求數(shù)列通項常用方法

數(shù)列通項公式的求法

第一頁，共11頁。第一頁，共11頁。注：①有的數(shù)列沒有通項公式，如：3，π，e，6；②有的數(shù)列有多個通項公式,如：數(shù)列的通項公式:是一個數(shù)列的第n項（即an）與項數(shù)n之間的函數(shù)關系第二頁，共11頁。第二頁，共11頁。一、觀察法（又叫猜想法，不完全歸納法）：觀察數(shù)列中各項與其序號間的關系，分解各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項公式.

例1：數(shù)列9，99，999，9999，……解：變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通項公式為：第三頁，共11頁。第三頁，共11頁。注意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠的，如2，4，8，……?？蓺w納成或者兩個不同的數(shù)列（便不同）第四頁，共11頁。第四頁，共11頁。二、累加法（又叫加減法，疊加法）

當所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差組成等差或等比數(shù)列時，就可用累加法進行消元.例3，求數(shù)列：1，3，6，10，15，21，……的通項公式解：∴兩邊相加得：

……∴第五頁，共11頁。第五頁，共11頁。三、累積法（疊乘法）

當一個數(shù)列每依次相鄰兩項之商構(gòu)成一個等比數(shù)列時，就可用累積法進行消元

例4、已知數(shù)列中，，求通項公式。

解：由已知，，得：把1，2…，n分別代入上式得：，，…，第六頁，共11頁。第六頁，共11頁。四、待定系數(shù)法：

用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則或是（A、B為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則或。例5．已知數(shù)列的前n項和為，若為等差數(shù)列，求p與。第七頁，共11頁。第七頁，共11頁。五、

已知數(shù)列的前n項和公式，求通項公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。例7．已知下列兩數(shù)列的前n項和sn的公式，求的通項公式。（1）（2）第八頁，共11頁。第八頁，共11頁。六、

換元法當給出遞推關系求時，主要掌握通過引進輔助數(shù)列能轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列的形式。例8，已知數(shù)列的遞推關系為，且求通項公式。解：∵∴令則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列∴即∴第九頁，共11頁。第九頁，共11頁。例9，已知數(shù)列的遞推關系為，且，，求通項公式。解：∵∴令則數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列∴∴∴

……兩邊分別相加得：

∴第十頁，共11頁。第十頁，共11頁。例10，已知，，且，求。