2020年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題：胡不歸和阿氏圓問題 教案設(shè)計(無答案)

??????212????1(??1??????212????1(??1????)，記1122??2020年考習(xí)題“胡歸問在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如”樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：胡不歸問題；阿氏圓本文簡單介紹“胡不歸”模型【故事介紹】從前有個少年外出求學(xué)某不得知老父親病危的消息，便立即趕路回家，根點間線段最短然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時老人剛咽了氣伙追悔莫及失聲痛鄰居告訴小伙子說人留之際不斷念叨著“胡不歸胡歸”“”同“何”而如果先沿著驛道先一段，再走砂石地，會不會更早到?【模型建立】如圖，一動點P在線MN外運動速度為V1，在直線上運動的速度為V2，且V1V2A、為點，點在直線MN上確點的位置使??【問題分析】

的值最小??????

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1??????????

，即求BC+kAC的小值【問題解決】構(gòu)造射線AD使∠＝，，CH＝????將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值B點作⊥交MN于點AD于H點時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最.【模型總結(jié)】在求形“＂式子的值問題中關(guān)鍵是構(gòu)造與相的線段“型問題轉(zhuǎn)化為”.而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的線段【長中考】如圖eq\o\ac(△,，)中，＝＝，，⊥于E，是段BE上的一個動點，則

5

的最小值是【2019南中】圖，平行四邊形ABCD中DAB=60°，AB6，，P為CD上的一動點，則PB+的小等于2??√321??√321【2014成都考如圖，知拋物線y＝(x+2)(x-4)(k為數(shù)，0)與x軸從左至右依次8交于AB兩點，與y軸于點C經(jīng)過點B的線＝x+b與物線的另一交點為D.3若點的坐標為5求拋物線的函數(shù)表達式在1)的條件下，設(shè)F為段BD上點不端點，連接，一動點M從點A出發(fā)，沿線段以每秒個單位的速度運動到，沿線段FD以秒2個單位的速度運動到后停止，當點F的標是多少時，點M在個運動過程中用時最?【2018重中】物

6

2

與x軸于點A，點A在的邊，3與軸交于點C.點是線AC上拋線一點PF⊥軸點FPF與線段交于點將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應(yīng)線段是，PE+2

值最大時，求四邊形PO1B1C周的最小值，并求出對應(yīng)的點O1的標。(為出問題，剛?cè)チ藘蓚€小問2323【2019綿陽考在平面直角坐標系中，將二次函(a＞的圖象向右平移1個位，再向下半移2個位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點A、點A在點B的，＝1經(jīng)點A的次函數(shù)y≠的圖象與y軸正半軸交于點C，且與拋物線的另一個交點為，的面積為求拋物線和一次函數(shù)的解析式；拋物線上的動點E在次函數(shù)的圖象下方△面積的最大值并出此時點E的坐標；若點為x軸任意一點，(的結(jié)論下，求PE+PA的小5??????????，eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)????eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)????????????????????，eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)????eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??????????????????????阿圓題在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了最值問題，其中點跡是直，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題所謂“阿氏圓指由古希臘學(xué)家阿波羅尼奧斯提出的的概念，在平面內(nèi)，到兩個定點距離之比等于定不的的集合叫做圓如下圖，已知A、兩，點滿＝≠，滿足條件的所有的點P構(gòu)的圖形為圓下面給出證明法一首了解兩個定理(1)角分線定理如，在中，是∠的半分線，則??????證明：eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)????eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??

??????????

????×????????????

，即????(2)外半分線定:如，在△中，外角CAE的平分線AD交BC的延長線于點，則????????????證明在延線上取點E使得＝，接BD則△eq\o\ac(△,?)CD=DE且AD平分BDE，，??????????

.????????????????????????????????????????????接來始氏證步:如圖，：PB=k，∠的角平分線交AB于M點根角平分線定，，????故點為定點，即∠的平分線交AB于點；作∠APB角平分線交直線AB于點，根據(jù)外角平分線定理，，??????故點定點，即∠外角半分線交直線AB于點；又∠°，定邊對定角，故P點跡是以MN為徑的圓。法二建不妨將點A、兩置于x軸且關(guān)于原點對稱，設(shè)A(-m，，則B(m，設(shè)，，PA＝，:解析式滿足圓的一般方程，故P點所構(gòu)成的圖形是圓，且圓心與AB共除了證明之外，我們還需了解“阿氏圓”的一些性:（）??????????應(yīng)用根點、的位置及k的值可確定MN及心O(2)△∽△，，形為OPOB.????應(yīng)用根圓心及半徑和、其一點，可求A、另一點位置(3)

????????應(yīng)用已半徑及A、中其中一點，即可知道PA:PB值731731練習(xí)1:已A、求軌跡已知在坐標系中，點A(-1，，，，是平面一點且，P點軌跡圓圓心位置【分析】既然已經(jīng)了解的“阿氏圓”的相關(guān)內(nèi)容，不妨直接用上結(jié).取，滿足＝，N(5，滿NA:NB＝，P點軌跡即是以MN為徑，MN中點為心的圓練習(xí)2:已圓軌跡反求點A或B已知在坐標系中，點A(-1，是點（）為圓心，長為半的圓。平面中求一點2B使，點坐標【分析】像這樣的問題一般就是“阿氏圓”構(gòu)圖，已知圓與點求另外一點B.思路1:構(gòu)相似三角形?？紤]OP＝?，將OP＝、＝代入可:＝，故點坐標(，222思路2:根“阿氏圓”中的特殊置當點運動到點位置時，有MA:MB＝，考慮到A(-1，、，0)，可得MB＝，考慮到、、共且B點在點側(cè)，可得點標，補充這的圓與A及PA:PB的比值都是配套存在的，思路2雖投機取巧之嫌，卻是根據(jù)“阿氏圓”定義求出的點還好用。7111??11111117111??1111111那這玩和值什關(guān)呢?比如可以將練習(xí)2稍加修改，即可變成最值問練改)已在坐標系中，點A(10)P是以點（）圓心，長為徑的圓，2Q(2，，PQ+PA的小值3【分析】問題中的PQ暫不用管，先處理好，考感到點是個圓，且要構(gòu)造，大膽猜:平33面中存在一點使在上任意位置，均滿足：????

，即有PB=PA.33其實就是逆用“阿氏圓樣題目一般就是給出圓與點位置，求另一點B的置可轉(zhuǎn)化3點求法如上練習(xí)2，下的求量小值就很簡單了練3于系數(shù)如圖，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，，點C為心2為徑作圓，分別交AC、于、兩點，點P是圓C上一個動點，則PA+PB的小值為2【分析】確定了問題關(guān)鍵是構(gòu)造“＂已知了P點所在的，已知了A點，即在平面中找2一點使“＝2思路1:構(gòu)相似三角形點與A、共，且點滿:CP＝?CA，代入、CA，即可22＝，得，即可確定M點位置，＝問轉(zhuǎn)為PM+PB最值直接連BM即可211121111112111【問題剖析】（）里為什是PA?2答因圓半為，＝，值是，△CMP與△CPA的似比為所以構(gòu)造的是也只能構(gòu)造PA22（）果問題計為PA+kPB最值k應(yīng)為多少答根圓C半與CB之比為2:3，應(yīng)為.3【習(xí)如圖在中∠＝BC＝＝以C為圓心半徑的圓上有一個動點連接AD2AD+3BD的最小值是問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，長度的3倍為本題答案【練習(xí)圖，已知正方形ABCD的邊長為，圓B的徑為2，點是圓B上的一個動點，則PC的大值為2【分析】當P點動到BC邊時，此時PC＝，據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M，使2得此時PM1，在點P運的任意時刻，均有PM＝PC，從而將同題轉(zhuǎn)化為求PM2連接PD，對于PDMPD-PM＜DM，故當D、、共線時，PDPM＝為最大值11【2019山東照題如圖1，平面直角坐標系中，直線＝5x+5與軸y