高中數(shù)學(xué)平面向量9篇

1/1高中數(shù)學(xué)平面向量（集錦9篇）

高中數(shù)學(xué)平面向量第1篇第一教時(shí)

教材：

向量

目的：

要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個(gè)向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等。

過(guò)程：

一、開(kāi)場(chǎng)白：本P93（略）

實(shí)例：老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)贐處向東追去，

問(wèn)：貓能否追到老鼠？（畫(huà)圖）

結(jié)論：貓的速度再快也沒(méi)用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了。

二、提出題：平面向量

1．意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量等

注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。

2從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì)。

2．向量的表示方法：

1幾何表示法：點(diǎn)—射線

有向線段——具有一定方向的線段

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度

記作（注意起訖）

2字母表示法：可表示為（印刷時(shí)用黑體字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3．模的概念：向量的大小——長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的模。

記作：模是可以比較大小的

4．兩個(gè)特殊的向量：

1零向量——長(zhǎng)度（模）為0的向量，記作。的方向是任意的。

注意與0的區(qū)別

2單位向量——長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。

例：溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？

答：不是。因?yàn)榱闵狭阆乱仓皇谴笮≈帧?/p>

例：與是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有幾個(gè)單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？

答：有無(wú)數(shù)個(gè)單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。

三、向量間的關(guān)系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

記作：∥∥

規(guī)定：與任一向量平行

2．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

記作：=

規(guī)定：=

任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。

3．共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，

所以平行向量也叫共線向量。

例：（P95）略

變式一：與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）

變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）

變式三：與向量共線的向量有哪些？（）

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

P96練習(xí)習(xí)題5.1

高中數(shù)學(xué)平面向量第2篇s|cosθ，

功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移這兩個(gè)向量的大小與它們夾角余弦的乘積。這給我們一種啟示：能否把功W看成是兩向量F和s的一種運(yùn)算的結(jié)果呢，為此我們引入平面向量的數(shù)量積。

(二)講授新課

今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)：(板書(shū)課題)

平面向量的數(shù)量積

一、向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量|高中數(shù)學(xué)平面向量第3篇教材分析：

前面已學(xué)習(xí)了向量的概念及向量的線性運(yùn)算，這里引入一種新的向量運(yùn)算——向量的數(shù)量積。教科書(shū)以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，既使向量數(shù)量積運(yùn)算與學(xué)生已有知識(shí)建立了聯(lián)系，又使學(xué)生看到向量數(shù)量積與向量模的大小及夾角有關(guān)，同時(shí)與前面的向量運(yùn)算不同，其計(jì)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量。

在定義了數(shù)量積的概念后，進(jìn)一步探究了兩個(gè)向量夾角對(duì)數(shù)量積符號(hào)的影響;然后由投影的概念得出了數(shù)量積的幾何意義;并由數(shù)量積的定義推導(dǎo)出一些數(shù)量積的重要性質(zhì);最后“探究”研究了運(yùn)算律。

教學(xué)目標(biāo)：

(一)知識(shí)與技能

掌握數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)及運(yùn)算律;

能應(yīng)用數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律解決問(wèn)題;

了解用平面向量數(shù)量積可以解決長(zhǎng)度、角度、垂直共線等問(wèn)題，為下節(jié)課靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積解決問(wèn)題打好基礎(chǔ)。

(二)過(guò)程與方法

以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)與形兩方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積定義進(jìn)行探究，通過(guò)例題分析，使學(xué)生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別。

(三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀

創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，從物理學(xué)中“功”這個(gè)概念引入課題，開(kāi)始就激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生容易切入課題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科及生活實(shí)踐的聯(lián)系。

教學(xué)重點(diǎn)：

平面向量的數(shù)量積的定義;

用平面向量的數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角。

教學(xué)難點(diǎn)：

平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。

教學(xué)方法：

啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)過(guò)程：

(一)提出問(wèn)題，引入新課

前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的線性運(yùn)算，包括向量的加法、減法、以及數(shù)乘運(yùn)算，它們的運(yùn)算結(jié)果都是向量，既然兩個(gè)向量可以進(jìn)行加法、減法運(yùn)算，我們自然會(huì)提出：兩個(gè)向量是否能進(jìn)行“乘法”運(yùn)算呢?如果能，運(yùn)算結(jié)果又是什么呢?

這讓我們聯(lián)想到物理中“功”的概念，即如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，F(xiàn)與s的夾角是θ，那么力F所做的功如何計(jì)算呢?

我們知道：W=|F高中數(shù)學(xué)平面向量第4篇一、總體設(shè)想：

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義;二是圍繞數(shù)量積的概念通過(guò)變形和限定衍生出新知識(shí)――垂直的判斷、求夾角和線段長(zhǎng)度的公式。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)計(jì)：一是數(shù)量積的概念;二是幾何意義和運(yùn)算律;三是兩個(gè)向量的模與夾角的計(jì)算。

二、教學(xué)目標(biāo)：

了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義

理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)的判斷和計(jì)算

三、重、難點(diǎn)：

【重點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究和應(yīng)用

【難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

課時(shí)安排：

2課時(shí)

五、教學(xué)方案及其設(shè)計(jì)意圖：

平面向量數(shù)量積的物理背景

平面向量的數(shù)量積，其源自對(duì)受力物體在其運(yùn)動(dòng)方向上做功等物理問(wèn)題的抽象。首先說(shuō)明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問(wèn)題中出現(xiàn)了兩個(gè)矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，這時(shí)物體力F的所做的功為W，這里的(是矢量F和s的夾角，也即是兩個(gè)向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使學(xué)生明確“把向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個(gè)啟示：功是否是兩個(gè)向量某種運(yùn)算的結(jié)果呢?以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a，b的數(shù)量積的概念。

平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a高中數(shù)學(xué)平面向量第5篇b|cos(無(wú)法得到，因此另外進(jìn)行了規(guī)定。

兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b，作=a，=b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.

，是記法，是定義的實(shí)質(zhì)――它是一個(gè)實(shí)數(shù)。按照推理，當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為正數(shù);當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為零;當(dāng)時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。

“投影”的概念

定義：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個(gè)數(shù)量，它的符號(hào)取決于角(的大小。當(dāng)(為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)(為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)(為直角時(shí)投影為0;當(dāng)(=0(時(shí)投影為|b|;當(dāng)(=180(時(shí)投影為(|b|.因此投影可正、可負(fù)，還可為零。

根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫(xiě)成

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。

向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a(b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos(的乘積.

向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實(shí)質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。是向量b在a的方向上的投影。

兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，則

(1)a(b(a(b=0;

(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a(b=|a高中數(shù)學(xué)平面向量第6篇《平面向量數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)

案例名稱(chēng)平面向量數(shù)量積的設(shè)計(jì)主備人組員課時(shí)3課時(shí)一、教材內(nèi)容分析平面向量數(shù)量積是人教版高一下冊(cè)第五章第六節(jié)內(nèi)容，本節(jié)課是以解決某些幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的重要工具。學(xué)習(xí)本節(jié)要掌握好數(shù)量積的定義、公式和性質(zhì)，它是考查數(shù)學(xué)能力的一個(gè)結(jié)合點(diǎn)，可以構(gòu)建向量模型，解決函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何中有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直、平行等問(wèn)題，因此是高考命題中“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)處設(shè)計(jì)命題”的重要載體。二、教學(xué)目標(biāo)(知識(shí)，技能，情感態(tài)度、價(jià)值觀)(一)知識(shí)與技能目標(biāo)

1、知道平面向量數(shù)量積的定義的產(chǎn)生過(guò)程，掌握其定義，了解其幾何意義;

2、能夠由定義探究平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì);

3、能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直、共線關(guān)系

(二)過(guò)程與方法目標(biāo)

(1)通過(guò)物理學(xué)中同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的功的概念引導(dǎo)學(xué)生探究出數(shù)量積的定義并由定義探究性質(zhì);

(2)由功的物理意義導(dǎo)出數(shù)量積的幾何意義;

(三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)本節(jié)的自主性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

三、學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)向量的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也已經(jīng)具備一定的自學(xué)能力，多數(shù)同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但在探究問(wèn)題的能力、合作交流的意識(shí)等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強(qiáng)。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)教法：觀察法、討論法、比較法、歸納法、啟發(fā)引導(dǎo)法。

學(xué)法：自主探究、合作交流、歸納總結(jié)。

教師與學(xué)生互動(dòng)：學(xué)生自主探究，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥。五、教學(xué)環(huán)境及資源準(zhǔn)備三角尺六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖及資源準(zhǔn)備

創(chuàng)設(shè)情景引入新課

問(wèn)題1在物理學(xué)中，我們學(xué)過(guò)功的概念，如果給出力的大小和位移的大小能否求出功的大小?師】：提出學(xué)生已學(xué)過(guò)的問(wèn)題設(shè)置疑問(wèn)，激發(fā)學(xué)生興趣。

【生】：W=FScos讓學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的物理知識(shí)激發(fā)學(xué)生興趣，并能夠分析此公式的形式。問(wèn)題2在上述公式中的角是誰(shuí)與誰(shuí)的夾角?兩向量的夾角是如何定義的?【師】：提問(wèn)角從而引出兩向量夾角的定義。

【生】：指出角是力與所發(fā)生的位移的夾角能夠通過(guò)物理學(xué)中功的概念及公式中夾角的定義，從而給出兩向量夾角的定義。

師生互動(dòng)探索新知

1引出兩個(gè)向量的夾角的定義

定義：向量夾角的定義：設(shè)兩個(gè)非零向量a=OA與b=OB，稱(chēng)∠AOB=為向量a與b的夾角，(00≤θ≤1800)。

(此概念可由老師用定義的方式向?qū)W生直接接示)

【師】：給出任意兩個(gè)向量由學(xué)生作出夾角并通過(guò)作圖引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)出兩向量夾角的特征及各種特殊情況。

【生】：學(xué)生作圖，任意兩向量的夾角包括垂直，同向及反向的情況。

注：(1)當(dāng)非零向量a與b同方向時(shí)，θ=00

(2)當(dāng)a與b反方向時(shí)θ=1800(共線或平行時(shí))

(3)0與其它非零向量不談夾角問(wèn)題

(4)a⊥b時(shí)θ=900

(5)求兩向量夾角須將兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn)

實(shí)際應(yīng)用鞏固新知

1實(shí)際問(wèn)題我能行

例1在三角形ABC中，∠ABC=450，BA與BC夾角是多少?BA與CB夾角呢?【生】：以四人為小組合作、交流。

高中數(shù)學(xué)平面向量第7篇|cosθ，其中θ是與的夾角。

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即=0

注意：

(1)符號(hào)“”在向量運(yùn)算中既不能省略，也不能用“×”代替。

(2)是與的夾角，范圍是0≤θ≤π，(再找兩向量夾角時(shí)，若兩向量起點(diǎn)不同，必須通過(guò)平移，把起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再找?jiàn)A角)。

(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量。而且這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的模及其夾角有關(guān)。

(4)兩非零向量與的數(shù)量積的符號(hào)由夾角θ決定：

cosθ

=cosθ=0

cosθ

前面我們學(xué)習(xí)了向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，他們都有明確的幾何意義，那么向量的數(shù)量積的幾何意義是什么呢?

二、數(shù)量積的幾何意義

“投影”的概念：已知兩個(gè)非零向量與，θ是與的夾角，||cos(叫做向量在方向上的投影

思考：投影是向量，還是數(shù)量?

根據(jù)投影的定義，投影當(dāng)然算數(shù)量，可能為正，可能為負(fù)，還可能為0

|(為銳角(為鈍角(為直角

||cos(||cos(||cos(=0

當(dāng)(為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)(為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)(為直角時(shí)投影為0;當(dāng)(=0(時(shí)投影為||;當(dāng)(=180(時(shí)投影為(||

思考：在方向上的投影是什么，并作圖表示

數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在方向上投影||cos(的乘積，也等于的長(zhǎng)度||與在方向上的投影||cos(的乘積。

根據(jù)數(shù)量積的定義，可以推出一些結(jié)論，我們把它們作為數(shù)量積的重要性質(zhì)

三、數(shù)量積的重要性質(zhì)

設(shè)與都是非零向量，θ是與的夾角

高中數(shù)學(xué)平面向量第8篇目的：

通過(guò)練習(xí)使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與積，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題。

過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：

1．實(shí)數(shù)與向量的積(強(qiáng)調(diào)：“?！迸c“方向”兩點(diǎn))

2．三個(gè)運(yùn)算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律）

3．向量共線的充要條件

4．平面向量的基本定理（定理的本身及其實(shí)質(zhì)）

二、例題

1．當(dāng)λZ時(shí)，驗(yàn)證：λ(+)=λ+λ

證：當(dāng)λ=0時(shí)，左邊=0(+)=右邊=0+0=分配律成立

當(dāng)λ為正整數(shù)時(shí)，令λ=n,則有：

n(+)=(+)+(+)+…+(+)

=++…+++++…+=n+n

即λ為正整數(shù)時(shí)，分配律成立

當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令λ=n（n為正整數(shù)），有：

n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn

分配律仍成立

綜上所述，當(dāng)λ為整數(shù)時(shí)，λ(+)=λ+λ恒成立。

2．1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖），已知兩細(xì)繩與水平線分別成30,60角，問(wèn)兩細(xì)繩各受到多大的力？

解：將重力在兩根細(xì)繩方向上分解，兩細(xì)繩間夾角為90

1(kg)P1OP=60P2OP=30

∴cos60=1=0.5(kg)

cos30=1=0.87(kg)

即兩根細(xì)繩上承受的拉力分別為0.5kg和0.87kg。

高中數(shù)學(xué)平面向量第9篇教材分析：

教科書(shū)以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念，功是一個(gè)標(biāo)量，它用力和位移兩個(gè)向量來(lái)定義，反應(yīng)在數(shù)學(xué)上就是向量的數(shù)量積。

向量的數(shù)量積是過(guò)去學(xué)習(xí)中沒(méi)有遇到過(guò)的一種新的乘法，與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教科書(shū)通過(guò)“探究”，要求學(xué)生自己利用向量的數(shù)量積定義推導(dǎo)有關(guān)結(jié)論。這些結(jié)論可以看成是定義的直接推論。

教材例一是對(duì)數(shù)量積含義的直接應(yīng)用。

學(xué)情分析：

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的概念及向量的線性運(yùn)算，這里引入一種新的向量運(yùn)算——向量的數(shù)量積，教科書(shū)以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，既使向量數(shù)量積運(yùn)算與學(xué)生已有知識(shí)建立了聯(lián)系，又使學(xué)生看到數(shù)量積與向量模的大小有及夾角有關(guān)，同時(shí)與前面的向量運(yùn)算不同，其計(jì)算結(jié)果不是向量而是數(shù)量。

三維目標(biāo)：

(一)知識(shí)與技能

1、學(xué)生通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，認(rèn)識(shí)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，體會(huì)平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

2、學(xué)生通過(guò)平面向量數(shù)量積的3個(gè)重要性質(zhì)的探究，體會(huì)類(lèi)比與歸納、對(duì)比與辨析等數(shù)學(xué)方法，正確熟練的應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

(二)過(guò)程與方法

1、學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)例到抽象到抽象的的數(shù)