第一章-1.3-第2課時柱體、錐體、臺體、球的體積與球的表面積

第2課時柱體、錐體、臺體、球的體積與球的表面積明目標(biāo)、知重點1.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用它們求有關(guān)幾何體的體積；2.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積；3.會求簡單組合體的體積及表面積.1.柱體、錐體、臺體的體積幾何體體積柱體V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)，V圓柱＝πr2h(r為底面半徑)錐體V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r為底面半徑)臺體V臺體＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)，V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分別為上、下底面半徑)2.球的體積球的半徑為R，那么它的體積V＝eq\f(4,3)πR3.3.球的表面積球的半徑為R，那么它的表面積S＝4πR2.[情境導(dǎo)學(xué)]上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了幾何體的表面積，一般地，面積是相對平面圖形來說的，對于空間圖形需要研究它們的體積，本節(jié)我們就來研究柱體、錐體、臺體、球的體積和球的表面積問題.探究點一柱體、錐體、臺體的體積例1如圖所示的三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且PB＝1，PA＝eq\r(3)，PC＝eq\r(6)，求其體積.(一直線和一平面內(nèi)兩相交直線垂直，則直線與平面垂直)解由題意知PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA垂直平面PBC.∴PA是三棱錐A—PBC的底面PBC上的高，且S△PBC＝eq\f(1,2)·PB·PC＝eq\f(\r(6),2)(因PB⊥PC)，∴V三棱錐P—ABC＝V三棱錐A—PBC＝eq\f(1,3)·PA·S△PBC＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(18),6)＝eq\f(\r(2),2)，即三棱錐P—ABC的體積為eq\f(\r(2),2).反思與感悟三棱錐的任一側(cè)面都可以做為底面來求其體積；在已知三棱錐的體積時，可用等體積法求點到平面的距離.在本例中有VP－ABC＝VA－PBC＝VB－PAC＝VC－PAB.跟蹤訓(xùn)練1一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.2π＋2eq\r(3) B.4π＋2eq\r(3)C.2π＋eq\f(2\r(3),3) D.4π＋eq\f(2\r(3),3)答案C解析該空間幾何體由一圓柱和一四棱錐組成，圓柱的底面半徑為1，高為2，體積為2π，四棱錐的底面邊長為eq\r(2)，高為eq\r(3)，所以體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)，所以該幾何體的體積為2π＋eq\f(2\r(3),3).探究點二球的體積和表面積思考球既沒有底面，也無法像柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和體積呢？就目前我們學(xué)過的知識還不能解決，我們不妨先記住公式.設(shè)球的半徑為R，那么它的體積：V＝eq\f(4,3)πR3，它的表面積S＝4πR2，現(xiàn)在請大家觀察這兩個公式，思考它們都有什么特點？答這兩個公式說明球的體積和表面積都由球的半徑R唯一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數(shù)，球的表面積是半徑R的二次函數(shù)，并且表面積為半徑為R的圓面積的4倍.例2如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：(1)球的體積等于圓柱體積的eq\f(2,3)；(2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.證明(1)設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.因為V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，所以，V球＝eq\f(2,3)V圓柱.(2)因為S球＝4πR2，S圓柱側(cè)＝2πR·2R＝4πR2，所以S球＝S圓柱側(cè).反思與感悟(1)球與正方體的六個面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長.(2)球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對角線.(3)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.(4)球與圓臺的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.跟蹤訓(xùn)練2球與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺的側(cè)面積之比為3∶4，則球的體積與圓臺的體積之比為()A.6∶13 B.5∶14C.3∶4 D.7∶15答案A解析如圖所示，作圓臺的軸截面等腰梯形ABCD，球的大圓O內(nèi)切于梯形ABCD.設(shè)球的半徑為R，圓臺的上、下底面半徑分別為r1、r2，由平面幾何知識知，圓臺的高為2R，母線長為r1＋r2.∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E為切點)，∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2.由已知S球∶S圓臺側(cè)＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4.(r1＋r2)2＝eq\f(16,3)R2.V球∶V圓臺＝eq\f(\f(4,3)πR3,\f(1,3)πr12＋r1r2＋r22·2R)＝eq\f(2R2,r1＋r22－r1r2)＝eq\f(2R2,\f(16,3)R2－R2)＝eq\f(6,13).探究點三簡單組合體的表面積和體積例3如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周.求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.解在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐.由上述計算知，圓柱母線長eq\r(3)a，底面半徑2a；圓錐的母線長2a，底面半徑a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積.V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3.V錐＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.反思與感悟求組合體的表面積或體積，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)該怎樣求，然后再根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相加或相減.求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF與面ABCD的距離為2，求該多面體的體積.解分別取AB，CD的中點G，H，連接EG，EH，EB，EC，GH(如圖所示)，易知BCF－GHE為三棱柱，則有VABCDEF＝VE－ABCD＋VE－BCF，∵VE－ABCD＝eq\f(1,3)×9×2＝6，∴VE－GBCH＝3.VE－GBCH＋VE－BCF＝VBCF－GHE，又VE－BCF＝eq\f(1,3)VBCF－GHE，∴VE－BCF＝eq\f(1,2)VE－GBCH＝eq\f(3,2).∴VABCDEF＝6＋eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案D解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).2.設(shè)正六棱錐(底面為正六邊形)的底面邊長為1，側(cè)棱長為eq\r(5)，那么它的體積為()A.6eq\r(3) B.eq\r(3)C.2eq\r(3) D.2答案B解析因正六棱錐的高為eq\r(5－12)＝2，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\r(3).3.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________.答案eq\f(3,2)解析設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).4.一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________.答案12解析設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h(yuǎn)′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1.柱體、錐體、臺體的體積之間的內(nèi)在關(guān)系為V柱體＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V臺體＝eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)eq\o(→,\s\up7(S′＝0))V錐體＝eq\f(1,3)Sh.2.在三棱錐A－BCD中，若求點A到平面BCD的距離h，可以先求VA－BCD，h＝eq\f(3V,S△BCD).這種方法就是用等體積法求點到平面的距離，其中V一般用換頂點法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求.3.求幾何體的體積，要注意分割與補形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.4.利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進行相關(guān)計算.5.解決球與其他幾何體的切接問題，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進行相關(guān)計算.一、基礎(chǔ)過關(guān)1.某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A.72cm3 B.90cm3C.108cm3 D.138cm3答案B解析該幾何體為一個組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長方體，如圖所示.V＝V三棱柱＋V長方體＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3).2.兩個球的半徑之比為1∶3，那么兩個球的表面積之比為()A.1∶9 B.1∶27C.1∶3 D.1∶1答案A解析eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πr21,4πr22)＝(eq\f(r1,r2))2＝(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,9).3.已知直角三角形的兩直角邊長為a、b，分別以這兩條直角邊所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積之比為()A.a∶b B.b∶aC.a2∶b2 D.b2∶a2答案B解析以長為a的直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到圓錐體積V＝eq\f(1,3)πb2a，以長為b的直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到圓錐體積V＝eq\f(1,3)πa2b.所以eq\f(1,3)πb2a∶eq\f(1,3)πa2b＝b∶a.4.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2C.4πRr D.π(R＋r)2答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.5.將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4cm，則鋼球的半徑是________cm.答案3解析設(shè)球的半徑為r，則36π＝eq\f(4,3)πr3，可得r＝3cm.6.已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為eq\r(2)，則該三棱錐的外接球的表面積為________.答案3π解析如圖，構(gòu)造正方體ANDM—FBEC.因為三棱錐A—BCD的所有棱長都為eq\r(2)，所以正方體ANDM—FBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2).易知三棱錐A—BCD的外接球就是正方體ANDM—FBEC的外接球，所以三棱錐A—BCD的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2).所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3π.7.如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.解在三棱錐A1－ABD中，由題意知AA1是三棱錐的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)·eq\r(2)a·d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.二、能力提升8.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8－2π B.8－πC.8－eq\f(π,2) D.8－eq\f(π,4)答案B解析這是一個正方體切掉兩個eq\f(1,4)圓柱后得到的幾何體，如圖，幾何體的高為2，V＝23－eq\f(1,4)×π×12×2×2＝8－π.9.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為()A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3答案A解析作出該球軸截面的圖象如圖所示，依題意BE＝2，AE＝CE＝4，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因為AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故該球的半徑AD＝5，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3).10.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________.答案eq\f(3,2)解析設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，則eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).11.若E，F(xiàn)是三棱柱ABCA1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐ABEFC的體積.解如圖所示，連接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積.又四棱錐ABEFC的高與四棱錐AB1EFC1的高相等，∴VABEFC＝VAB1EFC1＝eq\f(1,2)VABB1C1C.又VAA1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VAA1B1C1＝eq\f(m,3)，∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1VAA1B1C1＝eq\f(2,3)m，∴VABEFC＝