2021高三統(tǒng)考北師大版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第6章第1講數(shù)列的概念與簡單表示法含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高三統(tǒng)考北師大版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第6章第1講數(shù)列的概念與簡單表示法含解析第六章數(shù)列第1講數(shù)列的概念與簡單表示法基礎(chǔ)知識整合1．?dāng)?shù)列的定義按照eq\x(\s\up1(01)）一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的eq\x（\s\up1(02)）項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)eq\x(\s\up1（03))有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)eq\x（\s\up1(04)）無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an＋1eq\x(\s\up1(05））＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1eq\x（\s\up1(06)）＜an常數(shù)列an＋1＝an，擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3．?dāng)?shù)列的表示法數(shù)列有三種常見表示法，它們分別是eq\x（\s\up1（07）)列表法、eq\x（\s\up1(08))圖象法和eq\x（\s\up1(09）)解析法．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列｛an｝的第n項(xiàng)與eq\x（\s\up1(10）)序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．1．在數(shù)列｛an}中，若an最大，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an－1，,an≥an＋1.）)若an最小，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（an≤an－1,，an≤an＋1.))2．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù),即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值,就是數(shù)列．3．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的注意點(diǎn)（1）并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式;(2）同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一;(3)對于一個(gè)數(shù)列,如果只知道它的前幾項(xiàng)，而沒有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個(gè)數(shù)列的．4．遞推公式:如果已知數(shù)列{an｝的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．5．通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號n的值,直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列,也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)）的值，通過一次（或多次）賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an6．?dāng)?shù)列{an｝的an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an,則an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（S1,n＝1,,Sn－Sn－1,n≥2。））1．在數(shù)列1,1,2,3，5,8,13，x,34，55，…中，x應(yīng)取()A．19 B．20C．21 D．22答案C解析a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21，故選C。2．?dāng)?shù)列0，eq\f(2，3)，eq\f（4,5），eq\f（6，7)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（)A．a(chǎn)n＝eq\f（n－1,n＋1) B．a(chǎn)n＝eq\f（n－1，2n＋1）C．a(chǎn)n＝eq\f(2n－1，2n－1) D．a(chǎn)n＝eq\f(2n,2n＋1)答案C解析將0寫成eq\f（0,1)，觀察數(shù)列中每一項(xiàng)的分子、分母可知,分子為偶數(shù)列，可表示為2（n－1)，n∈N*;分母為奇數(shù)列，可表示為2n－1，n∈N＊，故選C。3．在數(shù)列｛an}中,a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則eq\f（a3,a5）的值是（)A。eq\f(15,16) B.eq\f（15,8)C.eq\f（3，4） D.eq\f(3,8）答案C解析由已知得a2＝1＋(－1）2＝2，∴2a3＝2＋（－1）3，a3＝eq\f(1，2），∴eq\f（1,2)a4＝eq\f(1,2）＋(－1）4，a4＝3,∴3a5＝3＋（－1）5,∴a5＝eq\f（2,3），∴eq\f（a3,a5）＝eq\f(1,2)×eq\f（3，2)＝eq\f(3，4)。故選C。4．(2019·濟(jì)寧模擬)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，則eq\f(1,a5）等于(）A.eq\f(5,6） B.eq\f（6,5)C.eq\f(1，30) D．30答案D解析∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f（n,n＋1)－eq\f（n－1,n)＝eq\f（1，nn＋1)，∴eq\f(1，a5)＝5×(5＋1)＝30。5．在數(shù)列{an｝中,若a1＝2,an＝eq\f（1，1－an－1)（n≥2，n∈N*)，則a8＝()A．－1 B．1C。eq\f(1，2） D．2答案A解析因?yàn)閍1＝2，an＝eq\f（1,1－an－1）(n≥2,n∈N*），所以a2＝eq\f(1，1－2)＝－1,a3＝eq\f(1,1－－1)＝eq\f（1，2),a4＝eq\f(1，1－\f(1，2))＝2,所以｛an｝是周期數(shù)列，周期是3,所以a8＝a2＝－1.6．在數(shù)列｛an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1，nn＋1),則數(shù)列an＝________。答案3－eq\f（1,n）解析由題意，得an＋1－an＝eq\f(1，nn＋1）＝eq\f（1,n）－eq\f（1,n＋1）,an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1）＋a1＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,n－1)－\f(1，n）)）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，n－2)－\f（1,n－1)））＋…＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）－\f（1,3））)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)））＋2＝3－eq\f（1，n).核心考向突破考向一利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1(1)已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則an＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（4，n＝1，,2×3n－1，n≥2）)解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4；當(dāng)n≥2時(shí),an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1)－(3n－1＋1）＝2×3n－1。當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠a1,所以an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4,n＝1，,2×3n－1，n≥2.))(2）(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an＋1,則S6＝________。答案－63解析根據(jù)Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1,兩式相減得an＋1＝2an＋1－2an,即an＋1＝2an，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以數(shù)列｛an}是以－1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以S6＝eq\f（－1－26，1－2)＝－63.已知Sn求an的一般步驟（1)當(dāng)n＝1時(shí)，由a1＝S1求a1的值；(2)當(dāng)n≥2時(shí),由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達(dá)式;(3)檢驗(yàn)a1的值是否滿足（2）中的表達(dá)式，若不滿足，則分段表示a1；(4)寫出an的完整表達(dá)式．[即時(shí)訓(xùn)練］1。（2019·寧夏中衛(wèi)市模擬）設(shè)Sn是數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________。答案－eq\f(1，n）解析∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1，Sn＋1)＝1，∴eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(1,Sn）)）是等差數(shù)列，且公差為－1，而eq\f(1，S1）＝eq\f（1,a1）＝－1，∴eq\f（1，Sn）＝－1＋（n－1)×（－1）＝－n,∴Sn＝－eq\f（1,n).2．設(shè)數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＊,則a1＝________，S5＝________。答案1121解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，)）解得a1＝1。由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f（1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2）)),所以eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(Sn＋\f（1，2))）是以eq\f(3，2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＋eq\f（1，2）＝eq\f（3,2）×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1，2)，所以S5＝121。解法二：由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，，a2＝2a1＋1，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝1，,a2＝3,)）又因?yàn)閍n＋1＝2Sn＋1,an＋2＝2Sn＋1＋1,兩式相減，得an＋2－an＋1＝2an＋1，即eq\f（an＋2，an＋1）＝3，又因?yàn)閑q\f（a2，a1)＝3,所以｛an｝是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列,所以an＋1＝3n,所以Sn＝eq\f（3n－1,2）,所以S5＝121?？枷蚨蛇f推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋（2n－1）（n∈N＊)；(2）a1＝1，an＝eq\f（n，n－1)an－1（n≥2，n∈N＊）;（3）a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＊)；(4)a1＝－2,an＋1＝3an＋6（n∈N*)．解(1)an＝a1＋（a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋（2n－3）＝(n－1）2,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝（n－1)2.(2）當(dāng)n≥2，n∈N＊時(shí)，an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3，a2)×…×eq\f（an,an－1）＝1×eq\f(2,1)×eq\f(3,2）×…×eq\f（n－2，n－3)×eq\f(n－1,n－2)×eq\f(n，n－1)＝n,當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n.（3）因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3（an＋1),所以eq\f(an＋1＋1,an＋1）＝3，所以數(shù)列｛an＋1｝為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2·3n－1－1.(4)因?yàn)閍n＋1＝3an＋6，所以an＋1＋3＝3(an＋3），又因?yàn)閍1＝－2,所以a1＋3＝1，所以{an＋3}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，所以an＋3＝3n－1，所以an＝3n－1－3。由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n),可用“累加法"求an。（2)已知a1且eq\f（an,an－1)＝f（n)，可用“累乘法”求an.(3）已知a1且an＋1＝qan＋b,則an＋1＋k＝q（an＋k)（其中k可由待定系數(shù)法確定),可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列｛an＋k｝．（4）形如an＋1＝eq\f（Aan，Ban＋C）(A,B，C為常數(shù)）的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．［即時(shí)訓(xùn)練］3.在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N＊），則eq\f(1,4）是這個(gè)數(shù)列的()A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng)C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)答案B解析由an＋1＝eq\f（2an，an＋2)可得eq\f（1,an＋1）＝eq\f(1，an)＋eq\f（1，2），即數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f（1,an)））是以eq\f（1,a1）＝1為首項(xiàng)，eq\f（1，2)為公差的等差數(shù)列,故eq\f(1，an)＝1＋(n－1)×eq\f（1,2)＝eq\f(1，2）n＋eq\f(1，2),即an＝eq\f（2，n＋1),由eq\f(2，n＋1)＝eq\f(1,4）,解得n＝7.故選B。4．若數(shù)列｛an}滿足：a1＝1,an＋1＝an＋2n，則數(shù)列an＝________。答案2n－1解析由題意知an＋1－an＝2n，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n，1－2)＝2n－1.5．在數(shù)列{an｝中，a1＝4，nan＋1＝（n＋2）an，則數(shù)列an＝________。答案2n(n＋1)(n∈N*）解析由遞推關(guān)系得eq\f(an＋1，an)＝eq\f（n＋2,n)，又a1＝4,∴an＝eq\f（an,an－1）·eq\f（an－1，an－2)·…·eq\f(a3，a2)·eq\f（a2,a1)·a1＝eq\f(n＋1，n－1）×eq\f（n,n－2）×eq\f（n－1，n－3）×…×eq\f(4，2)×eq\f（3,1）×4＝eq\f（n＋1×n,2×1）×4＝2n(n＋1)(n∈N*)．精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向,多角度探究突破考向三數(shù)列的性質(zhì)角度1數(shù)列的單調(diào)性例3(2019·永州模擬）已知數(shù)列｛an｝中,a1＝a,a2＝2－a，an＋2－an＝2，若數(shù)列｛an}單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案(0,1)解析由an＋2－an＝2可知數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別遞增,若數(shù)列｛an}單調(diào)遞增，則必有a2－a1＝（2－a）－a>0且a2－a1＝（2－a)－a<an＋2－an＝2，可得0<a〈1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,1）．角度2數(shù)列的周期性例4數(shù)列｛an｝中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1（n≥2)，那么a2019＝（)A．1 B．－2C．3 D．－3答案A解析因?yàn)閍n＝an－1－an－2(n≥3），所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2,所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an,所以{an}是以6為周期的周期數(shù)列．因?yàn)?019＝336×6＋3,所以a2019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1。故選A.角度3數(shù)列的最值例5(1）若數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n(n∈N*），則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是（)A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng)C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)答案B解析∵Sn＝n2－10n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－11;當(dāng)n＝1時(shí),a1＝S1＝－9也適合上式．∴an＝2n－11（n∈N＊）．記f(n)＝nan＝n(2n－11）＝2n2－11n，此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n＝eq\f(11，4)，但n∈N＊，∴當(dāng)n＝3時(shí)，f（n）取最小值．于是數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)．（2）已知數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,8）))n,則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n＝________.答案5或6解析當(dāng)an取得最大值時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an－1，，an≥an＋1,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(7，8）)）n≥n＋1\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,8)）)n－1，，n＋2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(7,8))）n≥n＋3\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(7，8））)n＋1，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（n≤6，，n≥5，))∴當(dāng)an取得最大值時(shí)，n＝5或6.（1）利用遞推公式探求數(shù)列的周期性的兩種思想思想1：根據(jù)遞推公式，寫出數(shù)列的前n項(xiàng)直到出現(xiàn)周期情況后,利用an＋T＝an寫出周期（n＋T）－n＝T.思想2:利用遞推公式“逐級"遞推，直到出現(xiàn)an＋T＝an，即得周期T＝(n＋T）－n.(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性的兩種方法［即時(shí)訓(xùn)練]6。已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an）（n∈N＊)，則a1·a2·a3·…·a2019＝()A．－6 B．6C．－3 D．3答案D解析∵a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an),∴a2＝eq\f(1＋2，1－2）＝－3，a3＝－eq\f（1,2）,a4＝eq\f（1，3），a5＝2，…,∴an＋4＝an，又a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a2019＝(a1a2a3a4）504×a1a2a3＝1×2×(－3)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）)）＝3.故選D.7．已知數(shù)列｛an}滿足an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－3a·n＋10a，n≤6，，an－7，n>6)）(n∈N＊),若對任意的n∈N*，均有an>an＋1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3)，1)） B。eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1,3),\f(5,8))）C.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,3），\f（1，2))) D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3），\f（5,8）)）答案D解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a〈0,,0<a<1，，61－3a＋10a〉a7－7，)）解得eq\f（1,3)<a<eq\f(5，8）。故選D。8．已知數(shù)列{an｝中,an＝1＋eq\f（1，a＋2n－1)（n∈N＊，a∈R，且a≠0）．(1）若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對任意的n∈N＊，都有an≤a6成立,求a的取值范圍．解（1)∵an＝1＋eq\f（1,a＋2n－1）（n∈N＊，a∈R，且a≠0），又a＝－7,∴an＝1＋eq\f（1，2n－9）。結(jié)合函數(shù)f(x）＝1＋eq\f（1,2x－9)的單調(diào)性,可知1>a1>a2>a3〉a4,a5>a6>a7〉…>an〉1（n∈N＊）．∴數(shù)列｛an}中的最大項(xiàng)為a5＝2,最小項(xiàng)為a4＝0.（2)an＝1＋eq\f（1,a＋2n－1)＝1＋eq\f(\f（1,2),n－\f(2－a，2））?！邔θ我獾膎∈N＊，都有an≤a6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(\f（1,2),x－\f（2－a,2）)的單調(diào)性，知5〈eq\f(2－a,2)〈6，∴－10<a〈－8.故a的取值范圍為(－10，－8）．(2019·濟(jì)南模擬)已知數(shù)列｛an}中，a1＋a2＋…＋an＝2an－1（n∈N*）．（1)求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；(2）若對任意的n∈N＊，不等式2kan≥2n－9恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解(1)令n＝1，則a1＝2a1－1，解得a1由a1＋a2＋…＋an＝2an－1（n∈N*)，知a1＋a2＋…＋an－1＝2an－1－1(n≥2）,兩式相減得an＝2an－2an－1，化簡得an＝2an－1(n≥2)，∴eq\f（an，a1)＝eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2）·…·eq\f（an,an－1）＝2n－1,∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.（2)由2kan≥2n－9，整理得k≥eq\f（2n－9,2n)，令bn＝eq\f（2n－9，2n)，則bn＋1－bn＝eq\f(2n－7,2n＋1)－eq\f(2n－9,2n)＝eq\f（11－2n,2n＋1），當(dāng)n＝1，2,3，4，5時(shí)，bn＋1－bn＝eq\f(11－2n,2n