數(shù)形結(jié)合例題選集

一、在一些命題證明中得應(yīng)用舉例:解析:上圖中,四個小三角形(陰影部分)得面積加上中間小正方形得面積等于大正:解析:在上圖中,利用正方形與小正方形面積得轉(zhuǎn)化,能更進一步理解平方差公式與完全平方公式得運算過程以及公式得本質(zhì)問題、3、證明基本不等式:解析:如上圖所示,直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半,長度為,根據(jù)直角三關(guān)系,可以得到直角三角形斜邊上得高得長度為,顯然在直角三角形中,斜邊上得中線得長度會大于等于高,利用這樣簡潔明了得幾何圖解,對基本不等式終邊始終在第一象限內(nèi),根據(jù)三角函數(shù)線可知,藍線表示正弦線,紅線表示正切線,再根據(jù)弧長公式,即圖中黑色弧線得長度表示x,顯而易見、紅線長度>弧線長度〉如上圖所示,根據(jù)三角比得定義及單位圓得定義可知單位圓上得點得坐標(biāo)表示。左圖中,,將B點旋轉(zhuǎn)至(1,0)處(右圖所示)。此時,,因為線段AB得長度沒有量數(shù)量積定義,證明更加簡潔。如左圖,二、在考試中得具體應(yīng)用:例1(14奉賢)已知定義在R上得函數(shù)y=f(x)對任意x都滿足f(x+2)＝-f(x),當(dāng)只有四個零點,則a得取值范圍就是(2)當(dāng)a>1時,也有兩個界值,如下圖所示:評注:數(shù)形結(jié)合體型,一定要結(jié)合圖像分析,并且一些用于定位得特殊點要善于把握;另一方面,必須熟悉初等函數(shù)得所有性質(zhì)及函數(shù)圖像得變換、cd評注:這類題出現(xiàn)很多,典型得數(shù)形結(jié)合題型,要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)性質(zhì),尤其就是對稱性與周期性;在草稿紙上作圖時,雖說就是草圖,但有必要做出定位;寫區(qū)間時,務(wù)必考慮區(qū)間得開閉情況。析:根據(jù)題意,如下圖所示,=、例3(14楊浦)定義一種新運算:。已知函數(shù)f(x)＝(1＋gxfxkk)評注:本題考查分段函數(shù)表達式求法,函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點問題,數(shù)形例4(14寶山)關(guān)于函數(shù)f(x)=,給出下列四個命題:②方程f(x)=kx+b(k0)一定有解;③如果方程f(x)＝k有解,則解得個數(shù)一定就是偶數(shù);④y=f(x)就是偶函數(shù)且有最小值、答案:②、④評注:含絕對值得數(shù)形結(jié)合題型,根據(jù)絕對值內(nèi)得情況,進行分類討論,畫出函數(shù)圖像,再結(jié)合函數(shù)性質(zhì),一般就是對稱性或奇偶性,然后根據(jù)函數(shù)圖像對各項進行分析篩選。例5(14奉賢)定義在上得函數(shù)f(x)滿足:設(shè)關(guān)于x得函數(shù)F(x)=f(x)-1得零點從小到大依次記為、圖像,如下圖所示,圖像就畫出來了,答案合在直觀呈現(xiàn)方面得快捷。知函數(shù)周期為,因為函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點之間相差個周期,即,所以在區(qū)間[0,]內(nèi)得解(即在區(qū)間[0,]內(nèi)得零點)為x＝。種情況:(2)當(dāng)a〉1時,如下圖所示,在要至少5個交點,在x＝1處要大于0評注:這就是一道典型得數(shù)形結(jié)合得題型,將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點個數(shù)問題,。例3(14虹口)函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像所有交點得橫坐標(biāo)之與為答案:17解析:畫出函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像,如下圖所示:評注:本題首先要熟悉函數(shù)得圖像變換,精確畫出函數(shù)圖像,然后再研究交點得特性,在這道題中,交點關(guān)于點(1,0)對稱得,在這個前提下,求橫坐標(biāo)之與就轉(zhuǎn)化成簡例4已知函數(shù)y=f(x),任取tR,定義集合:,},設(shè),記(1)若函數(shù)f(x)=x,則h(1)=(2)若函數(shù)f(x)=sin,則h(t)得最大值為解析:定義得意思就是函數(shù)y=f(x)在以定點P(點P在函數(shù)圖像上)為圓心半徑為圖像得值域即fxsin最小值之差2,如下圖所示,通過理解觀察,可得出能評注:這就是一道理解性得定義體型,理解題目得定義很重要,然后結(jié)合函數(shù)圖像分析就不難了。②f(x)=2kf(x+2k)(k),對于一切x恒成立;解析:根據(jù)下圖所示可知:②選項就是,④選項反比例函數(shù)圖像至少要滿足點()上,此時,些特殊點定位,圖像盡量做到精確,才能避免差錯示,根據(jù)題目數(shù)據(jù),可得,AB=2,可以先算第一象限得面積,由一個扇形與一個四邊評注:方程圖像問題,含絕對值,所以根據(jù)象限分類討論,根據(jù)相關(guān)性質(zhì)畫出方程圖圍成得封閉圖形得面積為得最小值就是答案:1。例3(14金山)已知有相同焦點得橢圓=0()2121221212法二:對于橢圓而言,焦點三角形得面積為,對于雙曲線而言焦點三角形面積,而這評注:熟悉圓錐曲線得定義非常重要,根據(jù)條件找到變量之間恒定得關(guān)系,做數(shù)學(xué)題時,很多時候要辯證思考,透過變化得表象,發(fā)現(xiàn)不變得內(nèi)在聯(lián)系,動靜結(jié)合,有機例4(14金山)設(shè)雙曲線上動點P到定點得距離三最小值就是()評注:這就是一類要考慮極限位置得極限體型,在高考中出現(xiàn)過類似得題目,一般找到了極限得位置,題目就很容易解得,很多同學(xué)不會因為沒有想到極限得位置,例5(14閔行)若曲線上存在兩個不同點處得切線重合,則稱這條切線為曲線得自公切線,下列方程得曲線有自公切線得就是()評注:利用數(shù)形結(jié)合得方法,考查了含絕對值曲線方程得畫法,一般根據(jù)圖像得對稱性,或者分區(qū)間、分象限進行分類討論函數(shù)方程在各個象限得圖像,再結(jié)合題意AB+1AC，即入x=y=1，1+1=1，化簡xy=1333x3yx+y3評注:作為填空題,本題得第一做法就是法二,同時也要知道具體過程,注意向量一些常用知識點及一些轉(zhuǎn)化技巧。例2(14閔行)設(shè)解析:根據(jù)題意,得幾何意義為一個點到得距離加上這個點到得距離等于,如下圖們要求得取值范圍得幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上得點到點()得距離得取值范圍,最短距離就是下圖中得長度,用點到直線得距離公式或等面積法可求得量得模得幾何意義,轉(zhuǎn)化使用。例3(14徐匯)如下圖所示,在邊長為2得正六邊形中,動圓得半徑為1,圓心在線答案:評注:本題結(jié)合動態(tài)圖像考查了向量得分解,要求能夠理解題意,本題也可建系分析例1(14浦東)用答案:AB=BC=AC=1，所以M，M，M中個各有一個元素,將得元素排23評注:本題要注意分步原理與分類原理得綜合運用,抽象出解題模型,從而使問題得到解決,當(dāng)然也可以用列舉法,,顯然中A為含有求解。對于新定義題,型要善于將陌生問題化為熟悉模,重基本原理得運用。就是()解析:根據(jù)題意,可將題目中得定義畫成直方圖,如下圖所示,各個元素只要在順時評注:這就是一個非典型得數(shù)形結(jié)合題型,題目得定義很抽象,但可以用圖形將其kktk2