微分方程數(shù)值解法

微分方程數(shù)值解法當(dāng)前1頁，總共47頁?！?.1引言

微分方程數(shù)值解一般可分為：常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解。自然界與工程技術(shù)中的許多現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可歸結(jié)為常微分方程（組）的定解問題。一些偏微分方程問題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問題來（近似）求解。Newton最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運(yùn)動(dòng)方程就是常微分方程。許多著名的數(shù)學(xué)家，如Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循歷史傳統(tǒng)，研究重要的力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，在這些問題中，許多是常微分方程的求解。作為科學(xué)史上的一段佳話，海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過對常微分方程的近似計(jì)算得到的。本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法。當(dāng)前2頁，總共47頁。1、常微分方程與解為n階常微分方程。如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)n階可導(dǎo)，稱方程滿足方程的函數(shù)稱為微分方程的解。則如為任意常數(shù)）一般稱為方程的通解。為方程的解。如果則有為方程滿足定解條件的解。一、初值問題的數(shù)值解法當(dāng)前3頁，總共47頁。方程的通解滿足定解條件的解微分關(guān)系（方程）解的圖示當(dāng)前4頁，總共47頁。本教材重點(diǎn)討論定解問題(初值問題）定解條件（初始條件）是否能夠找到定解問題的解取決于僅有極少數(shù)的方程可以通過“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程至今無法理論求解。如等等當(dāng)前5頁，總共47頁。2、數(shù)值解的思想（1）將連續(xù)變量離散為（2）用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點(diǎn)的近似值*數(shù)學(xué)界關(guān)注工程師關(guān)注如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動(dòng)性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……當(dāng)前6頁，總共47頁。

求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)

a=x0<x1<…<xn=b處的近似值的方法稱為微分方程的數(shù)值解法。稱節(jié)點(diǎn)間距為步長，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取hi=h

(常數(shù))。稱為微分方程的數(shù)值解。所謂數(shù)值解法：當(dāng)前7頁，總共47頁。稱在區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件是指:記3、相關(guān)定義當(dāng)前8頁，總共47頁。(2)一般構(gòu)造方法：

離散點(diǎn)函數(shù)值集合+線性組合結(jié)構(gòu)→近似公式4、迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思想：將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解。由于離散化的出發(fā)點(diǎn)不同，產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法?；痉椒ㄓ校河邢薏罘址ǎ〝?shù)值微分）、有限體積法（數(shù)值積分）、有限元法（函數(shù)插值）等等。

當(dāng)前9頁，總共47頁。(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?5、微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題(1)如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的迭代公式？(2)如何估計(jì)迭代公式的局部截?cái)嗾`差與整體誤差？當(dāng)前10頁，總共47頁。二、初值問題解的存在唯一性

考慮一階常微分方程的初值問題

/*Initial-ValueProblem*/:則上述IVP存在唯一解。只要在

上連續(xù),且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，即存在與無關(guān)的常數(shù)L使對任意定義在上的都成立，當(dāng)前11頁，總共47頁。三、初值問題的離散化方法

離散化方法的基本特點(diǎn)是依照某一遞推公式，值

,取。按節(jié)點(diǎn)從左至右的順序依次求出的近似

如果計(jì)算，只用到前一步的值，則稱這類方法為單步方法。如果計(jì)算需用到前r步的值,

,則稱這類方法為r步方法。當(dāng)前12頁，總共47頁。§6.2Euler方法第一步：連續(xù)變量離散化第二步：用直線步進(jìn)·····Euler格式1、Euler格式當(dāng)前13頁，總共47頁。18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。

1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學(xué)院從事研究工作，在分析學(xué)、數(shù)論、力學(xué)方面均有出色成就，并應(yīng)俄國政府要求，解決了不少地圖學(xué)、造船業(yè)等實(shí)際問題。

24歲晉升物理學(xué)教授。

1735年（28歲）右眼失明。當(dāng)前14頁，總共47頁。1741年-1766（34歲-59歲）任德國科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，任職25年。在行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)、微分方程、曲面微分幾何等研究領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的工作。

1766年應(yīng)沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。

Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。

當(dāng)前15頁，總共47頁。

在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義2.2

若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。定義2.12、歐拉法的局部截?cái)嗾`差當(dāng)前16頁，總共47頁。歐拉法的局部截?cái)嗾`差：Ri

的主項(xiàng)/*leadingterm*/歐拉法具有1階精度。當(dāng)前17頁，總共47頁。例1:

用歐拉公式求解初值問題取步長。解:

應(yīng)用Euler公式于題給初值問題的具體形式為：

其中。計(jì)算結(jié)果列于下表：

當(dāng)前18頁，總共47頁。

當(dāng)前19頁，總共47頁?？捎脕頇z驗(yàn)近似解的準(zhǔn)確程度。

進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值解已達(dá)到了一定的精度。這個(gè)初值問題的準(zhǔn)確解為，從上表最后一列，我們看到取步長當(dāng)前20頁，總共47頁。3、歐拉公式的改進(jìn)：

隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+當(dāng)前21頁，總共47頁。由于未知數(shù)yi+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。當(dāng)前22頁，總共47頁。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有1階精度。當(dāng)前23頁，總共47頁。梯形公式

/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：梯形公式的局部截?cái)嗾`差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。當(dāng)前24頁，總共47頁。中點(diǎn)歐拉公式

/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè),則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有2

階精度。當(dāng)前25頁，總共47頁。方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計(jì)算量大精度提高計(jì)算量大精度提高,顯式多一個(gè)初值,可能影響精度當(dāng)前26頁，總共47頁。改進(jìn)歐拉法

/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+ny當(dāng)前27頁，總共47頁。當(dāng)前28頁，總共47頁。注:此法亦稱為預(yù)測-校正法

/*predictor-correctormethod*/可以證明該算法具有2階精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。改進(jìn)的歐拉法當(dāng)前29頁，總共47頁。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合，計(jì)算公式為應(yīng)用改進(jìn)歐拉法,如果序列收斂,它的極限便滿足方程當(dāng)前30頁，總共47頁。改進(jìn)歐拉法的截?cái)嗾`差因此，改進(jìn)歐拉法公式具有2

階精度當(dāng)前31頁，總共47頁。例2:

用改進(jìn)Euler公式求解例1中的初值問題，

取步長。解：對此初值問題采用改進(jìn)Euler公式，其具體形式為計(jì)算結(jié)果列于下表：例1:

用歐拉公式求解初值問題當(dāng)前32頁，總共47頁。改進(jìn)的Euler法Euler法當(dāng)前33頁，總共47頁。通過計(jì)算結(jié)果的比較可以看出，改進(jìn)的Euler方法的計(jì)算精度比Euler方法要高。當(dāng)前34頁，總共47頁。歐拉法誤差概述當(dāng)前35頁，總共47頁。6.3龍格—庫塔方法

對許多實(shí)際問題來說，歐拉公式與改進(jìn)歐拉公式精度還不能滿足要求，為此從另一個(gè)角度來分析這兩個(gè)公式的特點(diǎn)，從而探索一條構(gòu)造高精度方法的途徑.

當(dāng)前36頁，總共47頁。改進(jìn)歐拉法當(dāng)前37頁，總共47頁。當(dāng)前38頁，總共47頁。當(dāng)前39頁，總共47頁。

當(dāng)前40頁，總共47頁。當(dāng)前41頁，總共47頁。

當(dāng)前42頁，總共47頁。三階龍格-庫塔方法三階龍格-庫塔方法是用三個(gè)值k1,k2,k3的線性組合要使三階龍格-庫塔方法具有三階精度，必須使其局部截?cái)嗾`差為O(h4)將

k1,k2,k3代入

yn+1的表達(dá)式中，在

(xn,

yn)

處用二元泰勒公式展開，與

y(xn+1)在xn處的泰勒展開式比較當(dāng)前43頁，總共47頁。類似二階龍格-庫塔方法的推導(dǎo)過程，8個(gè)待定系數(shù)c1,c2,c3,a2,a3,b21,b31,b32應(yīng)滿足：8個(gè)未知參數(shù)，6個(gè)方程，有無窮多組解三階龍格庫塔公式當(dāng)前44頁，總共47頁。四階Runge-Kutta方法當(dāng)前45頁，總共47頁。附注：二階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到

五階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到

四階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差