高數(shù)課件27.數(shù)量積向量

1*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第七章

2一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)，引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為讀作點(diǎn)乘。．

3記作故有注：此兩式也可以用點(diǎn)積來計(jì)算投影的公式例．求向量在向量方向上的投影．

解故42.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有53.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;6例.

證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)74.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式

,得8例.

已知三點(diǎn)AMB.解:則求故例.在xoy面求一向量，使得

且。,其中，答案：

9例．已知某向量模為2，與軸、軸的夾角相等，與軸的夾角是前者的兩倍，求此向量．

解設(shè)所求向量為，則其方向角則且有,所以或，即或，從而或又或10例．設(shè)為單位向量，且滿足，求解

將上面的三式相加,得

此題也利用等式點(diǎn)乘得出結(jié)果。11二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力121.定義定義向量方向:(叉積、外積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱思考:

右圖三角形面積S＝右手規(guī)則讀作叉乘。

的幾何意義：以、為邊的平行四邊形的面積．

注：132.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:14

在空間直角坐標(biāo)系中

iijjkk?

ij?jk?ki?討論：提示：

iijjkk0,

ijk,

jki,

kij.154.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則16向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見P339～P342)17

例

設(shè)a(2,1,

-1),

b(1,

-1,2),計(jì)算ab

.

設(shè)aaxiayjazk,bbxibyjbzk,則(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.

解

=2i-i-4j-j-2k-k=i5j3k.注：設(shè)為非零向量，則

18例.已知三點(diǎn)角形

ABC

的面積。解:

如圖所示,求三19例．已知，求一個(gè)單位向量，使之既垂直于又垂直于．

，解一

根據(jù)向量積的定義，滿足既垂直于又垂直于．

可得：

解二

設(shè)所求向量為

，利用題中條件解三個(gè)方程組，可得

，，即．

20*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其212.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)223.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)23內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:24混合積:2.向量關(guān)系:25思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.2.用向量方法證明正弦定理:3．設(shè)，，求向量間的夾角．

4.已知向量的夾角且26思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:27證:由三角形面積公式所以因283．設(shè)，，求向量間的夾角．

：，

：兩式相減解得且,且解2941.已知向量的夾角且解：30在頂點(diǎn)為三角形中,求AC