《一定是直角三角形嗎》示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)】

第一章勾股定理2一定是直角三角形嗎一、教學(xué)目標(biāo) 1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理能力．2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形．3.利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．4.培養(yǎng)邏輯思維能力及推理能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理.難點(diǎn)：利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【情境引入】教師活動(dòng)：先提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，然后再給出答案.問(wèn)題：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?預(yù)設(shè)答案：用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子就得到一個(gè)直角三角形，其直角在第1個(gè)結(jié)處.追問(wèn)：直角三角形有哪些性質(zhì)呢？預(yù)設(shè)答案：直角三角形的性質(zhì)：(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩個(gè)銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；（勾股定理）教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)勾股定理.提出問(wèn)題：如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？思考，討論回顧直角三角形的性質(zhì)及勾股定理思考通過(guò)情境引入吸引學(xué)生注意力，然后復(fù)習(xí)回顧直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)二探究新知【合作探究】教師活動(dòng)：教師課件展示幾組數(shù)，讓學(xué)生先驗(yàn)證四組數(shù)是否都滿足a2+b2=c2，畫出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的三角形后使用量角器測(cè)量這些三角形是不是直角三角形，得出勾股定理逆定理的猜想.問(wèn)題：下面的每組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；回答下列問(wèn)題:這四組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？預(yù)設(shè)答案：①∵32+42=52，∴3，4，5這組數(shù)滿足a2+b2=c2.②∵52+122=132，∴5，12，13這組數(shù)滿足a2+b2=c2.③∵82+152=172，∴8，15，17這組數(shù)滿足a2+b2=c2.④∵72+242=252，∴8，15，17這組數(shù)滿足a2+b2=c2.(2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)畫出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？預(yù)設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：通過(guò)測(cè)量，以這四組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出的三角形都是直角三角形.猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.問(wèn)題：利用量角器手工測(cè)量結(jié)果可能有誤差，有沒(méi)有更有說(shuō)服力的理由?預(yù)設(shè)答案：理由一：銳角三角形和鈍角三角形中，任意兩邊的平方和都不等于第三邊的平方.因此，以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形不是銳角三角和鈍角三角形，一定是直角三角形.理由二：以3和4為鄰邊構(gòu)造三角形，觀察隨著夾角的增加第三邊的變化趨勢(shì).隨著夾角增大，第三邊的長(zhǎng)度也越來(lái)越大，根據(jù)勾股定理，夾角是直角的時(shí)候，第三邊長(zhǎng)度是5，夾角不是直角的時(shí)候，第三邊長(zhǎng)度肯定不是5，因此，邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形一定是直角三角形.【想一想】在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判斷△ABC不是直角三角形？還有什么方法能證明嗎？預(yù)設(shè)答案：作一個(gè)直角∠MC1N，在C1N上截取C1A1=b=CA，在C1M上截取C1B1=a=CB，連接A1B1.追問(wèn)：△ABC與△A1B1C1為何全等？？預(yù)設(shè)答案：證明：在Rt△A1B1C1中，由勾股定理得A1B12=a2+b2=c2=AB2.∴A1B1=AB，在△ABC和△A1B1C1中，∵AB=A1B1=c，BC=B1C1=a，AC=A1C1=b.∴△ABC≌△A1B1C1.（SSS）∴∠C=∠C1=90°，∴△ABC是直角三角形.【歸納】勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.特別說(shuō)明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角，最長(zhǎng)邊所對(duì)角為直角.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).正整數(shù)：大于0的整數(shù)，如1，2，3...常見(jiàn)勾股數(shù)：①3，4，5；②9，40，41；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.問(wèn)題：那怎么判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)呢？同學(xué)們一起來(lái)做一做下面這個(gè)題.1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132分析：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和，而A選項(xiàng)中62+82=102，符合勾股數(shù)的定義，所以選擇A.預(yù)設(shè)答案：A.認(rèn)真計(jì)算，也可借助計(jì)算器輔助計(jì)算.分組仔細(xì)測(cè)量得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果.思考舉手回答熟悉證明過(guò)程熟悉勾股定理的逆定理及勾股數(shù)定義、常見(jiàn)勾股數(shù).通過(guò)測(cè)量活動(dòng)，得出勾股定理的逆定理的猜想.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些理性的思考，得出更有說(shuō)服力的理由，驗(yàn)證剛才的猜想.通過(guò)證明讓學(xué)生明確勾股定理的逆定理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.通過(guò)歸納勾股定理的逆定理、勾股數(shù)的定義，培養(yǎng)歸納概括能力.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過(guò)程.【例】一個(gè)零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖2所示，這個(gè)零件符合要求嗎?分析：要判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，可以根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)判斷，計(jì)算兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.證明：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此這個(gè)零件符合要求.明確例題的做法利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.環(huán)節(jié)四鞏固新知【隨堂練習(xí)】教師活動(dòng)：教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理由.（1）9，12，15（2）12，18，22（3）12，35，36（4）15，36，392.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流.3.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為9，40，那么斜邊長(zhǎng)為多少？4.如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.參考答案：1.第一、四組可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)；第二、三組不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng).2.解：∵ABCD為正方形∴∠A，∠C，∠D均為直角，∴△ABE，△DEF，△FCB均為直角三角形.由勾股定理得：BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25，∴BE2+EF2=BF2，∴△BEF是直角三角形.∴圖中共有4個(gè)直角三角形.3.解：由勾股定理得：92+402=1681，而412=1681即92+402=412所以斜邊長(zhǎng)為41.4.解：連接BD.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2+AD2，∴BD=5cm，又∵CD=12cm，BC=13cm∴BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－AB?AD=(5×12－3×4)=24cm2所以四邊形ABCD的面積24cm2.自主完成練習(xí)，然后集體交流評(píng)價(jià).通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，并