《物流數(shù)學(xué)》第2章 概率論與隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介

第2章概率論與隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介2.1概率論簡介2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介2.1概率論簡介一、事件及其概率1.必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件在自然現(xiàn)象、社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為必然性現(xiàn)象，比如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水加熱到1000C會沸騰;在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，帶有偶然性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象，如擲一次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)，可能是也可能不是。于是我們對自然現(xiàn)象、社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行觀察或試驗(yàn)時，把現(xiàn)象比作事件，在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然事件，用門表示;在一定條件下可能發(fā)生一也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件，常用大寫英文字母表示;另外，把在一定條件下必然不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為必。比如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水加熱到1000C會結(jié)冰是不可能事件。下一頁返回2.1概率論簡介事件具有不確定性，即在一次觀察或試驗(yàn)中它可能發(fā)生，一也可能不發(fā)生。但是，以擲硬幣為例，歷史上有不少人做過擲硬幣的試試驗(yàn)結(jié)果見表2.l。試驗(yàn)結(jié)果表明:在長期的觀察或大量的試驗(yàn)中我們會發(fā)現(xiàn)事件的發(fā)生具有一定的規(guī)律性。在擲硬幣試驗(yàn)中，把硬幣分正反面，當(dāng)我們拋的次數(shù)較多時，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的頻率幾乎相同，都很接近0.502.樣本空間把對事件的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)，記為E。在試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果叫做一個樣本點(diǎn)，所有的樣本點(diǎn)組成的集合叫做試驗(yàn)E的樣本空間，記為Ω。上一頁下一頁返回2.1概率論簡介

3.事件的概率隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，一也可能不發(fā)生，那么它在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性有多大?能不能用一個數(shù)來刻畫可能性的大小?大家可以親自動手做擲一枚殷子的試驗(yàn)，比如擲500次、1000次……記下6點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)，計(jì)算出它的頻率，看是否總是在0.1667左右。則0.1667這個穩(wěn)定數(shù)就是6點(diǎn)出現(xiàn)的可能性大小。隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，可用一個不大于1的非負(fù)數(shù)來表示，這個數(shù)稱為隨機(jī)事件的概率。任意一個事件A的概率用P<A>表示，有:0≤P<A>≤1，P<Ω>=1，P<?)=0.上一頁下一頁返回2.1概率論簡介設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為,則一定存在n個數(shù),使得,并且設(shè)A是一個事件，則下面介紹事件的概率的幾種常見情況:(1)兩個事件互不相容或互斥設(shè)A,是兩個事件，且滿足AB=?(即A與召沒有公共的樣本點(diǎn))，即在一次試驗(yàn)中A與召不可能都發(fā)生，則稱A與召互不相容或互斥。用A并B表示由A與召的全部樣本點(diǎn)合并起來所構(gòu)成的事件，它表示A與召在一次試驗(yàn)中至少有一個發(fā)生的事件，那么上一頁下一頁返回2.1概率論簡介若A與召B互斥，則,即若，則(2)古典概型如果，且則稱這種試驗(yàn)為古典概型。其特點(diǎn)為樣本點(diǎn)數(shù)是有限個，并且各個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性大小是相等的。當(dāng)事件A中有m個樣本點(diǎn)時，有上一頁下一頁返回2.1概率論簡介

4.條件概率、事件的獨(dú)立性(1)條件概率設(shè)A,B是兩個事件，P(A)>0。在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率記為P<B|A)，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率。P(B|A)就是在樣本空間已經(jīng)改變(變成了A)的情況下B對A的條件概率，定義為:上一頁下一頁返回2.1概率論簡介

(2)事件的獨(dú)立性設(shè)A,B是兩個事件，P(A)>0,P(B)<0。若P(AB)=P(A)P(B)，則稱A與B相互獨(dú)立，即A,B兩個事件中的一個發(fā)生與否對另一個事件的概率沒有影響。同樣的，若A,B,C三個事件中的一個或兩個發(fā)生與否對其他事件的概率均無影響，則稱A,B,C相互獨(dú)立，即若P(AB)一P<A>P<B>,P<BC>一P<B>P<C>,P<AC>=P<A>P<C>,P<ABC>=P<A>P<B>P<C)均成立，則A,B,C相互獨(dú)立。以此可以類推到有限多個事件相互獨(dú)立的情況，具體內(nèi)容省略。上一頁下一頁返回2.1概率論簡介二、隨機(jī)變量及期望和方差1.隨機(jī)變量及其概率分布若一個變量的取值是由Ω中的樣本點(diǎn)來確定，即在一次試驗(yàn)中，若、發(fā)生則定義這個變量取值為，將這個變量用X表示，則我們把這個變量X稱為隨機(jī)變量，而稱為X的概率分布?？梢杂帽?.3描述如下上一頁下一頁返回2.1概率論簡介2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對于上面定義的隨機(jī)變量X，定義X的數(shù)學(xué)期望或均值為其實(shí)，它是隨機(jī)變量X的全部可能取值以對應(yīng)的概率為權(quán)重的加權(quán)平均值①，描述的是全部可能值的平均水平或集中的位置。上一頁下一頁返回2.1概率論簡介(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量X的可能值與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的平均值，稱為隨機(jī)變量X的方差，記為三、常見的概率分布1.泊松分布概率論中常見的一種離散型概率分布。若隨機(jī)變量X只取非負(fù)整數(shù)值，取h.值的概率為其中γ>0是常數(shù)，則隨機(jī)變量X的分布稱為泊松分布，記作P(γ)，如圖2.1所示，即一在單位時間內(nèi)發(fā)生h.個事件的概率為P(γ)。若X服從泊松分布，記為X-}-P(}>，其中上一頁下一頁返回2.1概率論簡介2.指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的一切可能的取值是全體非負(fù)實(shí)數(shù)，并且對于任意的實(shí)數(shù)x滿足則稱X服從參數(shù)為幾的指數(shù)分布。如果一個隨機(jī)變量X呈指數(shù)分布，則可以寫作:X-Exponenrial(γ)。其中概率用如圖2.2中陰影部分的面積表示，E(X)其概率密度函數(shù)是:上一頁下一頁返回2.1概率論簡介在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，指數(shù)分布是一種連續(xù)概率分布。指數(shù)分布可以用來表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場的時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔等。3.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X一切可能的取值是全體實(shí)數(shù)，并且對任意一個實(shí)數(shù)二，滿足其中是由x軸曲線,以及過點(diǎn)((a,0)且與v軸平行的直線所圍成的平面圖形的面積，如圖2.3所示。上一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介一、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的定義與描述一個服務(wù)系統(tǒng)必有一定的服務(wù)對象和服務(wù)機(jī)構(gòu)。不論服務(wù)對象是人、物、信息還是商品，都統(tǒng)稱為“顧客”，而把服務(wù)機(jī)構(gòu)稱為“服務(wù)臺”。一群顧客到達(dá)具有一個或幾個服務(wù)員的服務(wù)機(jī)構(gòu)。在顧客到達(dá)機(jī)構(gòu)的時候，可能立即接受到服務(wù)，一也可能因服務(wù)員繁忙而在隊(duì)伍中等待直到獲得服務(wù)為止，當(dāng)顧客獲得服務(wù)后便離開系統(tǒng)。任何一個隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)都包括顧客輸入、排隊(duì)和服務(wù)三個過程。如圖2.4所示。下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介輸入過程，即對顧客的到來，應(yīng)了解其到來的方式，如顧客相繼到來的時間間隔可以是確定的，一也可以是隨機(jī)的，顧客的到達(dá)可以是相互獨(dú)立的，一也可以是有關(guān)聯(lián)的等。它是一個服務(wù)系統(tǒng)啟動的依據(jù)。我們這里要討論的輸入過程都假設(shè)顧客的到來是相互獨(dú)立的、平穩(wěn)的、隨機(jī)型的。平穩(wěn)是指描述相繼到達(dá)的間隔時間分布和所含參數(shù)(如期望值等)都與時間無關(guān)。上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介排隊(duì)過程，即排隊(duì)等候過程，要遵循排隊(duì)等候服務(wù)的規(guī)則。顧客接受服務(wù)的規(guī)則通常是按顧客接受服務(wù)的次序，如先到先服務(wù)、后到先服務(wù)、優(yōu)先服務(wù)和隨機(jī)服務(wù)等來區(qū)分的。一般情況下是先到先服務(wù)。在某特定時間內(nèi)，由于到達(dá)服務(wù)設(shè)施的顧客超過服務(wù)設(shè)施的服務(wù)能力，不能立即得到服務(wù)而需排隊(duì)等候，于是出現(xiàn)等候線，形成了排隊(duì)系統(tǒng)。顧客參與等候的那一時刻稱為到達(dá)時間;從到達(dá)時間起到接受服務(wù)這一段時間稱為等候時間(排隊(duì)時間);服務(wù)設(shè)施提供服務(wù)所需要的時間稱為服務(wù)時間;顧客于服務(wù)完成后即行離去。顧客從到達(dá)到離去的時間是顧客在服務(wù)系統(tǒng)中的停留時間，這一過程構(gòu)成了等候系統(tǒng)。上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介服務(wù)過程，要有服務(wù)機(jī)構(gòu)。服務(wù)機(jī)構(gòu)是指服務(wù)臺的數(shù)日、排列以及服務(wù)時間，分為確定型與隨機(jī)型。我們將要討論的與輸入過程一樣是平穩(wěn)隨機(jī)的情形。如何合理地設(shè)計(jì)與控制隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，使得它既能滿足顧客需要，又能使機(jī)構(gòu)的花費(fèi)最經(jīng)濟(jì)，這是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論所要解決的問題。分析討論服務(wù)系統(tǒng)的問題必須抓住對問題影響最大的三個因素，它們分別是:(1)顧客相繼到達(dá)的間隔時間的分布;(2)服務(wù)時間的分布;(3)服務(wù)臺的個數(shù)。上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介一個服務(wù)系統(tǒng)的好壞有三要素:等候線的長度、排隊(duì)等候時間、服務(wù)質(zhì)量。為了提高服務(wù)水準(zhǔn)和經(jīng)濟(jì)效益，管理人員必須分析系統(tǒng)中(包括在服務(wù)設(shè)施中的和等候進(jìn)入服務(wù)設(shè)施的)顧客的種種動態(tài)，特別是等候線的長度及其變化，服務(wù)設(shè)施使用的百分率，顧客在系統(tǒng)中總的逗留時間，然后才能進(jìn)一步從理論上探討問題和解決問題。二、單線等候服務(wù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型下面先建立一個最簡單明了的，僅有一個服務(wù)設(shè)施(單線)等候系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，相關(guān)聯(lián)的概念解析如下:(1)LS:系統(tǒng)中的總顧客數(shù)的期望值上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介

(2)Lq:系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值，則有LS=Lq+(正被服務(wù)的顧客數(shù));(3)Ws:顧客在系統(tǒng)內(nèi)平均花費(fèi)的時間(即指從到達(dá)到離開所花費(fèi)的總時間)的期望值;(4)Wq:顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時間的期望值，顯然有Ws=Wq+(服務(wù)時間);(5)λ:單位時間內(nèi)顧客到達(dá)的均值(即兩次到達(dá)平均間隔時間的倒數(shù));(6)μ:單位時間內(nèi)顧客離去的均值(即兩次離開平均間隔時間的倒數(shù));(7)ρ:在相同的時間間隔內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)與能被服務(wù)的顧客的平均數(shù)的比值，稱為服務(wù)強(qiáng)度或服務(wù)因子，則,若可以預(yù)期隊(duì)伍會越來越長，若。則排隊(duì)情況必將逐步改善，甚至根本不必排隊(duì);(8)P0:服務(wù)設(shè)施閑置概率，或閑置時間和忙期。上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介1.顧客到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時間的分布下面簡要介紹幾個重要分布。(1)t時間內(nèi)到達(dá)r個顧客的概率(泊松分布):其中λ是單位時間內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的均值(即數(shù)學(xué)期望)。(2)顧客相繼到達(dá)的時間間隔T的分布(指數(shù)分布):分布密度曲線為數(shù)學(xué)期望和方差分別為上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介

(3)服務(wù)時間S的分布:對一個顧客的服務(wù)時間S，就是在忙期相繼離開系統(tǒng)的兩顧客的間隔時間它一也服從指數(shù)分布，其密度曲線為:且服務(wù)設(shè)施每單位時間內(nèi)平均服務(wù)

μ

個顧客(即單位時間內(nèi)離開服務(wù)設(shè)施的人數(shù))。稱平均服務(wù)率生表示對一個顧客服務(wù)的平均時間，此處“平均”是指概率

論中的期望值。上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介2.系統(tǒng)中有，t個顧客的概率令n代表某一系統(tǒng)中的顧客數(shù)(稱為該系統(tǒng)的狀態(tài))，Pn(t)代表給定時刻t時系統(tǒng)內(nèi)有n個顧客的概率(稱為狀態(tài)概率)，Pn代表過了相當(dāng)長的時間以后，狀態(tài)概率波動極小而趨于穩(wěn)定時的值(稱為穩(wěn)態(tài)概率)。Pn(t)與Pn之間的關(guān)系是:當(dāng)t無限增大時，Pn(t)無限接近于Pn這里，Pn(t)與時間有關(guān)，Pn與時間無關(guān)。可以想象，在相當(dāng)長時間以后，系統(tǒng)內(nèi)有，t個顧客的概率波動極小，即上一頁下一頁返回2.2隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論簡介當(dāng)t無限增大