選項(xiàng)B正確。GT2“球運(yùn)行速度的大小，即選項(xiàng)D正確。例7.（09北京）已知地球半徑為R,地球表