常微分方程可降階的高階微分方程演示文稿

常微分方程可降階的高階微分方程演示文稿當(dāng)前1頁，總共34頁。常微分方程可降階的高階微分方程當(dāng)前2頁，總共34頁。

前一章介紹了一些一階微分方程的解法,在實(shí)際的應(yīng)用中，還會(huì)遇到高階的微分方程，在這一章，我們討論二階及二階以上的微分方程,即高階微分方程的求解方法和理論.當(dāng)前3頁，總共34頁。3.1可降階的高階方程n階微分方程的一般形式是:

當(dāng)時(shí),統(tǒng)稱為高階微分方程.一、可降階的高階方程1、不顯含未知函數(shù)的方程(3.1.2)

不顯含未知函數(shù)x或不顯含未知函數(shù)及其直到階導(dǎo)數(shù)的方程是當(dāng)前4頁，總共34頁。對(duì)上式進(jìn)行k次積分,可求出方程(3.1.2)的解.求解方法:

若能求得其通解為:令

就可把(3.1.2)化為關(guān)于

的

階方程:

即(3.1.2)

當(dāng)前5頁，總共34頁。例

求解方程解將方程積分三次,通解：當(dāng)前6頁，總共34頁。它是一個(gè)一階方程,通解是:則方程可化為:即解:令例、求解方程積分四次,得原方程的通解為:

當(dāng)前7頁，總共34頁。例

解方程

解令代入原方程,當(dāng)前8頁，總共34頁。2、不顯含自變量t的方程求解方法:方程的一般形式為:作為新未知函數(shù),用而把作為新的自變量,因?yàn)?3.1.3)當(dāng)前9頁，總共34頁。由數(shù)學(xué)歸納法知,

可用

來表達(dá),將這些表達(dá)式代入

(3.1.3)可得

(3.1.3)即有新方程:

它比原來的方程降低了一階.

當(dāng)前10頁，總共34頁。解代入原方程例可分離變量方程當(dāng)前11頁，總共34頁。所以例求解方程從而可得及于是原方程化為:作為新未知變量,取代入原變量得:故原方程的解為:當(dāng)前12頁，總共34頁。3、全微分方程和積分因子若方程的左端是某個(gè)n-1階微分表達(dá)式對(duì)t的全導(dǎo)數(shù)，即

稱(3.1.4)為全微分方程，顯然有

(3.1.4)(3.1.5)當(dāng)前13頁，總共34頁。若求得（）的全部解:

則它也一定是(3.1.4)的解.后就成為全微分方程.稱其為方程(3.1.4)的積分本身不是全微分方程,有時(shí)方程(3.1.4)積分因子:但乘以一個(gè)合適的因子因子.(3.1.4)(3.1.5)當(dāng)前14頁，總共34頁。例

求解方程解：原方程可以寫成即積分后得通解為故有當(dāng)前15頁，總共34頁。例

求解方程解:

方程兩邊乘以因子方程化為:

故有

解得

故原方程的解為

顯然也是原方程的解.當(dāng)前16頁，總共34頁。微分方程滿足條件的特解是或解可分離變量方程即練習(xí)當(dāng)前17頁，總共34頁。求微分方程的積分曲線,使該積分曲線過點(diǎn)且在該點(diǎn)的切線斜率為2.解方程代入方程,得所求積分曲線為練習(xí)當(dāng)前18頁，總共34頁。

思考題解積分方程過曲線y=f(x)上點(diǎn)(x,f(x))處的切線方程為當(dāng)前19頁，總共34頁。積分方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),即代入上式,得可分離變量方程可降階的高階微分方程òxttfxy0,d)(1軸上的截距等于的切線在)]()([d)(0xfxxfxttfx￠-=ò當(dāng)前20頁，總共34頁?？煞蛛x變量方程分離變量并積分得再積分,得即為所求.可降階的高階微分方程當(dāng)前21頁，總共34頁。4、可降階的高階方程的應(yīng)用舉例例１、追線問題速度v運(yùn)動(dòng)，方向永遠(yuǎn)指向P點(diǎn),

求M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)在軸上有一點(diǎn)P以常速度a沿著軸平面上另有一點(diǎn)M,它以常正向移動(dòng);在

軌跡.解:

首先我們建立點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的微分方程模型.以記點(diǎn)M在時(shí)刻t的坐標(biāo)，以X記點(diǎn)P在時(shí)刻t的橫坐標(biāo)，表示P點(diǎn)在t=0的橫坐標(biāo),當(dāng)前22頁，總共34頁。圖3.1根據(jù)條件有:

（3.1.7）（3.1.6）（3.1.8）把（3.1.6）代入（3.1.8），并記上式兩邊關(guān)于作為自變量，把求導(dǎo)得得:當(dāng)前23頁，總共34頁。由（）和（）得到M的追線方程

又由得:（3.1.10）（3.1.11）（）即當(dāng)前24頁，總共34頁。例２、懸鏈線問題有一繩索懸掛在A和B兩點(diǎn)(不一定是在同一水平線),如圖3.2所示.設(shè)繩索是均勻的,柔軟的,僅受繩本身的重量作用,它彎曲如圖中的形狀,試確定該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)的形狀.解:設(shè)C是其最低點(diǎn),選取坐標(biāo)系如圖中所示,且軸通過C點(diǎn).ABCO圖3.2當(dāng)前25頁，總共34頁。ABCO圖3.2考慮繩索在最低點(diǎn)C與點(diǎn)之間的一段,這一段在下面三個(gè)力的作用下平衡:(1)在點(diǎn)P的張力T,方向沿著P點(diǎn)的切線方向;(2)在點(diǎn)C的水平張力H;(3)CP段的垂直的重量,記為,設(shè)它作用在某一點(diǎn)Q處,不一定是CP的中心,見圖3.3,TQCH圖3.3當(dāng)前26頁，總共34頁?，F(xiàn)將張力Ｔ分解為兩個(gè)分力：，垂直方向分力為水平方向分力為按平衡關(guān)系有：兩式相除，并利用關(guān)系式得：TQCH圖3.3由于平衡關(guān)系,這些力在軸(水平)方向的代數(shù)和為0,在軸(垂直)方向的代數(shù)和也必須為0.當(dāng)前27頁，總共34頁。Ｈ是在最低點(diǎn)處的張力，是常數(shù)，但依賴于,將上式兩邊對(duì)微分得則有．其中Ｓ表示從Ｃ點(diǎn)算起的弧長(zhǎng)，（3.1.1６）其中表示在水平方向上，每增加單位距離時(shí)，ＣＰ段弧所增加的重量．為設(shè)繩索的密度TQCH圖3.3當(dāng)前28頁，總共34頁?；蛴钟捎诠蕪亩匠蹋?.1.16）化為：（3.1.1７）（６）當(dāng)前29頁，總共34頁。目前的跳遠(yuǎn)世界記錄是Mikepowell在1991年創(chuàng)造的，成績(jī)是8.95m.但我們最感興趣的是BobBeamon在1968年于墨西哥城奧運(yùn)會(huì)上創(chuàng)造的當(dāng)時(shí)世界記錄，成績(jī)是8.90m．這個(gè)成績(jī)超過以前記錄55cm.有人認(rèn)為部分原因是由于墨西哥城空氣的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m）稀薄的空氣對(duì)跳遠(yuǎn)者意味著有較小的空氣阻力．試建立微分方程模型來論述這種解釋是否合理．例BobBeamon的跳遠(yuǎn)記錄當(dāng)前30頁，總共34頁。解例

設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射制導(dǎo)導(dǎo)彈,

如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的目標(biāo)的跟蹤問題

導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦.直線行駛,導(dǎo)彈的速度是5v0,又問乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí),它將被導(dǎo)彈擊中?設(shè)導(dǎo)彈的軌跡曲線為并設(shè)經(jīng)過時(shí)間t,導(dǎo)彈位于點(diǎn)P(x,y),乙艦位于點(diǎn)

Q(1,v0t)

由于導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦,直線PQ就是導(dǎo)彈的軌跡曲線弧OP在點(diǎn)P處的切線,求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.當(dāng)前31頁，總共34頁。

即如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛,導(dǎo)彈的速度是5v0,

弧OP的長(zhǎng)度為|AQ|的5倍,

即(1)(2)

由(1)式與(2)消去v0t就得

積分方程(3)當(dāng)前32頁，總共34頁。

積分方程(3)