曲邊梯形的面積與定積分

曲邊梯形的面積與定積分第一頁，共44頁。第二頁，共44頁。曲邊梯形的面積與定積分第三頁，共44頁。了解：幾個(gè)常用求和公式第四頁，共44頁。1.曲邊梯形：在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Oxyaby=f(x)一.

曲邊梯形的定義x=ax=b曲邊梯形的特點(diǎn)

①、只有一邊是曲線

②、其他三邊是特殊直線第五頁，共44頁。問題1圓的面積公式是如何推導(dǎo)的？第六頁，共44頁。

曲邊梯形的面積將圓分成若干等份無限分割！第七頁，共44頁。

y=f(x)baxyOA1AA1.用一個(gè)矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得第八頁，共44頁。AA1+A2用兩個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2第九頁，共44頁。AA1+A2+A3+A4用四個(gè)矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A3A4第十頁，共44頁。

y=f(x)baxyOAA1+A2++An

將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn——

以直代曲,無限逼近

第十一頁，共44頁。（1）分割把區(qū)間[0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間：過各區(qū)間端點(diǎn)作x軸的垂線，從而得到n個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作

例1.求拋物線y=x2、直線x=1和x軸所圍成的曲邊梯形的面積。第十二頁，共44頁。（2）近似代替(不足近似值)

第十三頁，共44頁。（3）求和第十四頁，共44頁。（4）取極限第十五頁，共44頁。小結(jié):求由連續(xù)曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法（1）分割

（2）近似代替（3）求面積的和

（4）取極限

不足近似值！第十六頁，共44頁。

(過剩近似值)第十七頁，共44頁。

(過剩近似值)第十八頁，共44頁。第十九頁，共44頁。求曲邊梯形面積：(1)思想：以直代曲．(2)步驟：分割→近似代替→求和→取極限．(3)關(guān)鍵：近似代替．(4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確．第二十頁，共44頁。1、在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的近似值等于（）A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值D.以上答案均不正確C練習(xí)第二十一頁，共44頁。二.定積分定義設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在[a，b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)：把區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，則，這個(gè)常數(shù)A稱為f(x)在[a，b]上的定積分(簡稱積分)記作第二十二頁，共44頁。被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限積分和第二十三頁，共44頁。曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值說明（1）定積分是特殊和式極限,它是一個(gè)定數(shù);

(2)定積分的大小僅與區(qū)間[a,b]和被積函數(shù)f(x)有關(guān)第二十四頁，共44頁。

1、如果函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且f（x）≥0時(shí)，那么：定積分就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積。

2、定積分的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示。定積分的幾何意義是什么？第二十五頁，共44頁。第二十六頁，共44頁?！惧e(cuò)因分析】

在應(yīng)用定積分的幾何意義求定積分時(shí)，錯(cuò)解中沒有考慮在x軸下方的面積取負(fù)號(hào)，x軸上方的面積取正號(hào)，導(dǎo)致錯(cuò)誤．解：錯(cuò)解！第二十七頁，共44頁。第二十八頁，共44頁。定積分的簡單性質(zhì)第二十九頁，共44頁。題型1：定積分的簡單性質(zhì)的應(yīng)用第三十頁，共44頁。題型2：定積分的幾何意義的應(yīng)用8問題1：你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。第三十一頁，共44頁。理解練習(xí)見學(xué)案例1；例2；例3第三十二頁，共44頁。微積分基本定理第三十三頁，共44頁。微積分基本定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且F’(x)＝f（x)，則，這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛頓－萊布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).第三十四頁，共44頁。說明：牛頓－萊布尼茨公式提供了計(jì)算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題。第三十五頁，共44頁。解（１）找出f(x)的原函數(shù)是關(guān)鍵例1計(jì)算下列定積分第三十六頁，共44頁。練習(xí)1:第三十七頁，共44頁。例２．計(jì)算定積分解:第三十八頁，共44頁。

達(dá)標(biāo)練習(xí)：

初等函數(shù)第三十九頁，共44頁。微積分基本定理三、小結(jié)第四十頁，共44頁。定積分公式第四十一頁，共44頁。牛頓牛頓，是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。

牛頓1661年入英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。

牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。返回第四十二頁，共44頁。萊布尼茲萊布尼茲，德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國的漢諾威。他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時(shí)寫的論文《論組合的技巧》已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來的工作使