數(shù)學分析(第83節(jié)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分)

數(shù)學分析(第83節(jié)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分)第一頁，共38頁。第8章不定積分不定積分概念與基本積分公式換元積分法與分部積分法有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第二頁，共38頁。第8.3節(jié)有理函數(shù)和可化為

有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分三角函數(shù)有理式的不定積分某些無理根式的不定積分第三頁，共38頁。兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù).定義一、有理函數(shù)的不定積分1.預備知識為有理真分式；為有理假分式.第四頁，共38頁。有關結論(1)任何一個假分式都可化為一個多項式與一個真分式之和(利用多項式除法)例如(2)在實數(shù)范圍內,任何一個多項式均可分解為一次因式與二次質因式的乘積.第五頁，共38頁。分母中若有因子(3)真分式總可以唯一地分解為部分分式(最簡真分式)之和.分母中若有因子分解式中含有因子分解式中含有因子第六頁，共38頁。例如待定系數(shù)可以通過如下方式確定：

(i)去分母,比較同次冪的系數(shù)；(ii)給x以特定值.如第七頁，共38頁。2.解題步驟第1步若是假分式,則化為多項式與真分式之和.⑤②③④①第2步把分母分解為一次因式與二次質因式的乘積.第3步把真分式分解為部分分式之和.第4步求多項式及各部分分式的積分，并求和.*問題歸結為求以下五種類型的不定積分：第八頁，共38頁。③①②③

解決是容易的,如而④⑤要復雜些,要作適當?shù)膿Q元：④第九頁，共38頁。⑤同理，有第十頁，共38頁。解得第十一頁，共38頁。例1解第十二頁，共38頁。例2解第十三頁，共38頁。例3解第十四頁，共38頁。例4解而由于第十五頁，共38頁。由遞推公式，得第十六頁，共38頁。于是第十七頁，共38頁。定義

由三角函數(shù)及常數(shù)經有限次四則運算構成的函數(shù)，稱為三角函數(shù)有理式.二、三角函數(shù)有理式的不定積分從而第十八頁，共38頁。例4解第十九頁，共38頁。解(2)方法2方法1第二十頁，共38頁。方法3注第二十一頁，共38頁。例5解第二十二頁，共38頁。三、某些無理根式的不定積分做法

利用代換化為有理函數(shù)的積分式類型第二十三頁，共38頁。解例6求積分第二十四頁，共38頁。例7解第二十五頁，共38頁。第二十六頁，共38頁。練習解第二十七頁，共38頁。型不定積分時也可直接化為有理函數(shù)的不定積分.可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分,有第二十八頁，共38頁。把它們轉化為三角函數(shù)有理式的不定積分.方法2(歐拉變換)第二十九頁，共38頁。例8解

用方法1（a=1>0）第三十頁，共38頁。第三十一頁，共38頁。用方法2第三十二頁，共38頁。因此第三十三頁，共38頁。注1

對于本題來說,方法

2顯然比方法

1簡捷.

但實質上只相差某一常數(shù)而已.注2

由以上兩種方法所得的結果,形式雖不相同注3

雖然初等函數(shù)在定義區(qū)間都存在原函數(shù),但都無法用初等函數(shù)來表示,因此都不可能用我們介紹的方法把它們的原函數(shù)求出來.例如并非初等函數(shù)的原函數(shù)都能用初等函數(shù)表示.第三十四頁，共38頁。例9解注意到a